理論力學(xué) 陳立群 第3章 平衡問(wèn)題 解答61025

1、第三章 平衡問(wèn)題：矢量方法 習(xí)題解答3-1討論圖示各平衡問(wèn)題是靜定的還是靜不定的，若是靜不定的試確定其靜不定的次數(shù)。 題3.1圖解：（1）以AB桿為對(duì)象，A為固定端約束，約束力有3個(gè)。如果DC桿是二力桿，則鉸C處有1個(gè)約束力，這4個(gè)力組成平面一般力系，獨(dú)立平衡方程有3個(gè)，所以是1次靜不定；如果DC桿不是二力桿，則鉸C和D處各有2個(gè)約束力，系統(tǒng)共有7個(gè)約束力，AB桿和DC桿上的約束力各組成平面一般力系，獨(dú)立平衡方程共有6個(gè)，所以，是1次靜不定。（2）AD梁上，固定鉸鏈A處有2個(gè)約束力，輥軸鉸鏈B、C和D各有1個(gè)約束力，共有5個(gè)約束力，這5個(gè)約束力組成平面一般力系，可以列出3個(gè)獨(dú)立的平衡方程。所以

2、，AD梁是2次靜不定。（3）曲梁AB兩端都是固定端約束，各有3個(gè)共6個(gè)約束力組成平面一般力系，而獨(dú)立的平衡方程只有3個(gè)。所以是3次靜不定。（4）剛架在A、B和C處都是固定端約束，各有3個(gè)共9個(gè)約束力組成平面一般力系，而獨(dú)立的平衡方程只有3個(gè)。所以是6次靜不定。（5）平面桁架在A處為固定鉸鏈，B處為輥軸鉸鏈，共有3約束力組成平面一般力系，而獨(dú)立的平衡方程也有3個(gè)，因此，該平面桁架的外力是靜定的。平面桁架由21根桿組成，所以有21個(gè)未知軸力，加上3個(gè)支座反力，共有24個(gè)未知量。21根桿由10個(gè)鉸鏈連接，每個(gè)鉸鏈?zhǔn)艿狡矫鎱R交力系作用。若以鉸鏈為研究對(duì)象，可以列出2×10=20個(gè)平衡方程。所

3、以，此平面桁架的內(nèi)力是24-20=4次靜不定。 （6）整體在A處為固定鉸鏈，B處為輥軸鉸鏈，共有3約束力組成平面一般力系，而獨(dú)立的平衡方程也有3個(gè)，因此，該系統(tǒng)的外力是靜定的。除了3個(gè)約束外力外，3根桿的軸力也是未知的，共有6個(gè)未知量。AB梁可以列出3個(gè)平衡方程，連接3根桿的鉸鏈可以列出2個(gè)平衡方程，共有5個(gè)方程，所以，該系統(tǒng)的內(nèi)力是1次靜不定。3-2煉鋼爐的送料機(jī)由跑車A與可移動(dòng)的橋B組成，如圖示。跑車可沿橋上的軌道運(yùn)動(dòng)，兩輪間距離為2米，跑車與操作架、手臂OC以及料斗相連，料斗每次裝載物料重W=15kN，平臂長(zhǎng)OC=5m。設(shè)跑車A、操作架和所有附件總重量為P，作用于操作架的軸線。試問(wèn)P至少

4、應(yīng)多大才能使料斗在滿載時(shí)不致翻倒？題32圖解：以送料機(jī)為研究對(duì)象，受力圖如圖示。滿載時(shí)不致翻倒的臨界狀態(tài)是。列平衡方程：，解得所以，當(dāng)時(shí)，才能使料斗在滿載時(shí)不致翻倒。3-3梁AB用三根桿支承，如圖示。已知，。試求三桿的約束力。題3-3圖(a) 解：以AB以梁為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖，列平衡方程 ， , . , .（b）解：以AB以梁為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖，列平衡方程題3-3圖， ， 解得：； ，題3-4圖 解得：。3-4試求圖示多跨梁的支座反力。已知（a），；（b），。(a) 解：（1）先取BC梁為對(duì)象，畫(huà)受力圖，列平衡方程， ； ， ，（2）再取AB梁為對(duì)象，畫(huà)受力圖，列平衡方程 ， ， ， ;

