2006年考研數(shù)學(xué)二真題及答案(共16頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2006年考研數(shù)學(xué)二真題一、 填空題（16小題，每小題4分，共24分。）(1) 曲線y=x+4sinx5x-2cosx的水平漸近線方程為_(kāi)?！敬鸢浮縴=15?！窘馕觥縧imxx+4sinx5x-2cosx=limx1+4sinxx5-2cosxx=15故曲線的水平漸近線方程為y=15。綜上所述，本題正確答案是y=15【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線(2) 設(shè)函數(shù)fx=1x30xsint2dt,x0,a,x=0在x=0處連續(xù)，則a=_?！敬鸢浮?3?！窘馕觥縜=limx01x30xsint2dt=limx0sinx23x2=13.綜上所述，本

2、題正確答案是13【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)初等函數(shù)的連續(xù)性(3) 反常積分0+xdx(1+x2)2=_?！敬鸢浮?2?！窘馕觥?+xdx(1+x2)2=limb+0bxdx(1+x2)2=limb+120bd1+x21+x22=12limb+(-11+x2)0b=12limb+1-11+b2=12綜上所述，本題正確答案是12【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)反常積分(4) 微分方程y'=y(1-x)x的通解為_(kāi)?！敬鸢浮縴=Cxe-x，C為任意常數(shù)?！窘馕觥縟yy=1-xxdx lny=lnx-lnex+lnC即y=Cxe-x，C為任意常數(shù)綜上所述，本題正確答案是y=Cxe-x?！究?/p>

3、點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)常微分方程一階線性微分方程(5) 設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y=1-xey確定，則dydxx=0=_?！敬鸢浮?e?！窘馕觥康仁絻蛇厡?duì)x求導(dǎo)得y'=-ey-xeyy'將x=0代入方程y=1-xey可得y=1。將x=0,y=1代入y'=-ey-xeyy'，得dydxx=0=-e.綜上所述，本題正確答案是-e?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法(6) 設(shè)矩陣A=21-12，E為二階單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+2E，則B=_?！敬鸢浮??！窘馕觥緽A=B+2E BA-E=2E B(A-E)=2E BA-E

4、=22=4因?yàn)锳-E=11-11=2，所以B=2。綜上所述，本題正確答案是2?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)行列式行列式的概念和基本性質(zhì)，行列式按行(列)展開(kāi)定理二、 填空題（714小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。）(7) 設(shè)函數(shù)y=f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f'x>0,f''x>0，x為自變量x在點(diǎn)x0處的增量，y與dy分別為f(x)在點(diǎn)x0處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若x>0，則(A)0<dy<y (B)0<y<dy(C)y<dy<0 (C)dy<y<0【答案】A?！窘馕觥?/p>

5、【方法一】由函數(shù)y=f(x)單調(diào)上升且凹，根據(jù)y和dy的幾何意義，得如下所示的圖由圖可得0<dy<y【方法二】由凹曲線的性質(zhì)，得fx0+x>fx0+f'x0x,x0，于是fx0+x-fx0>f'x0x>0,x>0，即0<dy<y綜上所述，本題正確答案是A?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義(8) 設(shè)f(x)是奇函數(shù)，除x=0外處處連續(xù)，x=0是其第一類間斷點(diǎn)，則0xf(t)dt是(A)連續(xù)的奇函數(shù) (B)連續(xù)的偶函數(shù)(C)在x=0間斷的奇函數(shù) (D)在x=0間斷的偶函數(shù)【答案】B?！窘馕觥匡@然

6、f(x)在任何有限區(qū)間a,b上都可積，于是Fx=0xf(t)dt連續(xù)，又因f(x)是奇函數(shù)，則Fx=0xf(t)dt是偶函數(shù)。綜上所述，本題正確答案是B。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(9) 設(shè)函數(shù)g(x)可微，hx=e1+gx,h'1=1,g'1=2，則g(1)等于(A)ln3-1 (B)-ln3-1(C)-ln2-1 (D)ln2-1【答案】C。【解析】h'x=e1+g(x)g'(x).由h'1=1,g'1=2，得g1=lnh'(1)g'(1)-

