經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教案

1、備 課 教 案第 一 周 星期五 課 題 函數(shù)所需課時2教學(xué)目的理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的幾何特性，為研究微分做好準(zhǔn)備。掌握基本初等函數(shù)的各種狀態(tài)，為研究更深一步的函數(shù)作準(zhǔn)備。重 點函數(shù)的概念，函數(shù)的幾何特性，各種基本初等函數(shù)的性態(tài)。難 點反函數(shù)的理解，分段函數(shù)的理解，復(fù)合函數(shù)的理解。教學(xué)過程：一、組織教學(xué) 點名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入同學(xué)們就以前學(xué)過的函數(shù)的知識談?wù)勛约簩瘮?shù)的理解。三、講授新課一、 函數(shù)的概念：1、 函數(shù)的定義：1） Def：設(shè)x和y是兩個變量，D是給定的非空數(shù)集。若對于每一個數(shù)xÎD，按照某一確定的對應(yīng)法則f，變量y總有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)

2、，記作y=f(x), xÎD。Note：（1）x稱為自變量, y稱為因變量或函數(shù)；（2）D稱為定義域, 記作D f, 即D f=D；（3）f稱為函數(shù)的對應(yīng)法則；（4）集合 y|y=f(x), xÎD稱為值域。 當(dāng)自變量x在定義域內(nèi)取定某確定值x0時，因變量y按照所給函數(shù)關(guān)系求出的對應(yīng)值y0叫做當(dāng)x= x0時的函數(shù)值，記作或f (x0)例1：已知，求解： 例2：求下列函數(shù)的定義域（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）在分式中，分母不能為零，所以，解得，且即定義域為。（2）在偶次方根中，被開方式必須大于等于零，所以，解得即定義域為（3）在對數(shù)式中，真數(shù)必須大于零，所以，解得，

3、即定義域為（4）反正弦或反余弦中的式子的絕對值必須小于等于1，所以有，解得，即定義域為0，1（5）該函數(shù)為（3）（4）兩例中函數(shù)的代數(shù)和，此時函數(shù)的定義域為（3）（4）兩例中定義域的交集，即小結(jié)：定義域的求解原則：（1）（2）（3）（4）（5）同時含有上述四種情況的人以兩種或兩種以上時，要求各部分都成立的交集。2）鄰域：設(shè)為兩個實數(shù)，則稱滿足不等式即以為中心的開區(qū)間為點的鄰域。點為該鄰域的中心，為該鄰域的半徑。四、練習(xí)： 求下列函數(shù)的定義域：（1）（2）（3）（4）（5）五、歸納小結(jié)本節(jié)主要復(fù)習(xí)了函數(shù)的定義及函數(shù)定義域值域的求法。這部分內(nèi)容的掌握將為我們以后的繼續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。課后作業(yè)：

4、1、求函數(shù)的定義域；2、作函數(shù)的圖像反 思 錄：備 課 教 案第 二 周 星期三 課 題函數(shù)所需課時2教學(xué)目的（1）理解復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的概念。（2）掌握函數(shù)的特性。重 點函數(shù)特性的理解。難 點函數(shù)特性的理解。教學(xué)過程：一、組織教學(xué) 點名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入1、什么叫做函數(shù)？2、求下列函數(shù)的定義域及值域。（1）（2）三、講授新課分段函數(shù)對于自變量的不同取值范圍，又不完全相同的對應(yīng)法則的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。例3：函數(shù). 這是一個分段函數(shù), 其定義域為D=0, 1È(0, +¥)= 0, +¥). 當(dāng)0£x£1時, ; 當(dāng)x>1時,

5、y=1+x. ; ; f(3)=1+3=4. Note：（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。3、顯函數(shù)和隱函數(shù) 若函數(shù)中的因變量y用自變量x的表達(dá)式直接表示出來，這樣的函數(shù)稱為顯函數(shù)。 一般地，若兩個變量x,y的函數(shù)關(guān)系用方程F(x,y)=0的形式表示，即x,y的函數(shù)關(guān)系隱藏在方程里，這樣的函數(shù)叫做隱函數(shù)。例如： 有的隱函數(shù)可以轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)，由隱函數(shù)轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)的過程叫做隱函數(shù)的顯化。二、函數(shù)的幾種特性：1、函數(shù)的有界性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D, 數(shù)集XÌD. 如果存在數(shù)K1, 使對任一xÎX, 有f(x)£K1,