5、, , .(b) 解：（1）先取CD梁為對(duì)象，畫(huà)受力圖，列平衡方程:題3-4圖 , , ; , ，（2）再取AC梁為對(duì)象，畫(huà)受力圖，列平衡方程:, , . ., .3-5梁的支承及載荷如圖示。已知：，。試求支座的約束力。題3-5圖（a）解：（1）先取CD梁為對(duì)象，畫(huà)受力圖，列平衡方程: ， 。 ，。 。2）再取AC梁為對(duì)象，畫(huà)受力圖，列平衡方程: ， 。 ，。 ， 。（b）解：（1）取BC梁為對(duì)象，畫(huà)受力圖。因分布載荷呈三角形分布，B點(diǎn)處的載荷集度為q/2。列平衡方程:題3-5圖， ， ， 。 ， （2）取AB梁為對(duì)象，畫(huà)受力圖。列平衡方程: ， .， , .， .3-6 圖示構(gòu)架中，重物W重

6、1200 N，由細(xì)繩跨過(guò)滑輪E而水平地系于墻上，尺寸為：AD=BD=2 m，CD=DE=1.5 m。不計(jì)滑輪和桿的自重，求支座A和B處的約束力，以及桿BC的內(nèi)力。題3-6圖解：（1）以整體為研究對(duì)象，顯然。列平衡方程：， 。 ， ， ， 。（2）以AB桿為研究對(duì)象。列平衡方程：， ，其中。解得。3-7一凳子由桿AB、BC和AD鉸接而成，放在光滑的地面上，凳面上作用有力如圖示。求鉸鏈E處的約束力。題3-7圖解：（1）取整體為研究對(duì)象。， ；（2）取AB桿為研究對(duì)象。， AB桿受力圖 AD桿受力圖 （3）取AD桿為研究對(duì)象。 ， 。， ，.3-8 圖示構(gòu)架由桿AB、CD、EF和滑輪以及繩索組成，H

7、、G和E處為鉸鏈，固結(jié)在桿EF上的銷釘K放在桿CD的光滑槽內(nèi)。已知物塊M重P和水平力Q，尺寸如圖示。若不計(jì)其余構(gòu)件的自重和摩擦，求固定鉸鏈支座A和C以及桿EF上銷釘K的約束力。 題3-8圖 受力圖（1）解：（1）取整體為研究對(duì)象， ， ； ， 受力圖（2） 受力圖（3） ； 。（2）取EF桿連同輪為研究對(duì)象，顯然。， ， .（3）取CD桿為研究對(duì)象， ；代入上面（1）中第3式，解得：。3-9 滑輪B與折桿AB和BC用鉸鏈連接，如圖示。設(shè)滑輪上繩的拉力P=500 N，不計(jì)各構(gòu)件的自重，求各構(gòu)件給銷釘?shù)牧Α?題3-9圖 受力圖（1）解：（1）取輪（不包括銷釘）為對(duì)象， ， ；， ； ， ；輪對(duì)銷釘

8、的作用力是的反作用力。受力圖（2）（2）取輪連同銷釘為對(duì)象，折桿 AB和BC都是二力桿，列平衡方程：，其中，。解得。將數(shù)據(jù)代入，得：。3-10 由桿組成的結(jié)構(gòu)如圖示。A、B、C、E、G均為光滑鉸鏈。已知F=20 kN, q=10kN/m,M=20 kN-m,a=2 m, 不計(jì)自重，求A和G處的約束力以及桿BE和CE的內(nèi)力。 題3-10圖 受力圖（1）解：（1）取整體為研究對(duì)象， ， ， ； ，。受力圖（2）（2）取GE桿為研究對(duì)象， ；將此代入（1）中第3式，得。，3-11構(gòu)架由桿AB、AC和DF鉸接而成，如圖示。在桿DEF上作用一力偶矩為M的力偶。不計(jì)各桿的重量，求桿 AB上鉸鏈A、D和B所

9、受的力。題3-11圖和桿件受力圖解：（1）取整體為研究對(duì)象，支座反力必組成力偶。，；（2）取DF桿為研究對(duì)象，；（3）取AB桿為研究對(duì)象，。3-12構(gòu)架由桿AB、AC和DF組成，如圖示。桿DF上的銷子E可在桿AC的光滑槽內(nèi)滑動(dòng)。在水平桿DF的一端作用鉛直力F，不計(jì)各桿的重量，求桿 AB上鉸鏈A、D和B所受的力。題3-12圖和桿件受力圖解：（1）取整體為研究對(duì)象， ；（2）取DF桿為研究對(duì)象， ；， ；， ；（3）取AB桿為研究對(duì)象， ；， ；，。3-13不計(jì)圖示結(jié)構(gòu)中各桿的重量，力F=40kN 。求鉸鏈A、B和C處所受的力。題3-13圖和桿件受力圖解：（1）取DF桿為研究對(duì)象， ， （a）（2

