MATLAB在力學(xué)中的應(yīng)用

1、3-3 機(jī)械振動(dòng)物體在平衡位置附近的往返叫做振動(dòng)或機(jī)械振動(dòng)。振動(dòng)的傳播稱為波，機(jī)械振動(dòng)的傳播稱為機(jī)械波。振動(dòng)和波動(dòng)是涉及物理及眾多領(lǐng)域的一種非常普遍而重要的運(yùn)動(dòng)形式，研究振動(dòng)和波動(dòng)的意義已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了力學(xué)的范圍。本節(jié)利用MATLAB來(lái)處理機(jī)械振動(dòng)的一些問(wèn)題。簡(jiǎn)諧振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在線性回復(fù)力作用下圍繞平衡位置的運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧遠(yuǎn)動(dòng)，它是最基本的振動(dòng)。下面，我們通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)討論簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)特征。（1） 彈簧振子系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)·題目（ex3311）設(shè)彈簧陣子系統(tǒng)由質(zhì)量為m的滑塊和勁度系數(shù)為k的彈簧所組成已知t=0時(shí)，m在A處，即x0=A，并由靜止開(kāi)始釋放。試研究滑塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。·

2、解題分析以x表示質(zhì)點(diǎn)相對(duì)原點(diǎn)的位移，線性回復(fù)力f=-kx。由牛頓第二定律以及題設(shè)條件，可寫出彈簧振子的振動(dòng)微分防塵及初始條件為滑塊速度分別為令用符號(hào)法求解上述微分方程，求出運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度，并繪制出（2） 單擺·題目（ex3313）設(shè)單擺的擺長(zhǎng)為l，擺錘質(zhì)量為，將擺錘拉開(kāi)一角度，然后放開(kāi)使其自由擺動(dòng)。在不計(jì)空氣阻力的情況下，分小擺角和大擺角兩種情況，討論單擺的角位移隨時(shí)間t的變化規(guī)律。·解題分析由牛頓第二定律，有其中，g為重力加速度。 小角擺動(dòng)假定角位移很小，sin,上式為 大角擺動(dòng)上式是非線性方程。為了方便起見(jiàn)，將用y來(lái)表示，上式又可以寫為下列一階微分方程組用MAT

3、LAB編程解此方程組。取l=1m,g=9.8m/s2。初始條件取為3.3.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成（1）同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成·題目（ex3321）設(shè)一物體同時(shí)參加了再同一直線上的兩個(gè)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其簡(jiǎn)諧振動(dòng)分別表示為討論不同頻率、不同初位相時(shí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。·解題分析由題知，合振動(dòng)為其中，討論： 頻率相同，初相位相同例如，取A1=20,A2=10，1=2=5, 1=2=0,可以看出，合成的振動(dòng)是振幅為A=A1+A2的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 頻率相同，初相位不同例如，取A1=20,A2=10，1=2=5, 1=0,2=2/3，或普遍寫為=2-1=2k，可以看出，合成的振動(dòng)是振幅為A=A1+

4、A2的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)。若取A1=20,A2=10，1=2=5, 1=0,2=-3 ,或普遍表示為=2-1=±（2k+1） ，則合振動(dòng)振幅為A=A1-A2，是兩個(gè)分振幅之差，合振動(dòng)仍然為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 拍現(xiàn)象當(dāng)頻率差很小時(shí)，則合振動(dòng)振幅出現(xiàn)周期變化，此現(xiàn)象稱為拍。合振幅每變化一次周期叫一拍，單位時(shí)間內(nèi)拍出現(xiàn)的次數(shù)叫拍頻。例如，取運(yùn)行上面程序便可顯示出拍現(xiàn)象。為了圖形更好看一些，時(shí)間取t=0:0.01:10,運(yùn)行結(jié)果如圖所示。為了得到拍效果的聲音效果，可以修改以上程序一些參數(shù)。例如，將程序?qū)憺閏learA1=5;A2=5;w1=0.03*pi;w2=1.04*w1;a1=pi/3;a2=a1

5、;t=0:40000;x1=A1*cos(w1*t+a1);x2=A2*cos(w2*t+a2);x=x1+x2;pause,sound(x1);pause(5),sound(x2);在命令窗口中鍵入上述程序后按回車鍵，便可聽(tīng)到三段聲音，其中最后一段就是合成后拍的拍音。（3） 兩相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成·題目（ex3322）設(shè)一物體同時(shí)參加了垂直方向上的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程分別為求其合成振動(dòng)的軌跡。·解題分析用計(jì)算機(jī)畫其運(yùn)動(dòng)軌跡，不需解軌道方程，只要給定時(shí)間數(shù)組，算出相應(yīng)點(diǎn)的x和y值，然后作y-x圖即可。為了能使讀者看到圖形的繪制過(guò)程，程序中使用了for循環(huán)語(yǔ)句以獲得

