同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第十章重積分

1、第十章重積分一元函數(shù)積分學(xué)中，我們?cè)?jīng)用和式的極限來定義一元函數(shù)fx在區(qū)間a,b上的定積分，弁已經(jīng)建立了定積分理論，本章將把這一方法推廣到多元函數(shù)的情形，便得到重積分的概念.本章主要講述多重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法以及應(yīng)用八第1節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)1.1 二重積分的概念卜面我們通過計(jì)算曲頂柱體的體積和平面薄片的質(zhì)量，引出二重積分的定義1.1.1. 曲頂柱體的體積曲頂柱體是指這樣的立體，它的底是xOy平面上的一個(gè)有界閉區(qū)域D,其側(cè)面是以D的邊界為準(zhǔn)線的母線平行于z軸的柱面，其頂部是在區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)zfx,y,且x,y0所表示的曲面（圖101）圖 10 1現(xiàn)在討論如何求曲頂柱體的體積分析這

2、個(gè)問題，我們看到它與求曲邊梯形的面積問題是類似的（即分割、近似代替、求和、取極限的方法）來解決（圖 10-2 ）.可以用與定積分類似的方法圖 10 29 / 43（1）分割閉區(qū)域D為n個(gè)小閉區(qū)域1,2,L,n,1,2, L , n近似地，以點(diǎn)(3寸)處的面密度1, Y),匕,，理L,%，坤書代替小閉區(qū)域 Ai(T上各點(diǎn)處的面密度，則得到第同時(shí)也用藤示第i個(gè)小閉區(qū)域的面積，用dA(r表示區(qū)域AQ的直徑(一個(gè)閉區(qū)域的直徑是指閉區(qū)域上任意兩點(diǎn)間距離的最大值)，相應(yīng)地此曲頂柱體被分為n個(gè)小曲頂柱體.(2)在每個(gè)小閉區(qū)域上任取一點(diǎn)1,叩，理，L,&,.對(duì)第i個(gè)小曲頂柱體的體積，用高為f(E,&q

3、uot;)而底為Ai盤平頂柱體的體積來近似代替(3)這n個(gè)平頂柱體的體積之和nf(i,i)ii1就是曲頂柱體體積的近似值.(4)用法示n個(gè)小閉區(qū)域io的直徑的最大值，即入maxdAp.當(dāng)入0(可理解為?收縮為一點(diǎn))時(shí)，上述和式的極限，就是曲頂柱體的體積：nV網(wǎng)f(i,i)i.0ii1.1.2平面薄片的質(zhì)量設(shè)薄片在xOy平面占有平面閉區(qū)域D,它在點(diǎn)(x,y)處的面密度是p«x,y).設(shè)(x,y)0且在D上連續(xù)，求薄片的質(zhì)量(見圖10-3).先分割閉區(qū)域D為n個(gè)小閉區(qū)域在每個(gè)小閉區(qū)域上任取一點(diǎn)塊小薄片的質(zhì)量的近似值為KW,司)A%于是整個(gè)薄片質(zhì)量的近似值是n(i,i)ii1用入maxdA

4、任表示n個(gè)小閉區(qū)域Ap的直徑的最大值，當(dāng)D無限細(xì)分，即當(dāng)入0時(shí)，1in上述和式的極限就是薄片的質(zhì)量M,即nMli.m,4那任.人0.i1以上兩個(gè)具體問題的實(shí)際意義雖然不同，但所求量都?xì)w結(jié)為同一形式的和的極限.抽象出來就得到下述二重積分的定義.定義1設(shè)D是xOy平面上的有界閉區(qū)域，二元函數(shù)zf(x,y)在D上有界.將D分為n個(gè)小區(qū)域2,L同時(shí)用Ai旅示該小區(qū)域的面積，記浦勺直彳空為dA,弁令入maxdAp.在i壯任取一點(diǎn)(工，刀)，(i1,2,L,n),作乘積f日,HA,弁作和式nSnf(5)Aq.i1若入0時(shí)，Sn的極限存在(它不依賴于D的分法及點(diǎn)(片腦的取法)，則稱這個(gè)極限值為函數(shù)zf(x,

5、y)在D上的二重積分，記作f(x,y)d,即Dnf(x,y)dlim0f(i,i)A(10-1-1)Di1其中D叫做積分區(qū)域，f(x,y)叫做被積函數(shù)，db叫做面積元素，f(x,y)d叫做被積表達(dá)n式，x與y叫做積分變量，f(八，n)Aq叫做積分和.i1在直角坐標(biāo)系中，我們常用平行于x軸和y軸的直線(y=常數(shù)和x=常數(shù))把區(qū)域D分割成小矩形，它的邊長(zhǎng)是x和削，從而因此在直角坐標(biāo)系中的面積元素可寫成ddxdy,二重積分也可記作nf(x,y)dxdylim0f(i,i)i.Di1有了二重積分的定義，前面的體積和質(zhì)量都可以用二重積分來表示.曲頂柱體的體積V是函數(shù)zf(x,y)在區(qū)域D上的二重積分Vf