10、）取CA桿為研究對(duì)象， ， （b）由式（a）和（b）聯(lián)立解得： ， ； ，。 ，代入數(shù)據(jù)，得：，。3-14在圖示構(gòu)架中，A、C、D和E處均為鉸鏈連接，桿BD上的銷子B置于AC桿的光滑槽內(nèi)，力F=200 N ，力偶矩M=100N-m ，不計(jì)結(jié)構(gòu)中各桿的重量，求A、B和C處所受的力。 題3-14受力圖 受力圖（1）解：（1）取整體為研究對(duì)象， 。 （2）取BD桿為研究對(duì)象， ， 受力圖(2) 受力圖（3） ；（3）取AC桿為研究對(duì)象， ， ；， ；， 。3-15用圖示三角架ABCD和絞車E從礦井中吊起重G=30kN的重物，ABC為等邊三角形，三角架的三只腳和繩索DE均與水平面成60°角，

11、不計(jì)三角架的重量，求當(dāng)重物被勻速吊起時(shí)各腳所受的力。題3-15圖及其構(gòu)件的受力圖解：取滑輪和重物連同桿的一部分為研究對(duì)象，受力圖及其在水平面的投影如圖示，顯然有：，。因三角架的三只腳和繩索DE均與水平面成60°角，有， ； （a），； （b） ， ； （c）由式（a）、（b）和（c）解得：.3-16 重物M放在光滑的斜面上，用沿斜面的繩AM和BM拉住。已知物重W=1000 N, 斜面的傾角，繩與鉛垂面的夾角分別為和。如果物體的尺寸忽略不計(jì)，求重物對(duì)于斜面的壓力和兩繩的拉力。 題3-16圖 重物的受力圖解：取重物M為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖，建立M-xyz直角坐標(biāo)系，其中xy沿斜面，z軸與斜

12、面垂直。， ；，解得：,將數(shù)據(jù)代入，得，。3-17 圖示一空間桁架，由六根桿組成。一力P=10 kN ，作用于節(jié)點(diǎn)A，此力在ABNDC鉛垂面內(nèi)，且與鉛垂線CA成45°角。EAK和FBM相等，皆為鉛垂等腰直角三角形，并與ABNDC直交，其余見(jiàn)圖示。求各桿的內(nèi)力。題3-17圖解：（1）取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象， ；， ；節(jié)點(diǎn)的受力圖， ， 。（2）取節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象， ， ； ， ； ，。代入數(shù)據(jù)得：，。3-18三腳圓桌的半徑r=50 cm，重為G=600 N，圓桌的三腳A、B和C形成一等邊三角形。如在中線CO上距圓心為的點(diǎn)M處作用一鉛垂力P=1500 N，求使圓桌不致翻倒的最大距離。題3-1

13、8圖 圓桌受力圖解：取三腳圓桌為研究對(duì)象，圓桌不致翻倒的條件：， ，代入數(shù)據(jù)，得使圓桌不致翻倒的最大距離為。3-19 手搖鉆由支點(diǎn)B、鉆頭A和一個(gè)彎曲的手柄組成。當(dāng)支點(diǎn)B處加壓力和，以及手柄上加力后，即可帶動(dòng)鉆頭繞軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)而鉆空。已知：，求：（1）鉆頭受到的阻抗力偶矩M；（2）材料對(duì)鉆頭的約束力的值；（3）力的值。題3-19圖 搖鉆受力圖解:取手搖鉆為研究對(duì)象, 鉆頭在A點(diǎn)受到阻礙其移動(dòng)的約束力和阻礙其繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的約束力偶作用,受力圖如圖示., , ;, , ; , , . , , . , , . , , 題3-20圖 水平軸連同齒輪及帶輪受力圖3-20 圖示水平軸AB作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其上裝有齒

14、輪C及帶輪D，齒輪直徑為240mm。已知膠帶緊邊的拉力為200 N，松邊的拉力為100 N，尺寸如圖示。求嚙合力F及軸承A和B處的約束力。解: 取水平軸連同齒輪及帶輪為研究對(duì)象, ， ；， ； ， ，； ， ， 。3-21一端有繩子拉住的重100 N的物體A置于重200 N的物體B上如圖示，B置于水平面上并作用一水平力F。若各接觸面的靜摩擦因數(shù)均為0.35,試求B即將向右運(yùn)動(dòng)時(shí)力F的大小。題3-21圖 物體A和B的受力圖解：根據(jù)題意，設(shè)物體系統(tǒng)處于臨界平衡狀態(tài)，此時(shí)各接觸面間的摩擦力均達(dá)到最大值。（1） 取物體A為研究對(duì)象， ， ， ， ， 補(bǔ)充方程：。解得： ，。（2）取物體B為研究對(duì)象，