6、動(dòng)畫效果，這對(duì)理解圖形是很有幫助的。·程序(ex3322)討論： 頻率相同情況兩振動(dòng)方向垂直、頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)軌跡為直線、圓或橢圓，軌跡的形狀和運(yùn)動(dòng)方向由分振動(dòng)的振幅和相位差決定。當(dāng)時(shí)為直線；取等時(shí)為圓或橢圓。例如，取則分別得到圖3-3-8所示的直線和橢圓。 頻率不同情況 李薩如圖形一般來(lái)說(shuō)，在相互垂直分振動(dòng)頻率不同的情況下，合振動(dòng)的軌跡不能形成穩(wěn)定的圖案，當(dāng)如果分振動(dòng)頻率比成簡(jiǎn)單整數(shù)比，則合振動(dòng)的軌跡為穩(wěn)定而閉合的曲線，曲線的花樣和分振動(dòng)的頻率比、初相位有關(guān)，這些軌跡圖形稱為李薩如圖。圖3-3-9給出了在取由上述程序運(yùn)行的結(jié)果，讀者可利用該程序方便地畫出李薩如圖形。當(dāng)兩分

7、振動(dòng)頻率比是無(wú)理數(shù)時(shí)，合成的運(yùn)動(dòng)將永不重復(fù)已走過(guò)的路徑，它的軌跡將逐漸密布在由振幅限定的矩形面積內(nèi)。圖3-3-10所示的這種非周期運(yùn)動(dòng)稱為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。3.3.3 阻尼振動(dòng)前面討論的是不受阻力的自由簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而振動(dòng)系統(tǒng)實(shí)際上都受阻力的作用，若無(wú)外界能量補(bǔ)充，振幅將逐漸減小為零。這種振動(dòng)系統(tǒng)因受阻力作振幅減小的運(yùn)動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。·題目(ex3331)一彈簧陣子系統(tǒng)除了受到彈性力外，還受到與速度成正比的黏性阻力的作用，試比較無(wú)阻尼、阻尼系數(shù)分別為0.8和0.99三種情況的運(yùn)動(dòng)曲線。·解題分析設(shè)質(zhì)點(diǎn)在一條直線上，并選擇質(zhì)點(diǎn)的平衡位置為原點(diǎn)，彈簧振子系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)受阻力 （為阻力系數(shù)）和

8、彈性力 （k為勁度系數(shù)）的作用，根據(jù)牛頓第二定律，有式中，·程序（ex3331）運(yùn)行結(jié)果如圖3-3-11所示。討論：對(duì)于一定的振動(dòng)系統(tǒng)，根據(jù)阻尼因數(shù)大小的不同，由方程可解出三種可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即欠阻尼狀態(tài)、過(guò)阻尼狀態(tài)和臨界狀態(tài)。在上述程序中，將頻率和阻尼因數(shù)寫成輸入?yún)⒘?，便可作出三種狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)圖像。·程序（ex33311）例如，取分別取為0.7,14.2和3.99，運(yùn)行上述程序即可得到圖3-3-12。3.3.4 受迫振動(dòng) 共振·題目（ex3341）振動(dòng)系統(tǒng)在連續(xù)周期性外力作用下進(jìn)行的振動(dòng)叫受迫振動(dòng)。考慮質(zhì)點(diǎn)受三種力作用，即彈性力、阻尼力和驅(qū)動(dòng)力，試討論受迫振動(dòng)的運(yùn)

9、動(dòng)特征和位移共振。·解題分析彈性力和阻尼力在前面已經(jīng)介紹過(guò)了，現(xiàn)設(shè)驅(qū)動(dòng)力為周期性外力由牛頓定律，受迫振動(dòng)方程為其中初始條件為·程序（ex3341）運(yùn)行結(jié)構(gòu)如圖3-3-14所示。討論： 迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特征由上面的圖3-3-14的下圖可以看出，開(kāi)始時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅較大，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后，阻尼振動(dòng)即可忽略不計(jì)，質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行與驅(qū)動(dòng)力同頻率的振動(dòng)，稱為阻尼受迫振動(dòng)的穩(wěn)定狀態(tài)。 位移共振上面的第一幅圖給出了受迫振動(dòng)的振幅隨頻率比的變化曲線，可以看出，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率接近系統(tǒng)固有頻率時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅急劇增大，發(fā)生共振現(xiàn)象。當(dāng)取不同的阻尼因數(shù)時(shí)，可以得到一條曲線。阻尼過(guò)大時(shí)曲線較為平緩，而減小阻

