21　柯西不等式

1、2.1柯西不等式2.1.1平面上的柯西不等式的代數和向量形式2.1.2柯西不等式的一般形式及其參數配方法的證明1.認識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義.2.通過運用柯西不等式解決一些簡單問題.基礎·初探教材整理1柯西不等式1.柯西不等式的代數形式：設a1，a2，b1，b2均為實數，則(aa)(bb)(a1b1a2b2)2.2.柯西不等式的向量形式：設，為平面上的兩個向量，則|·|.3.柯西不等式的三角不等式：|.4.柯西不等式的一般形式：設a1，a2，an，b1，b2，bn為實數，則(aaa)(bbb)|a1b1a2b2anbn|，其中等號成立(當某bj0時，認為a

2、j0，j1,2，n).教材整理2參數配方法利用二次三項式的判別式證明柯西不等式的方法稱為參數配方法.已知不等式(xy)9對任意的正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為()A.2B.4C.6D.8【解析】由柯西不等式可求出(xy)(1)2，當x1，y時，(xy)的最小值是(1)2，故只需(1)29，即a4即可.【答案】B質疑·手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型利用柯西不等式證明不等式已知a，b，x，y都是正數，且ab1，求證：(ax1bx2)(bx1ax2)x1x2.【精彩點撥】如果對不等式左端

3、直接用柯西不等式，得不到所要證明的結論.若把第二個小括號內的兩項對調一下，再應用柯西不等式即可得證.【自主解答】a，b，x，y大于0，(ax1bx2)(bx1ax2)(ax1bx2)(ax2bx1)(ab)2(ab)2x1x2.又因為ab1，所以(ab)2x1x2x1x2，其中等號當且僅當x1x2時成立.所以(ax1bx2)(bx1ax2)x1x2.1.利用二維形式的柯西不等式證明時，要抓住柯西不等式的結構特征，必要時，需要將數學表達式適當變形.2.變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據題設條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數形結合等方法才能發(fā)現(xiàn)問題的本質，

4、找到突破口.再練一題1.設x1，x2，xn為正數，求證：(x1x2xn)n2.【證明】由柯西不等式得(x1x2xn)n2，(x1x2xn)n2.利用柯西不等式求最值設xyz1，求函數u2x23y2z2的最小值.【精彩點撥】由xyz1以及u2x23y2z2的形式，聯(lián)想柯西不等式，構造因式解決問題.【自主解答】由xyz·x·y1·z.根據柯西不等式，有·(2x23y2z2)(2x23y2z2)，因此1(xyz)2(2x23y2z2)，u2x23y2z2，當且僅當x，y，z時等號成立.x，y，z代入xyz1，得x，y，z時，等號成立.故函數u2x23y2z2的

5、最小值是.1.利用柯西不等式求最值，不但要注意等號成立的條件，而且要善于對目標函數配湊，保證出現(xiàn)常數結果.2.常用的配湊的技巧有：(1)巧拆常數；(2)重新安排某些項的次序；(3)適當添項；(4)適當改變結構，從而達到運用柯西不等式求最值.再練一題2.若實數x，y，z滿足x2y2z29，則x2y3z的最大值是_.【解析】由柯西不等式得(x2y3z)2(12232)·(x2y2z2)14×9，故x2y3z3，所以x2y3z的最大值是3.【答案】3運用柯西不等式求參數的取值范圍已知正數x，y，z滿足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范圍.【精彩點撥】“恒成立”問題需求的最大

6、值，設法應用柯西不等式求最值.【自主解答】x>0，y>0，z>0，且xyzxyz，1.又，當且僅當xyz時，即xyz時等號成立，的最大值為.故恒成立時，應有.因此的取值范圍是.此題也是通過構造轉化應用柯西不等式，由此可見，應用柯西不等式，首先要對不等式形式、條件熟練掌握，然后根據題目的特點“創(chuàng)造性”的應用定理.再練一題3.已知函數f(x)2.若關于x的不等式f(x)|m2|恒成立，求實數m的取值范圍.【解】由柯西不等式得(2)2(2212)·|()2()2|25，所以f(x)25.當且僅當，即x4時，等號成立.又不等式f(x)|m2|恒成立，所以|m2|5，解得m7

7、或m3.故m的取值范圍為(，37，).探究共研型柯西不等式的應用探究1在二維形式的柯西不等式的代數形式中，取等號的條件可以寫成嗎？【提示】不可以.當b·d0時，柯西不等式成立，但不成立.探究2在平面直角坐標系中，若ABC的三個頂點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).則二維柯西不等式的三角形式又是怎樣體現(xiàn)的呢？【提示】根據二維柯西不等式的幾何意義，在ABC中，三角形式的柯西不等式為.探究3在一般形式的柯西不等式中，等號成立的條件記為aikbi(i1,2,3，n)，可以嗎？【提示】不可以.若bi0而ai0，則k不存在.探究4利用柯西不等式時，常用的變形技巧有哪些？

8、【提示】柯西不等式形式優(yōu)美，有重要的應用價值，應用柯西不等式解題的關鍵是恰到好處的變形，常用的變形技巧有：(1)等價變形，將要解決的不等式問題作等價變形，構造出幾個實數的平方和與另n個實數平方和的乘積的形式.(2)配輔助式，為了應用柯西不等式，有時要根據所證不等式的結構特征，結合柯西不等式等號成立的條件，配湊適當的輔助式，使問題獲證.(3)適當換元，有時根據所證不等式的結構特征適當換元，轉化為容易應用柯西不等式的結構特征，使問題簡捷獲解.(4)配系數，為了應用柯西不等式溝通條件與結論之間的聯(lián)系，有時要通過巧配系數來完成.已知3x22y26，求證：2xy.【精彩點撥】將不等式2xy的左邊湊成柯西

9、不等式的形式，然后證明.【自主解答】2xy·x·y.由柯西不等式得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)6×11，于是2xy，當且僅當，即時等號成立.再練一題4.已知x2y1，則x2y2的最小值為_.【解析】1x2y，1(x2y)2(122)(x2y2).當且僅當x，y時，取等號，(x2y2)min.【答案】構建·體系1.設x，yR，且2x3y13，則x2y2的最小值為()A.B.169C.13D.0【解析】(2x3y)2(2232)(x2y2)，x2y213.【答案】C2.已知2x2y21，則2xy的最大值是()A.B.2 C.D.3【解析】2xy·x1×y ，當且僅當yx，即xy時等號成立.【答案】C3.若a，bR，且a2b210，則ab的取值范圍是() 【導學號：38000032】A.2，2B.2，2C.，D.，【解析】(a2b2)12(1)2(ab)2，|ab|2，ab2，2.【答案】A4.設a，b，c為正數，則(abc)的最小值為_.【解析】a，b，c為正數，(abc)()2()2()2121，當且僅當k(k>0)時等號成立.故(abc)的最小值是121.【答案】1215.已知實