15、， ， ； ， ， 補(bǔ)充方程：。解得：。代入數(shù)據(jù)得，。3-22 重物A與B用一不計(jì)重量的連桿鉸接后放置如圖示。已知B重1 kN ，A與水平面、B與斜面間的摩擦角均為15°。不計(jì)鉸鏈中的摩擦力，求平衡時(shí)A的最小重量。 題3-22圖 物體A和B的受力圖解：根據(jù)題意，此時(shí)物體系統(tǒng)處于臨界平衡狀態(tài)，各接觸面間的摩擦力均達(dá)到最大值。（1） 取重物B為研究對(duì)象， ， 補(bǔ)充方程：， 其中.解得：。代入數(shù)據(jù)得：。（2） 取重物A為研究對(duì)象， ， ， ， ， 補(bǔ)充方程： ，解得：。將數(shù)據(jù)代入，得：。3-23利用劈尖原理升高重物的裝置如圖示。設(shè)重物重20 kN ，各接觸面間的摩擦角均為12°，

16、不計(jì)劈尖的重量，計(jì)算圖示情況升高重物所需的最小水平力F。題3-23圖 物體A和B的受力圖解：當(dāng)重物有上升趨勢(shì)時(shí)，劈尖B有向右運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。各接觸面間的摩擦力都達(dá)到最大值。（1） 取重物連同劈尖A為研究對(duì)象， ， ，解得：，即 。（2）取劈尖B為研究對(duì)象， ， ， 解得： 。 代入數(shù)據(jù)，得：。3-24起重絞車的制動(dòng)裝置由帶動(dòng)制動(dòng)塊的手柄和制動(dòng)輪組成。已知制動(dòng)輪半徑R=50cm，鼓輪半徑r=30 cm，制動(dòng)輪與制動(dòng)塊間的摩擦因數(shù)，被提升的重物重G=1000 N ，手柄長(zhǎng)，不計(jì)手柄和制動(dòng)輪的重量，求能夠制動(dòng)所需。題3-24圖 制動(dòng)輪和手柄的受力圖解：當(dāng)力F為最小值時(shí)，制動(dòng)輪有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)，觸面間的摩擦

17、力達(dá)到最大值。（1）取制動(dòng)輪為研究對(duì)象，, ,摩擦定律：。(2) 取手柄連同制動(dòng)塊為研究對(duì)象， ， 代入數(shù)據(jù)，得：。3-25磚夾的寬度為250 mm，曲桿AGB與GCED在G點(diǎn)鉸接，尺寸如圖所示。設(shè)磚重P=120 N，提起磚的力F作用在磚夾的中線上，磚夾與磚間的摩擦因數(shù)。求距離d為多大時(shí)才能把磚夾起。題3-25圖 受力圖（1） 受力圖（2）解：當(dāng)距離d取最大值時(shí)，系統(tǒng)處于臨界平衡狀態(tài)，此時(shí)，全反力與正壓力之間的夾角為摩擦角。（1）折桿GCED為研究對(duì)象，此折桿為二力構(gòu)件，其約束力一定沿著GD連線。因此，平衡條件為：，即， .(2)取圖示折桿AGB連同折桿GCED為研究對(duì)象，由三力平衡匯交定理知

18、，A處全反力必與D處全反力對(duì)稱地交于一點(diǎn)。因此，當(dāng)D處不滑動(dòng)時(shí)A處必也不滑動(dòng)。 題3-26圖 受力圖（1） 受力圖（2）3-26圖示重100 N、高H=20 cm、底面直徑d=10 cm的正圓錐體放在斜面上。靜摩擦因數(shù)，質(zhì)心C的位置h=H/4。求錐體在斜面上保持靜止時(shí)作用于圓錐頂點(diǎn)的水平力的大小。解：取圓錐體為研究對(duì)象。（1）設(shè)力較小，圓錐體有下滑或逆時(shí)針?lè)冠厔?shì)。， ； ，解得： ；其中為斜面傾角。最大靜滑動(dòng)摩擦力 。 不滑動(dòng)條件：。 解得：，其中為摩擦角。 ，.代入數(shù)據(jù)，得：，所以，圓錐在滑動(dòng)臨界狀態(tài)時(shí)不會(huì)翻倒。的下限要求 。（2）設(shè)力較大，圓錐體有上滑或順時(shí)針?lè)冠厔?shì)。 ， ， ， ；