10、尼時(shí)，曲線就變得陡直。將前面的程序改寫為·程序（ex33411）分別取B為0.1,0.2,0.3和0.4并運(yùn)行該程序得圖3-3-14。讀者也可以改變k值?？纯词芷日駝?dòng)曲線有什么變化，并從物理上給以解釋。3.3.5 非線性振子 混沌現(xiàn)象簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征是振子所受的恢復(fù)力與位移成正比，方向總指向平衡位置。但是，有些振動(dòng)盡管也是呈現(xiàn)周期性變化，而恢復(fù)力與位移的關(guān)系卻是非線性的，平衡位置的均值也將向某一方向偏移。這種在偏離線性關(guān)系的恢復(fù)力作用下的振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)稱為非線性振動(dòng)。例如，位移較大的彈簧振動(dòng)、大擺角單擺、復(fù)擺運(yùn)動(dòng)以及扭擺等都會(huì)出現(xiàn)非線性振動(dòng)。與線性振動(dòng)的可重復(fù)性和可預(yù)知性不同，非線性振

11、動(dòng)在初始條件給定的情況下不再是可重復(fù)的和可預(yù)知的，出現(xiàn)了不確定性，這種現(xiàn)象稱為混沌。·題目（ex3351）設(shè)非線性振子受兩個(gè)強(qiáng)迫力作用，振子的運(yùn)動(dòng)方程為試用MATLAB求上述非線性方程在兩個(gè)初始條件相差很小時(shí)的解，并畫出x-t圖形。·解題分析令則上述方程可化為一階微分方程組為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可取取兩個(gè)相差微小的初始條件：第一個(gè)是x0=0,v0=0.1;第二個(gè)是x0=0,v0=。分別用這兩個(gè)初始條件解上述方程，然后將結(jié)果繪制在同一幅圖中，用以顯示初始條件對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響。·程序（ex3351）運(yùn)行結(jié)果如圖3-3-15所示。可以看出，隨時(shí)間的演化，原來(lái)看似一致的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)逐漸分成

12、兩個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，顯示出對(duì)初始條件的敏感?；煦缧袨榕c粒子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)不同，它告訴我們牛頓定律具有內(nèi)在的隨機(jī)性，而不再使我們以前所為的那種確定性理論。另外，讀者還可以選取不同的F1、F2以及圓頻率值來(lái)觀察振子的響應(yīng)。3.4 波動(dòng)如果在空間某處發(fā)生的擾動(dòng)以一定的速度向四處傳播，則稱這種傳播著的擾動(dòng)為波。機(jī)械擾動(dòng)在介質(zhì)中的傳播形成機(jī)械波，電磁擾動(dòng)在真空或介質(zhì)中的傳播形成電磁波。雖然二者的傳播機(jī)制不同，但形成的波卻具有共同的規(guī)律性。本節(jié)以機(jī)械波為具體內(nèi)容，利用MATLAB討論波的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。3.4.1 簡(jiǎn)諧波如果波源作簡(jiǎn)諧波，介質(zhì)中個(gè)質(zhì)點(diǎn)也 相繼作同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，這樣形成的波叫簡(jiǎn)諧波?，F(xiàn)以橫波為例，來(lái)討論

13、簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征。·題目編寫一個(gè)能動(dòng)態(tài)演示簡(jiǎn)諧波運(yùn)動(dòng)的程序，用以說(shuō)明波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播。·解題分析設(shè)簡(jiǎn)諧波沿x正方向傳播，則簡(jiǎn)諧波方程可寫為其中，A是波幅，是圓頻率，k是波數(shù)為位相常量。決定位于x處的質(zhì)元在t時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)，稱為波的位相。·程序（ex3411）圖3-4-1給出了運(yùn)行該程序后得到的一幀畫面。3.4.2 波的疊加 駐波頻率相同、振動(dòng)方向相同、有固定的相位差的兩個(gè)波源所發(fā)出的簡(jiǎn)諧波稱為相干波。兩相干波在交疊出有些地方振動(dòng)加強(qiáng)，有些地方振動(dòng)減弱的現(xiàn)象稱為波的干涉現(xiàn)象。駐波是一種特殊的干涉現(xiàn)象，它由振幅相同、傳播方向相反的兩列相干波疊加而成。·題

