06 測量誤差理論

1、第六章 測量誤差理論(theory of errors)第六章 測量誤差理論(theory of errors)161 觀測誤差(observation error)162 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)3一、中誤差3二、容許誤差4三、相對(duì)誤差463 誤差傳播定律(law of propagation of errors)5一、倍數(shù)函數(shù)5二、和差函數(shù)5三、線性函數(shù)6四、一般函數(shù)664 算術(shù)平均值及其中誤差765 加權(quán)平均值及其中誤差9思考與練習(xí)題1061 觀測誤差(observation error)研究測量誤差的來源、性質(zhì)及其產(chǎn)生和傳播的規(guī)律，解決測量工作中遇到的實(shí)際問題而建立起來的概念和原理的體系，稱為測

2、量誤差理論。 在實(shí)際的測量工作中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)對(duì)某個(gè)確定的量進(jìn)行多次觀測時(shí)，所得到的各個(gè)結(jié)果之間往往存在著一些差異，例如重復(fù)觀測兩點(diǎn)的高差，或者是多次觀測一個(gè)角或丈量若干次一段距離，其結(jié)果都互有差異。另一種情況是，當(dāng)對(duì)若干個(gè)量進(jìn)行觀測時(shí)，如果已經(jīng)知道在這幾個(gè)量之間應(yīng)該滿足某一理論值，實(shí)際觀測結(jié)果往往不等于其理論上的應(yīng)有值。例如，一個(gè)平面三角形的內(nèi)角和等于180，但三個(gè)實(shí)測內(nèi)角的結(jié)果之和并不等于180，而是有一差異。這些差異稱為不符值。這種差異是測量工作中經(jīng)常而又普遍發(fā)生的現(xiàn)象，這是由于觀測值中包含有各種誤差的緣故。 任何的測量都是利用特制的儀器、工具進(jìn)行的，由于每一種儀器只具有一定限度的精密度，因此

3、測量結(jié)果的精確度受到了一定的限制。且各個(gè)儀器本身也有一定的誤差，使測量結(jié)果產(chǎn)生誤差。測量是在一定的外界環(huán)境條件下進(jìn)行的，客觀環(huán)境包括溫度、濕度、風(fēng)力、大氣折光等因素?？陀^環(huán)境的差異和變化也使測量的結(jié)果產(chǎn)生誤差。測量是由觀測者完成的，人的感覺器官的鑒別能力有一定的限度，人們?cè)趦x器的安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)等等方面都會(huì)產(chǎn)生誤差。此外，觀測者的工作態(tài)度、操作技能也會(huì)對(duì)測量結(jié)果的質(zhì)量(精度)產(chǎn)生影響。觀測值中存在觀測誤差有下列三方面原因：1、觀測者 由于觀測者的感覺器官的鑒別能力的局限性，在儀器安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)等工作中都會(huì)產(chǎn)生誤差。同時(shí)，觀測者的技術(shù)水平及工作態(tài)度也會(huì)對(duì)觀測結(jié)果產(chǎn)生影響。2、測量儀器(surv

4、eying instrument) 測量工作所使用的測量儀器都具有一定的精密度，從而使觀測結(jié)果的精度受到限制。另外，儀器本身構(gòu)造上的缺陷，也會(huì)使觀測結(jié)果產(chǎn)生誤差。3、外界觀測條件(field observation condition) 外界觀測條件是指野外觀測過程中，外界條件的因素，如天氣的變化、植被的不同、地面土質(zhì)松緊的差異、地形的起伏、周圍建筑物的狀況，以及太陽光線的強(qiáng)弱、照射的角度大小等。有風(fēng)會(huì)使測量儀器不穩(wěn)，地面松軟可使測量儀器下沉，強(qiáng)烈陽光照射會(huì)使水準(zhǔn)管變形，太陽的高度角、地形和地面植被決定了地面大氣溫度梯度，觀測視線穿過不同溫度梯度的大氣介質(zhì)或靠近反光物體，都會(huì)使視線彎曲。產(chǎn)生折