6、(x,y)d;D薄片的質(zhì)量M是面密度pp(x,y)在區(qū)域D上的二重積分M(x,y)d.D因?yàn)榭偪梢园驯环e函數(shù)zf(x,y)看作空間的一曲面，所以當(dāng)f(x,y)為正時(shí)，二重積分的幾何意義就是曲頂柱體的體積；當(dāng)f(x,y)為負(fù)時(shí)，柱體就在xOy平面下方，二重積分就是曲頂柱體體積的負(fù)值.如果f(x,y)在某部分區(qū)域上是正的，而在其余的部分區(qū)域上是負(fù)的，那么f(x,y)在D上的二重積分就等于這些部分區(qū)域上柱體體積的代數(shù)和八如果f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分存在(即和式的極限(10-1-1)存在)，則稱f(x,y)在D上可積.什么樣的函數(shù)是可積的呢？與一元函數(shù)定積分的情形一樣，我們只敘述有關(guān)結(jié)論，而不

7、作證明.如果f(x,y)是閉區(qū)域D上連續(xù)，或分塊連續(xù)的函數(shù)，則f(x,y)在D上可積.我們總假定zf(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以f(x,y)在D上的二重積分都是存在的，以后就不再一一加以說明.1.1.3二重積分的性質(zhì)設(shè)二元函數(shù)f(x,y),g(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，于是這些函數(shù)的二重積分存在.利用二重積分的定義，可以證明它的若干基本性質(zhì).下面列舉這些性質(zhì).性質(zhì)1常數(shù)因子可提到積分號(hào)外面.設(shè)k是常數(shù)，則kf(x,y)dkf(x,y)dDD性質(zhì)2函數(shù)的代數(shù)和的積分等于各函數(shù)的積分的代數(shù)和，即f(x,y)g(x,y)df(x,y)dg(x,y)d.DDD性質(zhì)3設(shè)閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)

8、部分閉區(qū)域，則D上的二重積分等于各部分閉區(qū)域上的二重積分的和.例如D分為區(qū)域D和D2(見圖10-4),則f(x,y)df(x,y)df(x,y)d(10-1-2)性質(zhì)3表示二重積分對(duì)積分區(qū)域具有可加性.性質(zhì)4設(shè)在閉區(qū)域D上f(x,y)id d .DD從幾何意義上來看這是很明顯的.因?yàn)楦邽?的平頂柱體的體積在數(shù)值上就等于柱體的底面積.性質(zhì)5設(shè)在閉區(qū)域D上有f(x,y) g(x,y), 則f(x, y)d g(x, y)d .DD由于f (x,y) f (x,y) f (x,y)又有f (x, y)d f (x, y) d .DD這就是說，函數(shù)二重積分的絕對(duì)值必小于或等于該函數(shù)絕對(duì)值的二重積分性質(zhì)

9、6設(shè)M m分別為f (x, y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,為D的面積，則有上述不等式是二重積分估值的不等式m f (x,y)dM .因?yàn)閙 f (x, M，所以由性質(zhì)5有 md f (x, y)d Md ,DDD即性質(zhì)7m md f (x, y)d Md M .D DD設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，b是D的面積，則在 D上至少存在一點(diǎn)(上力使得f (x,y)d f(,)D這一性質(zhì)稱為二重積分的中值定理證顯然0.因f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，根據(jù)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)取到最大值、最小值定理，在D上必存在一點(diǎn)”,必使fXi,yi等于最大值M,又存在一點(diǎn)小,丫2)使f(x2,y2)等于

10、最小值m,則對(duì)于D上所有點(diǎn)(x,y),有mfX2,y2fx,yfXi,yiM.1和性質(zhì)5,可得f (x,y)d M d .DDf(x, y)d M ,D1. f(x, y)d M .DD上必存在一 點(diǎn)(工力，使得mdD再由性質(zhì)4得m或m根據(jù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，f(,)1f(x,y)df(x,y)df(,),(U)D.D證畢.二重積分中值定理的幾何意義可敘述如下：當(dāng)Szf(x,y)為空間一連續(xù)曲面時(shí)，對(duì)以S為頂?shù)那斨w，必定存在一個(gè)以D為底,以D內(nèi)某點(diǎn)(工T)的函數(shù)值f(上碘高的平頂柱體，它的體積f(工力o就等于這個(gè)曲頂柱體的習(xí)題101t21.根據(jù)二重積分性質(zhì)，比較ln(xy)d與l

11、n(xy)d的大小，其中DD1 1)D表示以(0,1、(1,0)、(1,。為頂點(diǎn)的三角形；2 2)D表示矩形區(qū)域x,y|3x5,0y2.3 .根據(jù)二重積分的幾何意義，確定下列積分的值：2222.1 1)aVxyd,Dx,y|xya；D?222222、2 2)qaxyd,Dx,y|xya.D13 .設(shè)fx,y為連續(xù)函數(shù)，求lim4f(x,y)d,r04 d222Dx,y|xx°NV。r.4.根據(jù)二重積分性質(zhì)，估計(jì)下列積分的值：(1)IJ4+xyd,Dx,y|0x2,0y2;D(2)I22sinxsinyd,Dx,y|0x7;22(3)Ix2D5.設(shè)D0,14y29d,Dx,y|x2y2