14、目（ex3421）設(shè)一列波沿x軸的正向傳播，另一列波沿x軸負(fù)方向傳播，取共同的坐標(biāo)原點(diǎn)和計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求兩列波相遇處各質(zhì)點(diǎn)的合位移，繪出t=0:9秒共10個(gè)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)圖像。·解題分析根據(jù)題意，兩列波的波方程分別為兩波相遇處個(gè)質(zhì)元的合位移為此即駐波方程。·程序（ex3421）運(yùn)行結(jié)果如圖3-4-2所示。為了形象地說(shuō)明駐波的形成過(guò)程，下面給出了制作駐波形成過(guò)程的動(dòng)畫程序。演示這個(gè)動(dòng)畫對(duì)于理解駐波的形成是有幫助的。3.4.3 波包·題目（ex3431）考慮兩個(gè)頻率相近，振幅相同的簡(jiǎn)諧波的同相疊加。編寫能動(dòng)態(tài)顯示波包形成過(guò)程的程序。·解題分析根據(jù)題意兩列波的方程分別

15、為二者的合成為 其中，在時(shí)，疊加后波形包絡(luò)線的傳播稱為波包。·程序（ex3431）3.4.4 孤波1834年，羅素首先報(bào)道了他所觀察到的孤立波，它是在水面上傳播的一個(gè)孤立波峰，在傳播過(guò)程中其形狀保持不變。孤波是在截至對(duì)大振幅波的非線性效應(yīng)以及介質(zhì)的色散效應(yīng)共同影響下形成的一種特殊的波。在一定條件下，當(dāng)色散效應(yīng)和非線性效應(yīng)所產(chǎn)生的影響相互抵消時(shí)，波峰的形狀在傳播中過(guò)程保持不變，便形成了孤波。孤波的波形具有定域性和穩(wěn)定性。當(dāng)兩個(gè)孤波相遇后又分開(kāi)時(shí)，每個(gè)孤波仍然保持其原來(lái)的形狀、并按原來(lái)的速度繼續(xù)各自傳播，我們稱這一性質(zhì)為完整性。當(dāng)孤波同時(shí)具有定域性、穩(wěn)定性和完整性時(shí)，稱這種孤波為孤子或孤

16、立子。近年來(lái)，人們?cè)谠S多領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)了孤子這種運(yùn)動(dòng)形態(tài)。例如，流動(dòng)中的漩渦、超導(dǎo)體中的磁通量子以及神經(jīng)系統(tǒng)信號(hào)的傳遞等等。·題目（ex3441）根據(jù)KdV方程編寫能動(dòng)態(tài)顯示孤立波運(yùn)動(dòng)特性的程序。·解題分析1895年，荷蘭的克爾泰沃赫和德弗希斯提出了描述孤立水波的動(dòng)力學(xué)方程，即KdV方程：式中，分別為表面張力和液體密度，為一常數(shù)。方程的波形解為 而波速為 從上式可以看出，振幅越大，波速越大。下面給出了根據(jù)KdV方程編寫的能顯示孤波運(yùn)動(dòng)特性的動(dòng)畫程序?？梢钥闯霎?dāng)兩個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的孤波碰撞后又分開(kāi)時(shí)，仍然保持各自原來(lái)的形狀并按照原來(lái)的速度繼續(xù)各自傳播。·程序(ex3411)3

17、.4.5 多普勒效應(yīng)由于波源或者觀察者的運(yùn)動(dòng)而出現(xiàn)觀測(cè)頻率和波源頻率不一致的現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)，它是奧地利物理學(xué)家多普勒在1842年發(fā)現(xiàn)的。·題目（3451）編寫一個(gè)模擬多普勒效應(yīng)的程序，可以通過(guò)聲音指令來(lái)獲得聲音效果。·解題分析設(shè)彈性波在介質(zhì)中的傳播速率為u，并假定波源或者觀測(cè)者的運(yùn)動(dòng)都發(fā)生在它們之間的連線上，用vs表示波源相對(duì)于介質(zhì)的速率，以趨近觀測(cè)者為正；用v0表示觀測(cè)者相對(duì)介質(zhì)的速率，以趨近波源為正。在波源和觀測(cè)站相對(duì)于介質(zhì)靜止時(shí)，測(cè)得的頻率為v，則有 （1）我們從普遍情況入手，設(shè)波源和觀測(cè)者同時(shí)相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)，即當(dāng)波源以vs相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)使波長(zhǎng)變?yōu)槎^測(cè)者以速度v0相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)，又會(huì)使波相對(duì)于觀測(cè)者的波速變?yōu)閡+v0。因此，觀測(cè)者所測(cè)得的頻率為 （2）討論下列情況： 波源靜止，觀測(cè)者相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng) （3）由上式可知，當(dāng)觀測(cè)者向著波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，實(shí)際觀測(cè)頻率v高于波源頻率v，反之，則低于波源頻率。 觀測(cè)者靜止，波源相對(duì)與介質(zhì)運(yùn)動(dòng) （4）由上式知，