5、光現(xiàn)象。因此，外界觀測條件是保證野外測量質(zhì)量的一個(gè)重要要素。觀測者、測量儀器和觀測時(shí)的外界條件是引起觀測誤差的主要因素，通常稱為觀測條件。觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測。觀測條件不同的各次觀測，稱為非等精度觀測。任何觀測都不可避免地要產(chǎn)生誤差。為了獲得觀測值的正確結(jié)果，就必須對(duì)誤差進(jìn)行分析研究，以便采取適當(dāng)?shù)拇胧﹣硐蛳魅跗溆绊?。觀測誤差按其性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。(1)系統(tǒng)誤差。由儀器制造或校正不完善、觀測員生理習(xí)性、測量時(shí)外界條件、儀器檢定時(shí)不一致等原因引起。在同一條件下獲得的觀測列中，其數(shù)據(jù)、符號(hào)或保持不變，或按一定的規(guī)律變化。在觀測成果中具有累計(jì)性，對(duì)成果質(zhì)量影

6、響顯著，應(yīng)在觀測中采取相應(yīng)措施予以消除。 (2) 偶然誤差。它的產(chǎn)生取決于觀測進(jìn)行中的一系列不可能嚴(yán)格控制的因素（如濕度、溫度、空氣振動(dòng)等）的隨機(jī)擾動(dòng)。在同一條件下獲得的觀測列中，其數(shù)值、符號(hào)不定，表面看沒有規(guī)律性，實(shí)際上是服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。隨機(jī)誤差又可分兩種：一種是誤差的數(shù)學(xué)期望不為零稱為“隨機(jī)性系統(tǒng)誤差”；另一種是誤差的數(shù)學(xué)期望為零黍?yàn)榕既徽`差。這兩種隨機(jī)誤差經(jīng)常同時(shí)發(fā)生，須根據(jù)最小二乘法原理加以處理。(3)粗差。是一些不確定因素引起的誤差，國內(nèi)外學(xué)者在粗差的認(rèn)識(shí)上還未有統(tǒng)一的看法，目前的觀點(diǎn)主要有幾類：一類是將粗差看用與偶然誤差具有相同的方差，但期望值不同；另一類是將粗差看作與偶然誤

7、差具有相同的期望值，但其方差十分巨大；還有一類是認(rèn)為偶然誤差與粗差具有相同的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，但有正態(tài)與病態(tài)的不同。以上的理論均是建立在把偶然誤差和粗差均為屬于連續(xù)型隨機(jī)變量的范疇。還有一些學(xué)者認(rèn)為粗差屬于離散型隨機(jī)變量。當(dāng)觀測值中剔除了粗差，排除了系統(tǒng)誤差的影響，或者與偶然誤差相比系統(tǒng)誤差處于次要地位后，占主導(dǎo)地位的偶然誤差就成了我們研究的主要對(duì)象。從單個(gè)偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號(hào)和大小沒有一定的規(guī)律性，但對(duì)大量的偶然誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性，誤差個(gè)數(shù)愈多，規(guī)律性愈明顯。例如，在相同的觀測條件下，對(duì)358個(gè)三角形的內(nèi)角進(jìn)行了觀測。由于觀測值含有偶然誤差，致使每個(gè)三角形的內(nèi)角和不等于180。

8、設(shè)三角形內(nèi)角和的真值為X，觀測值為L，其觀測值與真值之差為真誤差。用下式表示為： （i=1,2,358）（6-1）由（6-1）式計(jì)算出358個(gè)三角形內(nèi)角和的真誤差，并取誤差區(qū)間為0.2，以誤差的大小和正負(fù)號(hào)，分別統(tǒng)計(jì)出它們?cè)诟髡`差區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)V和頻率V/n，結(jié)果列于表6-1。表61 偶然誤差的區(qū)間分布誤差區(qū)間d正 誤 差負(fù) 誤 差合 計(jì)個(gè)數(shù)V頻率V/n個(gè)數(shù)V頻率V/n個(gè)數(shù)V頻率V/n0.00.2450.126460.128910.2540.20.4400.112410.115810.2260.40.6330.092330.092660.1840.60.8230.064210.059440.12

9、30.81.0170.047160.045330.0921.01.2130.036130.036260.0731.21.460.01750.014110.0311.41.640.01120.00660.0171.6以上0000001810.5051770.4953581.000從表6-1中可看出，最大誤差不超過1.6，小誤差比大誤差出現(xiàn)的頻率高，絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)近于相等。通過大量實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果證明了偶然誤差具有如下特性：（1）在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限度，（2）絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的可能性大，（3）絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，