7、1=ln12-1=-ln2-1綜上所述，本題正確答案是C。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法(10) 函數(shù)y=C1ex+C2e-2x+xex滿足的一個(gè)微分方程是(A)y''-y'-2y=3xex (B)y''-y'-2y=3ex(C)y''+y'-2y=3xex (D)y''+y'-2y=3ex【答案】D?！窘馕觥恳?yàn)閥=C1ex+C2e-2x+xex是二階常系數(shù)非齊次線性方程的解，故Y=C1ex+C2e-2x是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，y*=xex是

8、非齊次方程的特解，因此r=1,r=-2是齊次方程特征方程的根，齊次方程應(yīng)為y''+y'-2y=0，這樣可排除A和B，又因?yàn)?1是特征方程的單根，因此非齊次項(xiàng)為fx=Aex,因此答案為D。綜上所述，本題正確答案是D?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)常微分方程線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，二階常系數(shù)齊次線性微分方程(11) 設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則04d01f(rcos,rsin)rdr等于(A)022dxx1-x2f(x,y)dy (B) 022dx01-x2f(x,y)dy(C)022dyy1-y2f(x,y)dx (D)022dy01-y

9、2f(x,y)dx【答案】C。【解析】如圖所示，顯然是y型域，則原式=022dyy1-y2f(x,y)dx綜上所述，本題正確答案是C【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)二重積分的概念、基本性質(zhì)和計(jì)算(12) 設(shè)f(x,y)與(x,y)均為可微函數(shù)，且y'(x,y)0。已知(x0,y0)是f(x,y)在約束條件x,y=0下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是(A)若fx'x0,y0=0，則fy'x0,y0=0(B)若fx'x0,y0=0，則fy'x0,y00(C)若fx'x0,y00，則fy'x0,y0=0(D)若fx'x0,y00，則fy&

10、#39;x0,y00【答案】D。【解析】本題主要考查了二元函數(shù)極值的必要條件和拉格朗日乘數(shù)法。作拉格朗日函數(shù)Fx,y,=fx,y+x,y, 并記對(duì)應(yīng)x0,y0的參數(shù)的值為0, 則Fx'x0,y0,0=0Fy'x0,y0,0=0, 即fx'x0,y0+0x'x0,y0=0fy'x0,y0+0y'x0,y0=0, 消去0得：fx'x0,y0y'x0,y0-fy'x0,y0x'x0,y0=0, 整理得：fx'x0,y0=1y'x0,y0fy'x0,y0x'x0,y0 (因?yàn)閥'x,

11、y0),若fx'x0,y00, 則fy'x0,y00。綜上所述，本題正確答案是D【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)二元函數(shù)的極限(13) 設(shè)1,2,s均為n維列向量，A是m×n矩陣，下列選項(xiàng)正確的是(A)若1,2,s線性相關(guān)，則A1,A2,As線性相關(guān)(B)若1,2,s線性相關(guān)，則A1,A2,As線性無(wú)關(guān)(C)若1,2,s線性無(wú)關(guān)，則A1,A2,As線性相關(guān)(D)若1,2,s線性無(wú)關(guān)，則A1,A2,As線性無(wú)關(guān)【答案】A?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧恳?yàn)?,2,s線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)k1,k2,ks使得k11+k22+kss=0從而有A(k11+k22+kss)=A0=0

12、即k1A1+k2A2+ksAs=0, 由于k1,k2,ks不全為0而是上式成立，說(shuō)明A1,A2,As線性相關(guān)。【方法二】利用秩來(lái)求解，利用分塊矩陣有A1,A2,As=A(1,2,s)那么rA1,A2,Asr(1,2,s)因?yàn)?,2,s線性相關(guān)，有r1,2,s<s從而rA1,A2,As<s, 故A1,A2,As線性相關(guān)。綜上所述，本題正確答案是A【考點(diǎn)】線性代數(shù)向量向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)、向量組的秩(14) 設(shè)A為三階矩陣，將A的第2行加到第1行的B，再將B的第1列的-1倍加到第2列得C，記P=，則(A)C=P-1AP (B)C=PAP-1(C)C=PTAP (D)C=PAPT【