12、4.0,1明函數(shù)fx,y1,x,y為D內(nèi)有理點(diǎn)即x,y均為有理數(shù)0,x,y為D內(nèi)非有理點(diǎn)在D上不可積第2節(jié)二重積分的計(jì)算只有少數(shù)二重積分(被積函數(shù)和積分區(qū)域特別簡(jiǎn)單)可用定義計(jì)算外，一般情況下要用定義計(jì)算二重積分相當(dāng)困難.下面我們從二重積分的幾何意義出發(fā)，來介紹計(jì)算二重積分的方法，該方法將二重積分的計(jì)算問題化為兩次定積分的計(jì)算問題.2.1直角坐標(biāo)系下的計(jì)算在幾何上，當(dāng)被積函數(shù)fx,y0時(shí)，二重積分f(x,y)d的值等于以D為底，以曲面Dzf(x,y)為頂?shù)那斨w的體積.下面我們用切片法”來求曲頂柱體的體積V設(shè)積分區(qū)域D由兩條平行直線xa,xb及兩條連續(xù)曲線yix,y2x(見圖105)所圍成，

13、其中ab,ix2x，貝fjD可表示為D x ,y | a x b,(j)1 x y(j) 2圖 105用平行于yOZ坐標(biāo)面的平面xxaxb去截曲頂柱體，得一截面，它是一個(gè)以區(qū)間為底，以zf(x,y)為曲邊的曲邊梯形(見圖106),所以這截面的面積為6(xo)Ax0僅f(x0,y)dy.小10)圖 10-6由此，我們可以看到這個(gè)截面面積是x0的函數(shù).一般地，過區(qū)間a,b上任一點(diǎn)且平行于yOz坐標(biāo)面的平面，與曲頂柱體相交所得截面的面積為與，(x)f(x,y)dy,(x)其中y是積分變量，x在積分時(shí)彳八持不變G(因此在區(qū)間a,b上，Ax是x的函數(shù)，應(yīng)用計(jì)算平行截面面積為已知的立體體積的方法，得曲頂柱

14、體的體積為bb%(x)VA(x)dxf(x,y)dydx,aa4(x)即得2(X)f(x,y)df(x,y)dydx,X)ai(D或記作f (X, y)ddxf(x,y)dyxI()上式右端是一個(gè)先對(duì)y，后對(duì)x積分的二次積分或累次積分.這里應(yīng)當(dāng)注意的是：做第一次積分時(shí)，因?yàn)槭窃谇髕處的截面積Ax,所以x是a,b之間任何一個(gè)固定的值，y是積分變量；做第二次積分時(shí)，是沿著x軸累加這些薄片的體積Axdx,所以x是積分變量在上面的討論中，開始假定了f(x,y)0,而事實(shí)上，沒有這個(gè)條件，上面的公式仍然正確.這里把此結(jié)論敘述如下：若zf(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，D:axb,1xy2x,則b2(x)f(

15、x,y)dxdydx,、f(x,y)dy.(10-2-1)x)Da1(類似地，若zf(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，積分區(qū)域D由兩條平行直線ya,yb及兩條連續(xù)曲線x1y,x2y(見圖107)所圍成，其中cd,1x2x，則D可表示為Dx,y|cyd,1yx2y.則有d2(x)圖107以后我們稱圖10-5所示的積分區(qū)域?yàn)閄型區(qū)域，X型區(qū)域D的特點(diǎn)是：穿過D內(nèi)部且平行于y軸的直線與D的邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè).稱圖107所示的積分區(qū)域?yàn)閅型區(qū)域，Y型區(qū)域D的特點(diǎn)是：穿過D內(nèi)部且平行于x軸的直線與D的邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè).從上述計(jì)算公式可以看出將二重積分化為兩次定積分，關(guān)鍵是確定積分限，而確定積分限又依賴于

16、區(qū)域D的幾何形狀.因此，首先必須正確地畫出D的圖形，將D表示為X型區(qū)域或Y型區(qū)域.如果D不能直接表示成X型區(qū)域或Y型區(qū)域，則應(yīng)將D劃分成若干個(gè)無公共內(nèi)點(diǎn)的小區(qū)域，弁使每個(gè)小區(qū)區(qū)域D上的二重積分就是這域能表示成X型區(qū)域或丫型區(qū)域，再利用二重積分對(duì)區(qū)域具有可加性相加,(圖 108).些小區(qū)域上的二重積分之和圖10-833 /例1計(jì)算二重積分xyd,其中D為直線yx與拋物線yx2所包圍的閉區(qū)域.解畫出區(qū)域D的圖形,（圖10-9）可表不為:2求出yxL與yx兩條曲線的交點(diǎn)，它們是0,0及1,1.區(qū)域因此由公式（10-2-1）得本題也可以化為先對(duì)x,（10-2-2）得積分后與上面結(jié)果相同.例2計(jì)算二重積

17、分區(qū)域.解畫出積分區(qū)域D,易知xydD1xdx01(x30后對(duì)y的積分,xydDy2dxx2ydyx5)dx這時(shí)區(qū)域Dydyxdx.0y2x2y124可表為:，其中D是由直線y2dx1所圍成的閉11x1,xy1（圖、10-10），若利用公式11ydy)dxdxdx(x31)dx(10-2-1),得若利用公式（10-2-2）,就有2222也可得同樣的結(jié)果.例3計(jì)算二重積分yjlxydD1小xydxdy,2x2d,其中dyD是直線y2,yx和雙曲線xy1所圍之I區(qū)域.解求得三線的三個(gè)交點(diǎn)分別是1,2,(1,1)2及（2,2）.如果先對(duì)y積分，那么當(dāng)工x1時(shí),21y的下限是雙曲線y而當(dāng)1x2時(shí),y的