19、最大靜滑動(dòng)摩擦力 。不滑動(dòng)條件：。解得：。，.代入數(shù)據(jù)，得：。因此，在沒(méi)有達(dá)到滑動(dòng)臨界狀態(tài)時(shí)，圓錐已經(jīng)。不翻倒的條件是，即 由此得，代入數(shù)據(jù)，得。綜上分析，的取值范圍為 。3-27攀登電線桿的腳套鉤如圖示。設(shè)電線桿的直徑d=300 mm，A和B之間的的垂直距離b=-100 mm。若套鉤與電線桿之間的摩擦因數(shù)。求工人操作時(shí)，為了安全，站在套鉤上的最最小距離應(yīng)為多大。題3-27圖 套購(gòu)的受力圖解：取套鉤為研究對(duì)象，在平衡狀態(tài)下，A和B點(diǎn)處的全反力作用線的交點(diǎn)只可能落在圖示陰影區(qū)域內(nèi)，按三力平衡匯交定理，第三個(gè)力的作用線必須穿過(guò)這個(gè)陰影區(qū)域，最最小距離是過(guò)C點(diǎn)。由幾何關(guān)系得 ， 解得 。實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，

20、考慮到安全因素，須 ，代入數(shù)據(jù)，得。 題3-28圖 門(mén)的受力圖3-28不計(jì)自重的拉門(mén)與上下滑道之間的靜摩擦因數(shù)為，門(mén)高為h。若在門(mén)上2 h /3處用水平力F拉門(mén)而不致被卡住，求門(mén)寬b的最小值。問(wèn)門(mén)的自重對(duì)不被卡住的門(mén)寬最小值有否影響？解：取門(mén)為研究對(duì)象，當(dāng)門(mén)太窄時(shí)，在水平力作用下門(mén)有順時(shí)針的角位移，使門(mén)的A和E點(diǎn)與門(mén)的上下滑道接觸，設(shè)門(mén)處于滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)，受力圖如圖示， ， 補(bǔ)充方程：，。以上5個(gè)方程聯(lián)立，解得：。由于門(mén)被卡住時(shí)平衡已與力的大小無(wú)關(guān)，令，導(dǎo)出門(mén)不被卡住時(shí)的門(mén)寬b的最小值，此時(shí)與門(mén)重?zé)o關(guān)。3-29一半徑為R、重為P1的輪靜止在水平面上，如圖示。在輪上半徑為r的軸上繞有細(xì)繩，此

21、繩跨過(guò)滑輪A，在端部系一重為P2的物體。繩的AB部分與鉛直線成角。求輪與水平面接觸點(diǎn)C處的滾阻力偶矩、滑動(dòng)摩擦力和法向反力。 題3-29圖 輪的受力圖解：取輪為研究對(duì)象，。列平衡方程：， 滑動(dòng)摩擦力：；， 法向反力： ；，滾阻力偶矩：。3-30鋼管車間的鋼管運(yùn)轉(zhuǎn)臺(tái)架，鋼管依靠自重緩慢無(wú)滑動(dòng)地滾下，鋼管直徑50mm。設(shè)鋼管與臺(tái)架間的滾阻系數(shù)。試決定臺(tái)架的最小傾角的大小。 題3-30圖 鋼管的受力圖解：取鋼管為研究對(duì)象，設(shè)鋼管重為G，且鋼管處于臨界滾動(dòng)狀態(tài)， ；， 在臨界滾動(dòng)狀態(tài)，滾動(dòng)摩阻力偶達(dá)到最大值。其中，。將代入，得，代入數(shù)據(jù)，。3-31汽車P=15 KN， 車輪的直徑為600 mm，輪自重不計(jì)。問(wèn)發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)給予后輪多大的力偶矩，方能使前輪越過(guò)高為80 mm的阻礙物？并問(wèn)此時(shí)后輪與地面的靜摩擦因數(shù)應(yīng)為多大才不致打滑？ 題3-31圖和汽車的受力圖解：（1）取汽車為研究對(duì)象。設(shè)汽車處于將要翻過(guò)阻礙物的臨界平衡狀態(tài)，此時(shí)，前輪恰好與地面