6、 則稱函數(shù)f(x)在X上有上界, 而稱K1為函數(shù)f(x)在X上的一個上界. 圖形特點是y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方. 如果存在數(shù)K2, 使對任一xÎX, 有f(x)³ K2, 則稱函數(shù)f(x)在X上有下界, 而稱K2為函數(shù)f(x)在X上的一個下界. 圖形特點是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方. 如果存在正數(shù)M, 使對任一xÎX, 有| f(x) |£M, 則稱函數(shù)f(x)在X上有界; 如果這樣的M不存在, 則稱函數(shù)f(x)在X上無界. 圖形特點是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y= - M和y = M的之間. 函數(shù)f(x)無界,

7、就是說對任何M, 總存在x1ÎX, 使| f(x) | > M. 例如 (1)f(x)=sin x在(-¥, +¥)上是有界的: |sin x|£1. (2)函數(shù)在開區(qū)間(0, 1)內(nèi)是無上界的. 或者說它在(0, 1)內(nèi)有下界, 無上界. 這是因為, 對于任一M>1, 總有x1: , 使 , 所以函數(shù)無上界. 函數(shù)在(1, 2)內(nèi)是有界的. 2、函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù)y = f(x)的定義域為D, 區(qū)間I ÌD. 如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2, 當(dāng)x1<x2時, 恒有 f(x1)< f(x2), 則稱函數(shù)f(x)在

8、區(qū)間I上是單調(diào)增加的. 如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2, 當(dāng)x1<x2時, 恒有 f(x1)> f(x2), 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). 函數(shù)單調(diào)性舉例: 函數(shù)y = x2在區(qū)間(-¥, 0上是單調(diào)增加的, 在區(qū)間0, +¥)上是單調(diào)減少的, 在（-¥, +¥）上不是單調(diào)的. 3、函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱(即若xÎD, 則-xÎD). 如果對于任一xÎD, 有f(-x) = f(x), 則稱f(x)為偶函數(shù). 如果對于任一x

9、06;D, 有f(-x) = -f(x), 則稱f(x)為奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱, 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱, 奇偶函數(shù)舉例: y=x2, y=cos x 都是偶函數(shù). y=x3, y=sin x都是奇函數(shù), y=sin x+cos x是非奇非偶函數(shù). 例4： 判斷函數(shù)的奇偶性.解 函數(shù)的定義域為D=,又因為 所以函數(shù)是奇函數(shù).4、函數(shù)的周期性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D. 如果存在一個正數(shù)l , 使得對于任一xÎD有(x±l)ÎD, 且 f(x+l) = f(x)則稱f(x)為周期函數(shù), l 稱為f(x)的周期. 周期函數(shù)的圖形特點: 在函數(shù)的定義域

10、內(nèi), 每個長度為l 的區(qū)間上, 函數(shù)的圖形有相同的形狀. 例如,的周期,的周期,正弦型曲線函數(shù)的周期為.四、練習(xí) 已知函數(shù)，求f(0.04)和f(9)。五、歸納小結(jié)本節(jié)主要總結(jié)了函數(shù)的幾種特性，適當(dāng)時候可以結(jié)合圖像來分析理解。課后作業(yè)：求函數(shù)反 思 錄：備 課 教 案第 三 周 星期五 課 題基本初等函數(shù)所需課時2教學(xué)目的（1）理解反函數(shù)，會求一個函數(shù)的反函數(shù)。（2）掌握五類基本初等函數(shù)。重 點掌握五類基本初等函數(shù)。難 點理解反函數(shù)，會求一個函數(shù)的反函數(shù)。教學(xué)過程：一、組織教學(xué) 點名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入1、計算： ； 2、怎樣畫函數(shù)的圖像？三、講授新課一、初等函數(shù)1、反函數(shù)定義1.1 設(shè)