18、下限是直線,因此需要用直線x1把區(qū)域D分為D和D2兩部分（圖10-11）.D2：1x2,xy2.2x-.kd口y1“dx2x22-x彳一八dydx,小2dx2dx1選擇適當(dāng)?shù)拇涡蜻M(jìn)行積分例4設(shè)f(x,y)連續(xù)，求證bdy y f(x,y)dx .bxdxf(x,證上式左端可表為y)dybxDf (x,y)d .a a Ddxf(x,y)dy其中D:axb,ay于是改變積分次序，可得由此可得所要證明的等式（圖1012）區(qū)域D也可表為：ayf(x,y)ddyyf(x,y)dx2x2所圍成的區(qū)域例5計(jì)算二重積分包工%其中D是直線yx與拋物線解把區(qū)域D表示為x型區(qū)域,即D=x,y|01,x21xdx0

19、dxx2sinxdxcosxxcosxsinx注：如果化為y型區(qū)域即先對(duì)1sini0.1585積分，則有sinx.1小，ysinx一d(Tdydx.x0yx由于犯王的原函數(shù)不能由初等函數(shù)表示，往下計(jì)算就困難了，這也說明計(jì)算二重積分時(shí)，x除了要注意積分區(qū)域D的特點(diǎn)（區(qū)分是x型區(qū)域，還是y型區(qū)域）外，還應(yīng)注意被積函數(shù)的特點(diǎn)，弁適當(dāng)選擇積分次序.2.2二重積分的換元法與定積分一樣，重積分也可用換元法求其值，但比定積分復(fù)雜得多.我們知道，對(duì)定積分J】xM）時(shí)，要把fx變成f（f）t,dx變成（f）（t）dt,積分限a,b也要變成對(duì)應(yīng)t的值.同樣，對(duì)二重積分fx,yd作變量替換Dxu,v,yu,v,時(shí)，

20、既要把fx,y變成fxu,v,yu,v,還要把xOy面上的積分區(qū)域D變成uOv面上的區(qū)域DUv,弁把D中的面積兀素d(T變成DUv中的面積兀素d(T.其中最常用的是極坐標(biāo)系的情形.2.2.1 極坐標(biāo)系的情形下面我們討論利用極坐標(biāo)變換，得出在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法.把極點(diǎn)放在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸與x軸重合，那么點(diǎn)P的極坐標(biāo)Pr,0與該點(diǎn)的直角坐標(biāo)Px,y有如下互換公式：xrcosQyrsinQ0r,002兀；rJxy2,0arctany-;x,yx我們知道，有些曲線方程在極坐標(biāo)系下比較簡(jiǎn)單，因此，有些二重積分fx,ydD用極坐標(biāo)代換后，計(jì)算起來比較方便，這里假設(shè)z f x,y 在區(qū)域D上

21、連續(xù).在直角坐標(biāo)系中，我們是以平行于x軸和y軸的兩族直線分割區(qū)域D為一系列小矩形，從而得到面積元素dbdxdy.在極坐標(biāo)系中，與此類似，我們用？常數(shù)”的一族同心圓，以及“0常數(shù)”的一族過極點(diǎn)的射線，將區(qū)域D分成n個(gè)小區(qū)域ji,j1,2,L,n,如圖1013所示.圖 10 13小區(qū)域面積12八2八勺2ririQriQ八12八ririj12riq.2則有q,i,j1,2,L,n,用ririj。例故有rdr d 0.在作極坐標(biāo)變換時(shí)，只要將被積函d o- dxdy 換成極坐標(biāo)的面積元素do-rdrd0.fx,ydo-frcosQrsin0DD這就是直角坐標(biāo)二重積分變換到極坐標(biāo)二重積分的公式數(shù)中的x,

22、y分別換成rcosQrsin0,弁把直角坐標(biāo)的面積元素rdrd0即可.但必須指出的是：區(qū)域D必須用極坐標(biāo)系表示在極坐標(biāo)系下的二重積分，同樣也可以化為二次積分計(jì)算(1)極點(diǎn)O在區(qū)域D外部，如圖1014所示.下面分三種情況討論：圖1014A,B ,將區(qū)域D的設(shè)區(qū)域D在兩條射線0%03之間，兩射線和區(qū)域邊界的交點(diǎn)分別為邊界分為兩部分，其方程分別為r10,rr20且均為,向上的連續(xù)函數(shù).此時(shí)Dr,01r10rr20,a03.于是b29frcos0,rsin0rdrd0d0frcosQrsin0rdra116D(2)極點(diǎn)O在區(qū)域D內(nèi)部，如圖10-15所示.若區(qū)域D的邊界曲線方程為rr。，這時(shí)積分區(qū)域D為

23、Dr,0|0rr0,0。2兀，且r。在0,2兀上連續(xù).于是f r cos 0, r sin 0 rdrd 0圖 10 15r cos Q r sin 0 rdr .極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界上，此時(shí)，積分區(qū)域D如圖1016所不2兀red 0 f00圖 10 16r, 0 | a 0 00 r r 0且r。在0,2兀上連續(xù)，則有Bre-frcosQrsin0rdrd0d0frcosQrsin0rdr.a0D在計(jì)算二重積分時(shí)，是否采用極坐標(biāo)變換，應(yīng)根據(jù)積分區(qū)域般來說，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A域或部分圓域及被積函數(shù)可表示為D與被積函數(shù)的形式來決定fx 2 y2或f 一等形式時(shí)，x常采用極坐標(biāo)變換，簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算