10、（4）當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。即 （6-2）上述第四個(gè)特性說明，偶然誤差具有抵償性，它是由第三個(gè)特性導(dǎo)出的。圖6-1 誤差分布直方圖如果將表6-1中所列數(shù)據(jù)用圖6-1表示，可以更直觀地看出偶然誤差的分布情況。圖中橫坐標(biāo)表示誤差的大小，縱坐標(biāo)表示各區(qū)間誤差出現(xiàn)的頻率除以區(qū)間的間隔值。當(dāng)誤差個(gè)數(shù)足夠多時(shí)，如果將誤差的區(qū)間間隔無限縮小，則圖6-1中各長方形頂邊所形成的折線將變成一條光滑的曲線，稱為誤差分布曲線。在概率論中，把這種誤差分布稱為正態(tài)分布。掌握了偶然誤差的特性，就能根據(jù)帶有偶然誤差的觀測值求出未知量的最可靠值，并衡量其精度。同時(shí)，也可應(yīng)用誤差理論來研究最合理的測

11、量工作方案和觀測方法。62 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測值精度的常用標(biāo)準(zhǔn)有以下幾種一、中誤差在等精度觀測列中，各真誤差平方的平均數(shù)的平方根，稱為中誤差，也稱均方誤差，即 （6-3）【例】 設(shè)有兩組等精度觀測列，其真誤差分別為第一組-3、+3、-1、-3、+4、+2、-1、-4；第二組+1、-5、-1、+6、-4、0、+3、-1。試求這兩組觀測值的中誤差。解：比較m1和m2可知，第一組觀測值的精度要比第二組高。必須指出，在相同的觀測條件下所進(jìn)行的一組觀測，由于它們對(duì)應(yīng)著同一種誤差分布，因此，對(duì)于這一組中的每一個(gè)觀測值，雖然各真誤差彼此并不相等，有的甚至相差很大，但它們的精度均相同，即都為同精度觀測值。

12、二、容許誤差由偶然誤差的第一特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值。這個(gè)限值就是容許誤差或稱極限誤差。此限值有多大呢？根據(jù)誤差理論和大量的實(shí)踐證明，在一系列的同精度觀測誤差中，真誤差絕對(duì)值大于中誤差的概率約為32%；大于2倍中誤差的概率約為5%；大于3倍中誤差的概率約為0.3%。也就是說，大于3倍中誤差的真誤差實(shí)際上是不可能出現(xiàn)的。因此，通常以3倍中誤差作為偶然誤差的極限值。在測量工作中一般取2倍中誤差作為觀測值的容許誤差，即容=2m（6-4）當(dāng)某觀測值的誤差超過了容許的2倍中誤差時(shí)，將認(rèn)為該觀測值含有粗差，而應(yīng)舍去不用或重測。三、相對(duì)誤差對(duì)于某些觀測結(jié)果，有時(shí)單靠中

13、誤差還不能完全反映觀測精度的高低。例如，分別丈量了100m和200m兩段距離，中誤差均為0.02m。雖然兩者的中誤差相同，但就單位長度而言，兩者精度并不相同，后者顯然優(yōu)于前者。為了客觀反映實(shí)際精度，常采用相對(duì)誤差。觀測值中誤差m的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測值S的比值稱為相對(duì)中誤差。它是一個(gè)無名數(shù)，常用分子為1的分?jǐn)?shù)表示，即 （6-5） 上例中前者的相對(duì)中誤差為，后者為，表明后者精度高于前者。對(duì)于真誤差或容許誤差，有時(shí)也用相對(duì)誤差來表示。例如，距離測量中的往返測較差與距離值之比就是所謂的相對(duì)真誤差，即 （6-6）與相對(duì)誤差對(duì)應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都是絕對(duì)誤差。63 誤差傳播定律(law of pro

14、pagation of errors)當(dāng)對(duì)某量進(jìn)行了一系列的觀測后，觀測值的精度可用中誤差來衡量。但在實(shí)際工作中，往往會(huì)遇到某些量的大小并不是直接測定的，而是由觀測值通過一定的函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算出來的。例如，水準(zhǔn)測量中，在一測站上測得后、前視讀數(shù)分別為a、b，則高差h=a-b，這時(shí)高差h就是直接觀測值a、b的函數(shù)。當(dāng)a、b存在誤差時(shí)，h也受其影響而產(chǎn)生誤差，這就是所謂的誤差傳播。闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。本節(jié)就以下四種常見的函數(shù)來討論誤差傳播的情況。一、倍數(shù)函數(shù)設(shè)有函數(shù) （6-7）式中k為常數(shù)，x為直接觀測值，其中誤差為mx，現(xiàn)在求觀測值函數(shù)Z的中誤差mZ

