第七節(jié) 斯托克斯(Stokes公式、環(huán)流量與旋度

1、一、斯托克斯一、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式定理定理 設(shè)設(shè) 為分段光滑的空間有向閉曲線為分段光滑的空間有向閉曲線, , 是以是以 為邊界的分片光滑的有向曲面為邊界的分片光滑的有向曲面, , 的正向與的正向與 的側(cè)符合右手規(guī)則的側(cè)符合右手規(guī)則, , 函數(shù)函數(shù)),(zyxP, ,),(zyxQ, ,),(zyxR在包含曲面在包含曲面 在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 則有公式則有公式n 是有向曲面是有向曲面 的的正向邊界曲線正

2、向邊界曲線 右手法則右手法則xyzo),(:yxfz xyD Cn證明證明設(shè)設(shè)與與平平行行于于z軸軸的的直直線線相相交交不不多多于于一一點(diǎn)點(diǎn), , 并并取取上上側(cè)側(cè), ,有有向向曲曲線線 C C 為為的的正正向向邊邊界界曲曲線線 在在xoy的的投投影影. .且且所所圍圍區(qū)區(qū)域域xyD. .如圖如圖思路思路曲面積分曲面積分二重積分二重積分曲線積分曲線積分12dSyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos( 代入上式得代入上式得又又,coscos yf dSfzPyPdxdyyPdzdxzPy cos)( dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)( 即即,),(,dxdyyxfyxPyd

3、xdyyPdzdxzPxyD yfzPyPyxfyxPy ),(,1 cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy),(,),(,dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc ),(,即即根椐格林公式根椐格林公式平面有向曲線平面有向曲線2,),(dxzyxPdxdyyPdzdxzP 空間有向曲線空間有向曲線,),(dyzyxQdydzzQdxdyxQ 同理可證同理可證,),(dzzyxRdzdxxRdydzyR dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx.故有結(jié)論成立故有結(jié)論成立. RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdx

4、dsRQPzyx coscoscos另一種形式另一種形式cos,cos,cos n其中其中便于記憶形式便于記憶形式StokesStokes公式的實(shí)質(zhì)公式的實(shí)質(zhì): : 表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系上的曲線積分之間的關(guān)系. .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形( (當(dāng)是當(dāng)是xoy面的平面閉區(qū)域時(shí)面的平面閉區(qū)域時(shí)) )例例 1 1 計(jì)計(jì)算算曲曲線線積積分分ydzxdyzdx , ,其其中中 是是平平面面1 zyx被被三三坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所截截成成的的三三角角形形的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界, ,它它的的正正向向與與這這

5、個(gè)個(gè)三三角角形形上上側(cè)側(cè)的的法法向向量量之之間間符符合合右右手手規(guī)規(guī)則則. .二、簡單的應(yīng)用二、簡單的應(yīng)用0 xyDxyzn111解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有dzyxdyzdx dxdydzdxdydz dxdydzdxdydz xyDd3xyo11xyD23 弦都為正，弦都為正，的法向量的三個(gè)方向余的法向量的三個(gè)方向余由于由于 再由對稱性知：再由對稱性知：如圖如圖xyDdzyxdyzdx 例例 2 2 計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分dzyxdyxzdxzy)()()(222222 其中其中 是平面是平面23 zyx截立方體截立方體: :10 x, ,10 y, ,10 z的表面所得

6、的截痕的表面所得的截痕, ,若從若從 ox軸的正向看去軸的正向看去, ,取逆時(shí)針方向取逆時(shí)針方向. .解解取取為為平平面面23 zyx的的上上側(cè)側(cè)被被 所所圍圍成成的的部部分分. .則則1 , 1 , 131 nzxyo n 即即,31coscoscos dSyxxzzyzyxI 222222313131 dSzyx)(34 dS2334 xyDdxdy332.29 )23( zyx上上在在xyD23 yx21 yx空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件斯托克斯公式的應(yīng)用：空間曲線積分與路徑無關(guān)斯托克斯公式的應(yīng)用：空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件的條件問題問題：空間曲線積分在什么

7、條件下與路徑無關(guān)？：空間曲線積分在什么條件下與路徑無關(guān)？注意注意：空間曲線積分與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿任意閉：空間曲線積分與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿任意閉曲線的曲線積分為零曲線的曲線積分為零內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立在在條件是等式條件是等式積分為零）的充分必要積分為零）的充分必要內(nèi)任意閉曲線的曲線內(nèi)任意閉曲線的曲線內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿在在線積分線積分連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則空間曲連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則空間曲內(nèi)具有一階內(nèi)具有一階在在、是一維單連通域，函數(shù)是一維單連通域，函數(shù)設(shè)空間開區(qū)域設(shè)空間開區(qū)域定理定理GzPxRyRzQxQyPGGRdzQdyPdxGzyxRzyxQzyxPG ,),(),(),(1內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立在

8、在件是等式件是等式的全微分的充分必要條的全微分的充分必要條成為某一函數(shù)成為某一函數(shù)內(nèi)內(nèi)在在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則表達(dá)式連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則表達(dá)式內(nèi)具有一階內(nèi)具有一階在在、函數(shù)函數(shù)是空間一維單連通域，是空間一維單連通域，設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域定理定理GzPxRyRzQxQyPzyxuGRdzQdyPdxGzyxRzyxQzyxPG ,),(),(),(),(2 ),(),(000),(zyxzyxRdzQdyPdxzyxu且且用定積分表示為用定積分表示為 zzyyxxdzzyxRdyzyxQdxzyxPzyxu000.),(),(),(),(000.),(),(000GzyxMGzyxM 點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)某一定點(diǎn)，內(nèi)某一定點(diǎn)，為