24、例6計(jì)算二重積分JS2dxdy,D1xy其中Dx,y|x2y2a20a1.解在極坐標(biāo)系中積分區(qū)域D r,10 r a,0則有rdrJ1Xy.J;2rdxdyd1xykJ?rdr令t°1rraaarcsint1t兀arcsina2由a10例7計(jì)算二重積分解采用極坐標(biāo)系xy2d,其中D是單位圓在第I象限的部分.D10-17),于是有rdr1152 . xyd2dr22r一0rsincosC2八八14Osin田0r例8計(jì)算二重積分x2d,其中D是二圓x2y21和x2y24之間的環(huán)形閉區(qū)域解區(qū)域D:002&1圖1018于是45兀.22,21t1cos2.23.rcosrdrdrdr2

25、.2.2 .直角坐標(biāo)系的情形我們先來考慮面積元素的變化情況設(shè)函數(shù)組xx(u,v),yy(u,v)為單值函數(shù)，在D'上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且其雅可比行列式J-(x-八0,(u,v)則由反函數(shù)存在定理，一定存在著D上的單值連續(xù)反函數(shù)uu(x,y),vv(x,y).這時(shí)DUv與D之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，uOv面上平行于坐標(biāo)軸的直線在映射之下成為xOy面上的曲線u(x,y)u0,v(x,y)v0.我們用uOv面上平行于坐標(biāo)軸的直線uui,vvj(i1,2,L,n;j1,2,L,m)將區(qū)域Civ分割成若干個(gè)小矩形，則映射將r(bjuOv面上的直線網(wǎng)變成xOy面上的曲線網(wǎng)(圖1019).(a)圖1

26、019D uv (面積記為Ab)及其在D中對(duì)應(yīng)的小區(qū)域 AD(面積在Duv中任取一個(gè)典型的小區(qū)域記為力如圖1020所示.圖1020設(shè)AD的四條邊界線的交點(diǎn)為P(xo,y0),Pz(x0XLP4(xAx3,yo勾3).當(dāng)構(gòu)成的平行四邊形面積近似Au,8很小時(shí),i1,2,3也很小,y)F3(x0x2,D的面積可用yoy?)和PlUU丐Puuur同理從而得uuHTP1P2Ax1xux因此，二重積分作變量替換Au,voUO,VoAuuuuirPRA(TxuuuirP1P2(x,y)(u,x(v)v),yuuJLA(ttP1P25Vo1iyuo,vouo,VouumrP1P4Avi-AuugAuAvdx

27、dy由此得如下結(jié)論：定理1若f(x,y)在xOy平面上的閉區(qū)域上的閉區(qū)域Duv變成xOy平面上的D,且滿足:x(u,v),y(u,v)在(2)在DUv上雅可比式變換T：DuvDuuuirP1P4.yuAu,voCyvUb,VoAvyWWj-Avv(x,y)(U,yuyvAu的絕對(duì)值A(chǔ)vy(u,v)店)面積(T素(7與(7的關(guān)系為(x,y)(u,vdudvy).(u,vD上連4,變換T:xx(u,v),yDuv上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),J告。；是一對(duì)一的，則有uOv平面y(u,v),將xOy面上閉區(qū)域 D變?yōu)閡Ov面上的對(duì)應(yīng)區(qū)域 D （圖10-21）.則得f(x,y)dxdyfx(u,v),y(u,

28、v)|Jdudv.DDUvyx例9計(jì)算二重積分°eLdxdy,其中D是由x軸，y軸和直線xy2所圍成的閉區(qū)域解令uyx,vyx,貝UxVUyVU22在此變換下,雅可比式為11(x,y)22(u,v)112_2x ay,x by,y px ,從a變至U buIdudveyxdxdyev2DD2dvevdu0(ee-1)vdv0ev10設(shè)D為xOy平面內(nèi)由以下四條拋物線所圍成的區(qū)域：，其中0Vavb,qx0Vpvq,求D的面積.由解D的構(gòu)造特點(diǎn)，引入兩族拋物線y2ux,x2vy,則由u從p變到q,v時(shí)，這兩族拋物線交織成區(qū)域雅可比行列式為圖1022D(圖1022)(xy)(u,v)1(x

29、,y)則所求面積SdxdyD1.畫出積分區(qū)域，把f(x,y)d化為二次積分：DDx,y|xy1,yx1,y02.改變二次積分的積分次序：22y0dyy2f(x,y)dx;32xdxfx,ydy；0x3 .設(shè)f(x,y)連續(xù)，且f(x,y)xyf(x,y)dDf(x,y).4 .計(jì)算下列二重積分：11)x2y2d,Dx,y|x1,y1；D2yxx22xx-2y1.dudv3D102(2)Dx,y|yx2,xy.elnx1dx0f(x,y)dy;1rv(4)1dxf(x,y)dy.-11x,其中D是由直線y0,x1及曲線yx2所2 2)sinAdd,其中D是直線yx與拋物線yx所圍成的區(qū)域；xD3

30、 3)Jxd,Dx,y|x2y2x;D_24 4)x2eydxdy,D是頂點(diǎn)分別為O0,0,A1,1,B0,1的三角形閉區(qū)域D截得的立5.求由坐標(biāo)平面及x2,y3,xyz46.計(jì)算由四個(gè)平面x0,y0,x1,y1體的體積.所圍的角柱體的體積.所圍的柱體被平面z0及2x3yz67 .在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分：.22222.(1) sinxxydxdy,Dx,y|%xy4兀;D22(2) (xy)dxdy,Dx,y|xyxy；D(3) xydxdy,其中D為圓域x2y2a2;D(4) ln(1x2y2)dxdy,其中D是由圓周x2y21及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉D8 .將下列積分傳為極坐標(biāo)形