13、答案】B?！窘馕觥堪匆阎獥l件，用初等矩陣描述有B=A, C=B1-所以C=A1-=PAP-1。綜上所述，本題正確答案是B【考點(diǎn)】線性代數(shù)矩陣矩陣的線性運(yùn)算三、 解答題（1523小題，共94分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）(15) （本題滿分10分）試確定常數(shù)A,B,C的值，使得ex1+Bx+Cx2=1+Ax+o(x3)，其中o(x3)是當(dāng)x0時(shí)比x3高階的無(wú)窮小量?！窘馕觥坑商├展街篹x=1+x22+x33+ox3則ex1+Bx+Cx2=(1+x22+x33+ox3)1+Bx+Cx2=1+B+1x+12+B+Cx2+16+12B+Cx3+ox3,=1+Ax+ox3比較等式兩端

14、同次冪的系數(shù)得B+1=A12+B+C=016+12B+C=0, 解得A=13, B=-23,C=16。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)泰勒公式(16) （本題滿分10分）求arcsinexexdx.【解析】本題用到了幾個(gè)常用的積分公式【方法一】令arcsinex=t, 則t=lnsint,dx=costsintdtarcsinexexdx=tsintcostsintdt=td1sint =-tsint+dtsint=-tsint-lncsct+cott+C =-arcsinexex-ln1ex-1-e2xex+C?！痉椒ǘ縜rcsinexexdx=-arcsinexde-x =-arcsin

15、exex+11-e2xdx 令1-e2x=t, 則dx=-t1-t2dt11-e2xdx=dtt2-1=12ln1-t1+t+C,則arcsinexexdx=-arcsinexex+12ln1-1-e2x1+1-e2x+C【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)不定積分的計(jì)算(17) （本題滿分10分）設(shè)區(qū)域D=(x,y)x2+y21,x0，計(jì)算二重積分I=D 1+xy1+x2+y2dxdy.【解析】本題需要用到二重積分的對(duì)稱性，又因?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)閳A域的一部分，所以化為極坐標(biāo)下的累次積分來(lái)求解。積分區(qū)域D如圖所示，因?yàn)閰^(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)fx,y=11+x2+y2是變量y的偶函數(shù)，函數(shù)gx,y=xy1

16、+x2+y2是變量y的奇函數(shù)，則D 11+x2+y2dxdy=2D1 11+x2+y2dxdy=202d01rr2+1dr =ln22D xy1+x2+y2dxdy=0,y故D 1+xy1+x2+y2dxdy=D 11+x2+y2dxdy+D xy1+x2+y2dxdy=ln22。0D1x2+y2=1x1【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)不定積分的計(jì)算(18) （本題滿分12分）設(shè)數(shù)列xn滿足0<x1<,xn+1=sinxn(n=1,2,).(I)證明limnxn存在，并求該極限；(II)計(jì)算limnxn+1xn1xn2.【解析】本題數(shù)列是由遞推關(guān)系給出的，通常用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明極限存

17、在，并求出極限，第二問(wèn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限來(lái)求解。(I) 用歸納法證明xn單調(diào)減且有下界，由于sinx<x,x0,則由0<x1<知，0<x2=sinx1<x1<, 設(shè)0<xn<, 則0<xn+1=sinxn<xn<. 所以xn單調(diào)減且有下界，故極限limnxn存在，記a=limnxn, 由xn+1=sinxn知a=sina所以，a=0, 即limnxn=0。(II) 由于limnxn+1xn1xn2=limnsinxnxn1xn2, 所以，考慮函數(shù)極限limx0(sinxx)1x2=limx0lnsinxxx2, 又limx0lns

18、inxxx2 =limx0ln(1+sinx-xx)x2=limx0sinx-xx2 =limx0cosx-13x2=limx0-12x23x2=-16, 則limx0(sinxx)1x2=e-16, 故limnxn+1xn1xn2=e-16。 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)極限的四則運(yùn)算、單調(diào)有界準(zhǔn)則(19) （本題滿分10分）證明：當(dāng)0<a<b<時(shí)，bsinb+2cosb+b>asina+2cosa+a.【解析】本題可構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明。設(shè)fx=xsinx+2cosx+x x0,則f'x=sinx+xcosx-2sinx+=xcosx-sin