9、為其中其中),(0000zyxM),(001zyxM),(02zyxM),(zyxMzxyO三、物理意義三、物理意義-環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度.),(),(),(),(按所取方向的環(huán)流量按所取方向的環(huán)流量沿曲線沿曲線稱為向量場稱為向量場上的曲線積分上的曲線積分中某一封閉的有向曲線中某一封閉的有向曲線則沿場則沿場設(shè)向量場設(shè)向量場CARdzQdyPdxsdACAkzyxRjzyxQizyxPzyxACC 1. 1. 環(huán)流量的定義環(huán)流量的定義: :SdRQPzyxkjisdAC 環(huán)流量環(huán)流量利用利用stokesstokes公式公式, , 有有2. 2. 旋度的定義旋度的定義: :. )(ArotRQ

10、Pzyxkji為向量場的旋度為向量場的旋度稱向量稱向量 .)()()(kyPxQjxRzPizQyR RQPzyxkjiArot 旋度旋度斯托克斯公式的又一種形式斯托克斯公式的又一種形式其中其中,coscoscoskjin 的的單單位位法法向向量量為為kjit coscoscos 的的單單位位切切向向量量為為dSyPxQxRzPzQyRcos)(cos)(cos)( dsRQP)coscoscos( 斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 dstAdSnArot dsAdSArottn)(或或其中其中 cos)(cos)(cos)()(yPxQxRzPzQyRnArotArotn cos

11、coscosRQPnAAt Stokes公式的物理解釋公式的物理解釋:向量場向量場A沿有向閉曲線沿有向閉曲線 的環(huán)流量等于向量場的環(huán)流量等于向量場A的旋度場通過的旋度場通過 所張的曲面的通量所張的曲面的通量.(.( 的正的正向與向與 的側(cè)符合右手法則的側(cè)符合右手法則) ) dsASdArott環(huán)流量環(huán)流量Mv Lo例例 3 3 設(shè)設(shè)一一剛剛體體繞繞過過原原點(diǎn)點(diǎn) O O 的的某某個(gè)個(gè)軸軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng), ,其其角角速速度度),(321 , ,剛剛體體上上每每一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的線線速速度度構(gòu)構(gòu)成成一一個(gè)個(gè)線線速速場場, ,則則向向量量OMr zyx, 在在點(diǎn)點(diǎn)M處處的的線線速速度度 rv zyxkji32

12、1 解解由力學(xué)知道點(diǎn)由力學(xué)知道點(diǎn) 的線速度為的線速度為M .22,2,2321 觀察旋度觀察旋度vrot由此可看出旋由此可看出旋度與旋轉(zhuǎn)角速度與旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系度的關(guān)系.向量微分算子向量微分算子kzjyix .)Hamilton()Nabla(算子算子算子或哈密頓算子或哈密頓也稱為也稱為 運(yùn)用向量微分算子運(yùn)用向量微分算子),()1(zyxuu 設(shè)設(shè)則則kzujyuixuu ;gradu 定義定義uu 2gradu .222222uzuyuxu ,),(),(),()2(kzyxRjzyxQizyxPA 設(shè)設(shè)則則)()(kRjQiPkzjyixA ;divAzRyQxP .rotARQPzyxk

13、jiA 高斯公式可寫成高斯公式可寫成, dSAAdvn斯托克斯公式可寫成斯托克斯公式可寫成.)( dsAdSAtn四、小結(jié)四、小結(jié)斯托克斯公式的物理意義斯托克斯公式的物理意義斯托克斯公式成立的條件斯托克斯公式成立的條件斯托克斯公式斯托克斯公式 RQPzyxdxdydzdxdydz dSRQPzyx coscoscos dstAdSnArot RdzQdyPdx一、一、 計(jì) 算計(jì) 算 dzyzxzdyydx23, , 其 中其 中 是 圓 周是 圓 周2,222 zzyx若從若從z軸正向看去軸正向看去, ,這圓周是這圓周是逆時(shí)針方向逆時(shí)針方向 . .二、二、 計(jì) 算計(jì) 算 dzxdyzdxy22

14、2, , 其 中其 中 是 球 面是 球 面2222azyx 和園柱面和園柱面axyx 22的交線的交線)0,0( za, ,從從x軸正向看去軸正向看去, ,曲線為逆時(shí)針方曲線為逆時(shí)針方向向 . .三、三、 求向量場求向量場jyxziyzA)cos()sin( 的旋度的旋度 . .練練 習(xí)習(xí) 題題四、利用斯托克斯公式把曲面積分四、利用斯托克斯公式把曲面積分 dsnArot化成曲化成曲 線積分線積分, ,并計(jì)算積分值并計(jì)算積分值, ,其中其中A, , 及及n分別如下分別如下: :kxzjxyiyA 2, , 為上半個(gè)球面為上半個(gè)球面221yxz 的上側(cè)的上側(cè), , n是是 的單位法向量的單位法向量. .五、求向量