15、。設(shè)x和Z的真誤差分別為x和Z，由（6-7）式知它們之間的關(guān)系為Z=kx若對(duì)x共觀測了n次，則 （i=1,2,n）將上式兩端平方后相加，并除以n，得 （6-8）按中誤差定義可知所以（6-8）式可寫成或 （6-9）即觀測值倍數(shù)函數(shù)的中誤差，等于觀測值中誤差乘倍數(shù)（常數(shù)）?！纠?用水平視距公式D=kl求平距，已知觀測視距間隔的中誤差ml=1cm，k=100，則平距的中誤差mD=100ml=1 m。二、和差函數(shù)設(shè)有函數(shù) （6-10）式中x、y為獨(dú)立觀測值，它們的中誤差分別為mx和my，設(shè)真誤差分別為x和y，由（6-10）式可得若對(duì)x、y均觀測了n次，則 將上式兩端平方后相加，并除以n得上式中各項(xiàng)均

16、為偶然誤差。根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng)n愈大時(shí)，式中最后一項(xiàng)將趨近于零，于是上式可寫成（6-11）根據(jù)中誤差定義，可得 （6-12）即觀測值和差函數(shù)的中誤差平方，等于兩觀測值中誤差的平方之和?！纠?在ABC中，C=180AB，A和B的觀測中誤差分別為3和4，則C的中誤差。三、線性函數(shù)設(shè)有線性函數(shù) z=k1x1k2x2knxn （6-13） 式中x1、 x2、xn為獨(dú)立觀測值，k1、 k2、kn為常數(shù)，則綜合（6-9）式和（6-12）式可得mz2=(k1m1)2(k2m2)2+ (knmn)2 （6-14）【例】 有一函數(shù)，其中x1、x2、x3的中誤差分別為3mm、2mm、1mm，則。四、一般函數(shù)

17、設(shè)有一般函數(shù)（6-15）式中x1、x2、xn為獨(dú)立觀測值，已知其中誤差為mi (i=1,2, ,n)。當(dāng)xi具有真誤差i時(shí)，函數(shù)Z則產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差z, 因?yàn)檎嬲`差是一微小量，故將（6-15）取全微分，將其化為線性函數(shù)，并以真誤差符號(hào)“”代替微分符號(hào)“d”,得式中是函數(shù)對(duì)xi取的偏導(dǎo)數(shù)并用觀測值代入算出的數(shù)值，它們是常數(shù)，因此，上式變成了線性函數(shù)，按（6-14）式得 （6-16）上式是誤差傳播定律的一般形式。前述的（6-9）、（6-12）、（6-14）式都可看著上式的特例?！纠?某一斜距S=106.28m，斜距的豎角，中誤差、，求改算后的平距的中誤差。解：全微分化成線性函數(shù)，用“”代替“d”

18、，得應(yīng)用（6-16）式后，得 cm在上式計(jì)算中，單位統(tǒng)一為厘米，是將角值的單位由秒化為弧度。64 算術(shù)平均值及其中誤差設(shè)在相同的觀測條件下對(duì)某量進(jìn)行了n次等精度觀測，觀測值為L1、L2、Ln，其真值為X，真誤差為1、2、n。由（6-1）式可寫出觀測值的真誤差公式為 （i=1,2,n）將上式相加后，得 故若以x表示上式中右邊第一項(xiàng)的觀測值的算術(shù)平均值，即 （6-17）則 上式右邊第二項(xiàng)是真誤差的算術(shù)平均值。由偶然誤差的第四特性可知，當(dāng)觀測次數(shù)n無限增多時(shí)，則，即算術(shù)平均值就是觀測量的真值。在實(shí)際測量中，觀測次數(shù)總是有限的。根據(jù)有限個(gè)觀測值求出的算術(shù)平均值x與其真值X僅差一微小量。故算術(shù)平均值是觀

19、測量的最可靠值，通常也稱為最或是值(most probable value)。由于觀測值的真值X一般無法知道，故真誤差也無法求得。所以不能直接應(yīng)用（6-3）式求觀測值的中誤差，而是利用觀測值的最或是值x與各觀測值之差V來計(jì)算中誤差，V被稱為改正數(shù)，即V=x-L（6-18）實(shí)際工作中利用改正數(shù)計(jì)算觀測值中誤差的實(shí)用公式稱為白塞爾公式。即（6-19）利用V=0，VV=LV檢核式，可作計(jì)算正確性的檢核。在求出觀測值的中誤差m后，就可應(yīng)用誤差傳播定律求觀測值算術(shù)平均值的中誤差M，推導(dǎo)如下：應(yīng)用誤差傳播定律有 （6-20）由上式可知，增加觀測次數(shù)能削弱偶然誤差對(duì)算術(shù)平均值的影響，提高其精度。但因觀測次數(shù)