31、式：a x(2) 0 dx o , x y dy .2a?2axX2229 odxo(xy)dy;22222Rx所割下部分的體積10 求球體xyzR被圓枉面x11 .作適當(dāng)坐標(biāo)變換，計(jì)算下列二重網(wǎng)分工.十2、一，dxdy,由xy1,x2,yx所圍成的平面閉區(qū)域；yxy.12 )edxdy,Dx,y|xy1,x0,y0;D2“，L上i所圍成的平面閉區(qū)域iIbDV-222與占dxdy,其中D是橢圓與aba13 )xysinxydxdy,Dx,y10xy,0x.D11 .設(shè)閉區(qū)域D由直線xy1,x0,y0所圍成，求證：xy1cosdxdy-sin1.xy212 .求由下列曲線所圍成的閉區(qū)域的面積：(

32、1)曲線xy4,xy8,xy35,xy315所圍成的第一象限的平面閉區(qū)域；(2)曲線xya,xyb,yx,yx所圍的閉區(qū)域(0ab,0).第3節(jié)三重積分3.1三重積分的概念三重積分是二重積分的推廣，它在物理和力學(xué)中同樣有著重要的應(yīng)用八在引入二重積分概念時(shí)，我們?cè)紤]過平面薄片的質(zhì)量，類似地，現(xiàn)在我們考慮求解空間物體的質(zhì)量問題.設(shè)一物體占有空間區(qū)域Q,在Q中每一點(diǎn)(x,y,z)處的體密度為&x,y,z),其中p(x,y,z)是Q上的正值連續(xù)函數(shù).試求該物體的質(zhì)量.先將空間區(qū)域Q任意分割成n個(gè)小區(qū)域Av1,Av2,L,Avn(同時(shí)也用AVi表示第i個(gè)小區(qū)域的體積).在每個(gè)小區(qū)域加i上任取一

33、點(diǎn)(&,砧4),由于&x,y,z)是連續(xù)函數(shù)，當(dāng)區(qū)域力Di充分小時(shí)，密度可以近似看成不變的，且等于在點(diǎn)(工，小)處的密度，因此每一小塊Av的質(zhì)量近似等于工，刀，dAvi,物體的質(zhì)量就近似等于nK岑，”，GAm.i1令小區(qū)域的個(gè)數(shù)n無限增加，而且每個(gè)小區(qū)域無限地收縮為一點(diǎn)，即小區(qū)域的最大直徑入maxdAV0時(shí)，取極限即得該物體的質(zhì)量1innMlimn2,rbGAVi.ii由二重積分的定義可類似給出三重積分的定義：定義1設(shè)Q是空間的有界閉區(qū)域，f(x,y,z)是Q上的有界函數(shù)，任意將Q分成n個(gè)小區(qū)域Av1,AV2,L,AVn，同時(shí)用AV表示該小區(qū)域的體積，記的直徑為d爾、，弁令入1

34、maxdAV，在上任取一點(diǎn)(W,砧G,(i1,2,L,n),作乘積f(W,小GAm,把這些nn乘積加起來得和式f?，小GAV,若極限limf(g,邛，0AVi存在(它不依賴于區(qū)域Q的分i1入i1法及點(diǎn)(i,i,i)的取法)，則稱這個(gè)極限值為函數(shù)f(x,y,z)在空間區(qū)域Q上的三重積分，記作fx,y,zdV,n即fx,y,zdVlim0f(i,i,i)M,0i1其中f(x,y,z)叫做被積函數(shù)，Q叫做積分區(qū)域，dV叫做體積元素.在直角坐標(biāo)系中，若對(duì)區(qū)域Q用平行于三個(gè)坐標(biāo)面的平面來分割，于是把區(qū)域分成一些小長(zhǎng)方體.和二重積分完全類似，此時(shí)三重積分可用符號(hào)fx,y,zdxdydz來表示，即在直角坐標(biāo)

35、系中體積元素dV可記為dxdydz.有了三重積分的定義，物體的質(zhì)量就可用密度函數(shù)p(x,y,z)在區(qū)域Q上的三重積分表示，即Mx,y,zdV,如果在區(qū)域Q上f(x,y,z)1,并且Q的體積記作V,那么由三重積分定義可知1dVdvV.這就是說，三重積分dv在數(shù)值上等于區(qū)域Q的體積.三重積分的存在性和基本性質(zhì)，與二重積分相類似，此處不再重述八3.2三重積分的計(jì)算為簡(jiǎn)單起見，在直角坐標(biāo)系下，我們采用微元分析法來給出計(jì)算三重積分的公式三重積分f(x,y,z)dv表示占空間區(qū)域Q的物體的質(zhì)量.設(shè)Q是柱形區(qū)域，其上、下分別由連續(xù)曲面zzi(x,y),zZ2(x,y)所圍成，它們?cè)趚Oy平面上的投影是有界閉

