21　柯西不等式

1、2.1柯西不等式2.1.1平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式2.1.2柯西不等式的一般形式及其參數(shù)配方法的證明1.認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義.2.通過運(yùn)用柯西不等式解決一些簡單問題.基礎(chǔ)·初探教材整理1柯西不等式1.柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a1，a2，b1，b2均為實(shí)數(shù)，則(aa)(bb)(a1b1a2b2)2.2.柯西不等式的向量形式：設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則|·|.3.柯西不等式的三角不等式：|.4.柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，an，b1，b2，bn為實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)|a1b1a2b2anbn|，其中等號成立(當(dāng)某bj0時(shí)，認(rèn)為a

2、j0，j1,2，n).教材整理2參數(shù)配方法利用二次三項(xiàng)式的判別式證明柯西不等式的方法稱為參數(shù)配方法.已知不等式(xy)9對任意的正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A.2B.4C.6D.8【解析】由柯西不等式可求出(xy)(1)2，當(dāng)x1，y時(shí)，(xy)的最小值是(1)2，故只需(1)29，即a4即可.【答案】B質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型利用柯西不等式證明不等式已知a，b，x，y都是正數(shù)，且ab1，求證：(ax1bx2)(bx1ax2)x1x2.【精彩點(diǎn)撥】如果對不等式左端

3、直接用柯西不等式，得不到所要證明的結(jié)論.若把第二個(gè)小括號內(nèi)的兩項(xiàng)對調(diào)一下，再應(yīng)用柯西不等式即可得證.【自主解答】a，b，x，y大于0，(ax1bx2)(bx1ax2)(ax1bx2)(ax2bx1)(ab)2(ab)2x1x2.又因?yàn)閍b1，所以(ab)2x1x2x1x2，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)x1x2時(shí)成立.所以(ax1bx2)(bx1ax2)x1x2.1.利用二維形式的柯西不等式證明時(shí)，要抓住柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，必要時(shí)，需要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)變形.2.變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，

4、找到突破口.再練一題1.設(shè)x1，x2，xn為正數(shù)，求證：(x1x2xn)n2.【證明】由柯西不等式得(x1x2xn)n2，(x1x2xn)n2.利用柯西不等式求最值設(shè)xyz1，求函數(shù)u2x23y2z2的最小值.【精彩點(diǎn)撥】由xyz1以及u2x23y2z2的形式，聯(lián)想柯西不等式，構(gòu)造因式解決問題.【自主解答】由xyz·x·y1·z.根據(jù)柯西不等式，有·(2x23y2z2)(2x23y2z2)，因此1(xyz)2(2x23y2z2)，u2x23y2z2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時(shí)等號成立.x，y，z代入xyz1，得x，y，z時(shí)，等號成立.故函數(shù)u2x23y2z2的

5、最小值是.1.利用柯西不等式求最值，不但要注意等號成立的條件，而且要善于對目標(biāo)函數(shù)配湊，保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.2.常用的配湊的技巧有：(1)巧拆常數(shù)；(2)重新安排某些項(xiàng)的次序；(3)適當(dāng)添項(xiàng)；(4)適當(dāng)改變結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到運(yùn)用柯西不等式求最值.再練一題2.若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2y2z29，則x2y3z的最大值是_.【解析】由柯西不等式得(x2y3z)2(12232)·(x2y2z2)14×9，故x2y3z3，所以x2y3z的最大值是3.【答案】3運(yùn)用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍已知正數(shù)x，y，z滿足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范圍.【精彩點(diǎn)撥】“恒成立”問題需求的最大

6、值，設(shè)法應(yīng)用柯西不等式求最值.【自主解答】x>0，y>0，z>0，且xyzxyz，1.又，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)，即xyz時(shí)等號成立，的最大值為.故恒成立時(shí)，應(yīng)有.因此的取值范圍是.此題也是通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化應(yīng)用柯西不等式，由此可見，應(yīng)用柯西不等式，首先要對不等式形式、條件熟練掌握，然后根據(jù)題目的特點(diǎn)“創(chuàng)造性”的應(yīng)用定理.再練一題3.已知函數(shù)f(x)2.若關(guān)于x的不等式f(x)|m2|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解】由柯西不等式得(2)2(2212)·|()2()2|25，所以f(x)25.當(dāng)且僅當(dāng)，即x4時(shí)，等號成立.又不等式f(x)|m2|恒成立，所以|m2|5，解得m7

7、或m3.故m的取值范圍為(，37，).探究共研型柯西不等式的應(yīng)用探究1在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中，取等號的條件可以寫成嗎？【提示】不可以.當(dāng)b·d0時(shí)，柯西不等式成立，但不成立.探究2在平面直角坐標(biāo)系中，若ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).則二維柯西不等式的三角形式又是怎樣體現(xiàn)的呢？【提示】根據(jù)二維柯西不等式的幾何意義，在ABC中，三角形式的柯西不等式為.探究3在一般形式的柯西不等式中，等號成立的條件記為aikbi(i1,2,3，n)，可以嗎？【提示】不可以.若bi0而ai0，則k不存在.探究4利用柯西不等式時(shí)，常用的變形技巧有哪些？

8、【提示】柯西不等式形式優(yōu)美，有重要的應(yīng)用價(jià)值，應(yīng)用柯西不等式解題的關(guān)鍵是恰到好處的變形，常用的變形技巧有：(1)等價(jià)變形，將要解決的不等式問題作等價(jià)變形，構(gòu)造出幾個(gè)實(shí)數(shù)的平方和與另n個(gè)實(shí)數(shù)平方和的乘積的形式.(2)配輔助式，為了應(yīng)用柯西不等式，有時(shí)要根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合柯西不等式等號成立的條件，配湊適當(dāng)?shù)妮o助式，使問題獲證.(3)適當(dāng)換元，有時(shí)根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征適當(dāng)換元，轉(zhuǎn)化為容易應(yīng)用柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，使問題簡捷獲解.(4)配系數(shù)，為了應(yīng)用柯西不等式溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，有時(shí)要通過巧配系數(shù)來完成.已知3x22y26，求證：2xy.【精彩點(diǎn)撥】將不等式2xy的左邊湊成柯西

9、不等式的形式，然后證明.【自主解答】2xy·x·y.由柯西不等式得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)6×11，于是2xy，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.再練一題4.已知x2y1，則x2y2的最小值為_.【解析】1x2y，1(x2y)2(122)(x2y2).當(dāng)且僅當(dāng)x，y時(shí)，取等號，(x2y2)min.【答案】構(gòu)建·體系1.設(shè)x，yR，且2x3y13，則x2y2的最小值為()A.B.169C.13D.0【解析】(2x3y)2(2232)(x2y2)，x2y213.【答案】C2.已知2x2y21，則2xy的最大值是()A.B.2 C.D.3【解析】2xy·x1×y ，當(dāng)且僅當(dāng)yx，即xy時(shí)等號成立.【答案】C3.若a，bR，且a2b210，則ab的取值范圍是() 【導(dǎo)學(xué)號：38000032】A.2，2B.2，2C.，D.，【解析】(a2b2)12(1)2(ab)2，|ab|2，ab2，2.【答案】A4.設(shè)a，b，c為正數(shù)，則(abc)的最小值為_.【解析】a，b，c為正數(shù)，(abc)()2()2()2121，當(dāng)且僅當(dāng)k(k>0)時(shí)等號成立.故(abc)的最小值是121.【答案】1215.已知實(shí)