20、與算術(shù)平均值中誤差并不是線性比例關(guān)系，所以，當(dāng)觀測次數(shù)達(dá)到一定數(shù)目后，即使再增加觀測次數(shù)，精度卻提高得很少。因此，除適當(dāng)增加觀測次數(shù)外，還應(yīng)選用適當(dāng)?shù)挠^測儀器和觀測方法，選擇良好的外界環(huán)境，才能有效地提高精度?！纠?對(duì)某段距離進(jìn)行了5次等精度觀測，觀測結(jié)果列于表6-2，試求該段距離的最或是值、觀測值中誤差及最或是值中誤差。計(jì)算見表6-2。表62 等精度觀測計(jì)算序號(hào)L（m）V（cm）VV（cm）精 度 評(píng) 定1251.52-39mm2251.46+393251.49004251.48-115251.50+11V=0VV=20最后結(jié)果可寫成x=251.490.01（m）。65 加權(quán)平均值及其中誤

21、差此時(shí)當(dāng)各觀測量的精度不相同時(shí)，不能按算術(shù)平均值（6-17）式和中誤差（6-19）及（6-20）式來計(jì)算觀測值的最或是值和評(píng)定其精度。計(jì)算觀測量的最或然值應(yīng)考慮到各觀測值的質(zhì)量和可靠程度，顯然對(duì)精度較高的觀測值，在計(jì)算最或然值時(shí)應(yīng)占有較大的比重，反之，精度較低的應(yīng)占較小的比重，為此的各個(gè)觀測值要給定一個(gè)數(shù)值來比較它們的可靠程度，這個(gè)數(shù)值在測量計(jì)算中被稱為觀測值的權(quán)(weight)。顯然，觀測值的精度愈高，中誤差就愈小，權(quán)就愈大，反之亦然。在測量計(jì)算中，給出了用中誤差求權(quán)的定義公式 （6-21）式中P為觀測值的權(quán)，為任意常數(shù)，m為各觀測值對(duì)應(yīng)的中誤差。在用上式求一組觀測值的權(quán)Pi時(shí)，必須采用同一

22、值。當(dāng)取P=1時(shí)，就等于m，即=m，通常稱數(shù)字為1的權(quán)為單位權(quán)，單位權(quán)對(duì)應(yīng)的觀測值為單位權(quán)觀測值。單位權(quán)觀測值對(duì)應(yīng)的中誤差為單位權(quán)中誤差。當(dāng)已知一組非等精度觀測值的中誤差時(shí)，可以先設(shè)定值，然后按（6-21）式計(jì)算各觀測值的權(quán)。例如：已知三個(gè)角度觀測值的中誤差分別為m1=3、m2=4、m3=5，它們的權(quán)分別為：若設(shè) 則 P1=1 P2=9/16 P3=9/25若設(shè) 則 P1=1/9 P2=1/16 P3=1/25上例中P1:P2:P3=P1:P2:P3=1:0.56:0.36?？梢姡琺值取得不同，權(quán)值也不同，但不影響各權(quán)之間的比例關(guān)系。當(dāng)時(shí)，P1就是該問題中的單位權(quán)，m1=3就是單位權(quán)中誤差。中誤差是用來反映觀測值的絕對(duì)精度，而權(quán)是用來比較各觀測值相互之間的精度高低。因此，權(quán)的意義在于它們之間所存在的比例關(guān)系，而不在于它本身數(shù)值的大小。對(duì)某量進(jìn)行了n次非等精度觀測，觀測值分別為L1、L2、Ln，相應(yīng)的權(quán)為P1、P2、Pn，則加權(quán)平均值x就是非等精度觀測值的最或是值，計(jì)算公式為 （6-22）顯然，當(dāng)各觀測值為等精度時(shí)，其權(quán)為P1=P2=Pn=1，上式就與求算術(shù)平均值的（6-17）式一致。設(shè)L1Ln的中誤差為m1mn，則根據(jù)誤差傳播定律，由（6-22）可導(dǎo)出加權(quán)平均值的中誤差為 （6-23）而由（6-21）式，有，代