36、區(qū)域D;Q的側(cè)面由柱面所圍成，其母線平行于z軸，準(zhǔn)線是D的邊界線.這時(shí)，區(qū)域Q可表示為Qx,y,z憶i(x,y)zz2(x,y),(x,y)D先在區(qū)域D內(nèi)點(diǎn)(x,y)處取一面積微元do-dxdy,對(duì)應(yīng)地有Q中的一個(gè)小條，再用與xOy面平行的平面去截此小條，得到小薄片(圖1023).圖1023于是以d(r為底，以dz為高的小薄片的質(zhì)量為f(x,y,z)dxdydz.把這些小薄片沿z軸方向積分，得小條的質(zhì)量為z(x)“口/丫蟲dxdy.然后，再在區(qū)域D上積分，就得到物體的質(zhì)量z2(x,y)zay)f(x,y,z)dzdxdy.D也就是說，得到了三重積分的計(jì)算公式4( x, y)f x, y, z

37、dv =z(x, y) f(x, y,z)dz dxdy1 .dxdyDZ2(x,y)z(x,y) f(X, y, Z)dz.(10-3-1)例1計(jì)算三重積分xdxdydz,其中Q是三個(gè)坐標(biāo)面與平面xyz1所圍成的區(qū)域(圖1024)圖1024D是由坐標(biāo)軸與直線x y 1圍成的區(qū)域：例2計(jì)算三重積分24zdv,其中 Q: x 0, y 0, z0, x 2 y2 z2 R2(見圖 10 25).圖 10 25解 區(qū)域Q在xOy平面上的投影區(qū)域D: x 0, y 0, x 2 y2R2.對(duì)于D中任意一點(diǎn)(x,y),相應(yīng)地豎坐標(biāo)從z 0變到z J R2 x2 y 2.因此，由公式(10-3-1),得

38、22zdv dxdy 0 D/兀R：9 (R ： 2 00 、1 4 R 2 2 2 22三重積分化為累次積分時(shí)，除上面所說的方法外，zdz1 _222-R x y dxdy2、乙刖.解積分區(qū)域Q在xOy平面的投影區(qū)域0x1,0y1x,所以1xyxdxdydzdxdyxdzdxdyxdz001odxox(1xy)dy(1£x還可以用先求二重積分再求定積分的方法計(jì)算.若積分區(qū)域Q如圖10-26所示，它在z軸的投影區(qū)間為A,B,對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)z,過z作平行于xOy面的平面，該平面與區(qū)域相交為一平面區(qū)域，記作D(z).這時(shí)三重積分可以化為先對(duì)區(qū)域Dz求二重積分，再對(duì)z在A,B上求定積

39、分，得Bf(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy.(10-3-2)D(z)26/我們可利用公式(10-3-2)重新計(jì)算例2中的積分.區(qū)域Q在z軸上的投影區(qū)間為0, R,對(duì)于該區(qū)間中任意一點(diǎn)z,相應(yīng)地有一平面區(qū)域Dz:x 0, y 0 與 X2y2 R z2與之對(duì)應(yīng).由公式(10-3-2),得Rzdv dz zdxdy.0c,求內(nèi)層積分時(shí),Rz2 ,所以z可以看作常數(shù)：弁且 Dz:x2 y例3計(jì)算三重積分解我們利用公式c,對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)z2是1個(gè)圓，其面積為4Rzdv = z02Rz2 dz京R4.z2dv ,其中 Qx2 y2 z2 1 . a b c(10-3-2)將三重積分化為

40、累次積分z,相應(yīng)地有一平面區(qū)域.區(qū)域Q在z軸上的投影區(qū)間為2 X22 z a 而(1 F) c與之相應(yīng)，該區(qū)域是一橢圓(圖1027),其面積為.所以2z dv= z2dzcdxdyc271abz 1dz 43jabc 315圖 1027Tabc15 D(z)3.3三重積分的換元法對(duì)于三重積分f (x, y, z)dv作變量替換:它給出了 Orst空間到x x(r,s,t) y y(r,s,t) z z(r,s,t)Oxyz 空間的一個(gè)映射，若 x r,s,t ,y r,s,t ,z r,s,t有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且 0,則建立了(r ,s,t)重積分換元法類似，我們有Orst空間中區(qū)域 *和O

41、xyz空間中相應(yīng)區(qū)域 Q的-對(duì)應(yīng)，與二65 /dv(x,y,z)drdsdt.()于是，有換元公式y(tǒng)f(x,y,z)dvfx(r,s,t),y(r,s,t),z(r,s,t)(x-drdsdt.*(r,s,t)作為變量替換的實(shí)例，我們給出應(yīng)用最為廣泛的兩種變換：柱面坐標(biāo)變換及球面坐標(biāo)變換3.3.1 柱面坐標(biāo)變換三重積分在柱面坐標(biāo)系中的計(jì)算法如下：變換xrcosQyrsinQzz稱為柱面坐標(biāo)變換，空間點(diǎn)Mx,y,z與(r,z)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，把(r,Qz)稱為點(diǎn)Mx,y,z的柱面坐標(biāo).不難看出，柱面坐標(biāo)實(shí)際是極坐標(biāo)的推廣.這里r,0為點(diǎn)M在xOy面上的投影P的極坐標(biāo).0rv,002汽，<