19、x+ f''x=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0, x(0,) 則f'x在0,上單調(diào)減，從而有f'x>f'=0 x(0,)因此，fx在0,上單調(diào)增，當(dāng)0<a<b<時(shí)，fb>f(a)即 bsinb+2cosb+b>asina+2cosa+a。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)(20) （本題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(u)在(0,+)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且z=f(x2+y2)滿足等式2zx2+2zy2=0(I)驗(yàn)證f''u+f'(u)u=0；(II)若f1=0,f

20、9;1=1，求函數(shù)f(u)的表達(dá)式。【解析】本題主要考查復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求解。設(shè)u=x2+y2, 則zx=f'uxx2+y2,zy=f'uyx2+y22zx2=f''uxx2+y2xx2+y2+f'ux2+y2-x2x2+y2x2+y2,=f''ux2x2+y2+f'uy2(x2+y2)32,2zy2=f''uy2x2+y2+f'ux2(x2+y2)32,將2zx2,2zy2代入2zx2+2zy2=0得 f''u+f'uu=0。(II) 令f'u=p, 則p'+pu=

21、0 dpp=-duu, 兩邊積分得：lnp=-lnu+lnC1, 即p=C1u, 即f'u=C1u由f'1=1可得 C1=1. 所以有 f'u=1u, 兩邊積分得fu=lnu+C2,由f1=0可得 C2=0, 故fu=lnu?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(21) （本題滿分12分）已知曲線L的方程為x=t2+1,y=4t-t2t0.(I)討論L的凹凸性；(II)過(guò)點(diǎn)(-1,0)引L的切線，求切點(diǎn)(x0,y0)，并寫(xiě)出切線的方程；(III)求此切線與L(對(duì)應(yīng)于xx0的部分)及x軸所圍成的平面圖形的面積。【解析】確定凹凸性，也就是確定二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，要求

22、切線方程，先求斜率。(I) 因?yàn)?dydx=y'(t)x'(t)=4-2t2t=2t-1所以 d2ydx2=ddt2t-1dtdx=-2t21x't=-1t3當(dāng)t>0時(shí)，d2ydx2<0, 故L是凸的。(II) 當(dāng)t=0時(shí),x'0=0,y'0=4,x0=1,y0=0, dydx|t=0=,則t=0時(shí)，L在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處切線方程為x=1, 不合題意，故設(shè)切點(diǎn)(x0,y0)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0>0, 則L在(x0,y0)的切線方程為：y-4t0-t02=(2t0-1)(x-t02-1)令x=-1,y=0, 得t02+t0-2=0, 解得t0=1或t0

23、=-2(舍去)， 由t0=1知，切點(diǎn)為2,3, 切線方程為y=x+1(III) 令y=4t-t2, 得t1=0,t2=4, 對(duì)應(yīng)曲線L與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(1,0)和17,0, 由以上討論知曲線L和所求的切線如圖所示，故所求平面圖形面積為：S=-12(x+1)dx-12ydx=92-01(4t-t2)d(t2+1) =92-014t-t22tdt=73.yx(17,0)(1,0)(2,3)(-1,0)L【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)函數(shù)圖形的凹凸性、平面曲線的切線和法線高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)定積分的應(yīng)用(22) （本題滿分9分）已知非齊次線性方程組x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1,ax1+x2+3x3+bx4=1有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。(I)證明方程組系數(shù)矩陣A的秩rA=2；(II)求a,b的值及方程組的通解?！窘馕觥勘绢}主要考查含參數(shù)的非齊次線性方程組的求解問(wèn)題。(I) 設(shè)1,2,3是非齊次線性方程組的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，那么1-2,1-3, 是Ax=0線性無(wú)關(guān)的解，所以n-rA2,即r(A)2,顯然矩陣A中有2階子式不為0, 又有rA2, 從而