42、;z<(圖10-28).柱面坐標(biāo)系的三組坐標(biāo)面為(1)r常數(shù)，以z為軸的圓柱面；(2)0常數(shù)，過z軸的半平面；z常數(shù)，平行于xOy面的平面cos0rsin00(x,y,z)由于ssin0rcos00r,則在柱面坐標(biāo)變換下，體積元素之間的關(guān)系式為：(r,001dxdydzrdrddz.于是，柱面坐標(biāo)變換下三重積分換元公式為：f(x,y,z)dxdydz=f(rcos,rsin,z)rdrddz.(10-3-3)至于變換為柱面坐標(biāo)后的三重積分計(jì)算，則可化為三次積分來進(jìn)行.通常把積分區(qū)域Q向xOy面投影得投影區(qū)域D,以確定r,0的取值范圍，z的范圍確定同直角坐標(biāo)系情形例4計(jì)算三重積分zq1x2

43、y2dxdydz,其中Q是由錐面zJx2y2與平面z1所圍成的區(qū)域.解在柱面坐標(biāo)系下，積分區(qū)域Q表示為rz1,0r1,002支(圖1029).所以有;""22zx y dxdydz27t 1d ° dr12z r dz1222711r (1 r )dr 22例5計(jì)算三重積分y2 dxdydz ,其中成的曲面與兩平面 z 2, z 8所圍之區(qū)域.解曲線y2=2z, x 。繞z旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)面方程為Q是由曲線y 2z,2一兀.15x。繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而x2 y2 2z設(shè)由旋轉(zhuǎn)曲面與平面z2所圍成的區(qū)域?yàn)闉?，該區(qū)域在xOy平面上的投影為Dq1x,y|x2+y24.由旋轉(zhuǎn)曲

44、面與z8所圍成的區(qū)域?yàn)镼,Q在xOy平面上的投影為2,x,y|x+y16.則有QUQ,如圖1°3°所示圖10-3drd r dzDT336 n.223dxydxdydzdrdrdz122K232K432d06rd0r8drdr)223.3.2球面坐標(biāo)變換三重積分在球面坐標(biāo)系中的計(jì)算法如下：變換xrsin(j)cosQyrsin(j)sin0,zrcos()稱為球面坐標(biāo)變換，空間點(diǎn)Mx,y,z與(r,a建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，把Mx,y,z的球面坐標(biāo)(圖10-31),其中(r,球面坐標(biāo)系的三組坐標(biāo)面為:9231(1) r常數(shù)，以原點(diǎn)為中心的球面；(2) 6常數(shù)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，z軸為軸

45、，半頂角為6的圓錐面;e常數(shù)，過z軸的半平面.由于球面坐標(biāo)變換的雅可比行列式為(x,y,z(r,4,sin(j)cos0sin(j)rcoscos0rcos則在球面坐標(biāo)變換下，體積元素之間的關(guān)系式為dxdydzr2sin(j)(j)(jdrd9drsin(j)sinrsin(j)(j).2rsin于是，球面坐標(biāo)變換下三重積分的換元公式為2.f(x,y,z)dxdydz=f(rsincos,rsinsin,rcos)rsindrd計(jì)算三重積分(x2y2z2)dxdydz,其中Q表示圓錐面x2x2y2z22Rz所圍的較大部分立體解在球面坐標(biāo)變換下，球面方程變形為積分區(qū)域Q表示為002r2Rcos(

46、)，錐面為()-(圖10-32)40()工，0r2Rcos(),4,(10-3-4)z2與球面.這時(shí)所以上,十悄十爐一？比圖1032(x2y2z2)dxdydz=r2r2sindrddc兀CC I2 兀-2 Rcos。d o4 d()r sin00 Y 0TtQ(dr "sin亡502 2Rcos (f>QO c(j ) (r ) d()tR .YI0 Y15計(jì)算三重積分(2y&_孑)dxdydz,其中Q是由曲面X2 y2Z2x2 y2 z2 4a2, Jx2 z2 y所圍成的區(qū)域.解積分區(qū)域用球面坐標(biāo)系表示顯然容易,但球面坐標(biāo)變換應(yīng)為x rsin (jcos Q z

47、rsin () sin 0, y rcos ()2.這時(shí)dv - ddrddde,枳分區(qū)域 口表小為a r 2a,00 -t00 2兀 (圖r,1、1033)圖10-33154一兀 a16所以(2XLhJxdydz-d72cus【sn:-indr'y值得注意的是，三重積分的計(jì)算是選擇直角坐標(biāo)，還是柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成三次積分，通常要綜合考慮積分域和被積函數(shù)的特點(diǎn).一般說來，積分域Q的邊界面中有柱面或圓錐面時(shí),常采用柱面坐標(biāo)系；有球面或圓錐面時(shí)，常采用球面坐標(biāo)系.另外，與二重積分類似，三重積分也可利用在對(duì)稱區(qū)域上被積函數(shù)關(guān)于變量成奇偶函數(shù)以簡(jiǎn)化計(jì)算習(xí)題10-31 .化三重積分If(x,y,z)dxdydz為三次積分，其中積分區(qū)域Q分別是.(1)由雙曲拋物面xyz及平面xy10,z0所圍成的閉區(qū)域；.22(2)由曲面zxy及平面z1所圍成的閉區(qū)域.2 .在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分：(1) xy+z2dxdydz,其中-2,5-3,30,1;(2) xy2z3dxdydz,其中Q是由曲面zxy與平面yx,x1,和z0所圍成的閉區(qū)域；(3) dxdydz_3,其中Q為平面x0,y0,z0,xyz1所圍的四面體;1+x+y+z(4) ycosxzdxdydz,其中Q為yJx,y0,z0和xz2所圍成的閉區(qū)域3 .利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三