11、函數(shù).若對于任意一個,D中都有惟一的一個,使得成立,這時是以Z為定義域的的函數(shù),稱它為的反函數(shù),記作.在函數(shù)中, 是自變量,表示函數(shù).但按照習(xí)慣,我們需對調(diào)函數(shù)中的字母,把它改寫成 .今后凡不特別說明,函數(shù)的反函數(shù)都是這種改寫過的形式.函數(shù)與互為反函數(shù),它們的定義域與值域互換.在同一直角坐標(biāo)系下, 與互為反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱。例如,函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),其圖形如圖1.1所示,關(guān)于直線對稱.函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),它們的圖形在同一坐標(biāo)系中是關(guān)于直線對稱的.如圖1.2所示. 1 -2 0 1 0 1 -2 圖1.1 圖1.2定理.（反函數(shù)存在定理）單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),且單調(diào)增加(減少)的函數(shù)的反

12、函數(shù)也是單調(diào)增加(減少)的.求反函數(shù)可以按以下步驟進行:(1) 從方程中解出惟一的,并寫成;(2) 將中的字母對調(diào),得到函數(shù),這就是所求的函數(shù)的反函數(shù).2 . 復(fù)合函數(shù)定義1.2 假設(shè)有兩個函數(shù),與對應(yīng)的值能使有定義,將代入,得到函數(shù).這個新函數(shù)就叫做是由和經(jīng)過復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),稱為中間變量.例如,由可以復(fù)合成復(fù)合函數(shù).復(fù)合函數(shù)不僅可用兩個函數(shù)復(fù)合而成,也可以有多個函數(shù)相繼進行復(fù)合而成.如由可以復(fù)合成復(fù)合函數(shù).需要指出,不是任何兩個函數(shù)都能復(fù)合成復(fù)合函數(shù).由定義易知,只有當(dāng)?shù)闹涤蚺c的定義域的交集非空時,這兩個函數(shù)才能復(fù)合成復(fù)合函數(shù).例如函數(shù)和就不能復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù).因為 的值域為,而的定義

13、域為，顯然無意義.3 . 基本初等函數(shù)我們學(xué)過的五類函數(shù):冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).為了便于應(yīng)用,下面就其圖像和性質(zhì)作簡要的復(fù)習(xí).參看表1-1 .表1-1 基本初等函數(shù)及圖像性質(zhì)序號函數(shù)圖像性質(zhì)1冪函數(shù) (1,1)0 在第一象限，時函數(shù)單增；時函數(shù)單減都過點（1，1）2指數(shù)函數(shù) 1 0 時函數(shù)單增；時函數(shù)單減共性：過（0，1）點，以軸為漸近線3對數(shù)函數(shù) 0 1 時函數(shù)單增；時函數(shù)單減共性：過（1，0）點，以軸為漸近線4三角函數(shù)正弦函數(shù) 1- 0 -1奇函數(shù),周期T=2,有界余弦函數(shù) 1 - 0 -1 偶函數(shù),周期T=2,有界正切函數(shù) - 0 奇函數(shù),周

14、期T=,無界余切函數(shù) - - 0 奇函數(shù),周期T=,無界5反三角函數(shù)反正弦函數(shù) -1 0 1 -奇函數(shù)，單調(diào)增加，有界反余弦函數(shù) -1 0 1 ,單調(diào)減少，有界反正切函數(shù) 0 奇函數(shù)，單調(diào)增加，有界，為兩條水平漸近線反余切函數(shù) 0 單調(diào)減少，有界，為兩條水平漸近線四、練習(xí)1、基本初等函數(shù)有哪幾類？2、是不是所有函數(shù)都有反函數(shù)？五、歸納小結(jié)這一節(jié)課我們復(fù)習(xí)了五類基本初等函數(shù)，它們的性質(zhì)可以結(jié)合圖像來理解和記憶。課后作業(yè)：指出下列函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)（或簡單函數(shù)）構(gòu)成？ (1) (2) (3) 反 思 錄：備 課 教 案第 三 周 星期三 課 題初等函數(shù)所需課時2教學(xué)目的理解初等函數(shù)的定義，并能

15、把兩個以上的基本初等函數(shù)合并成一個初等函數(shù)；也能把一個初等函數(shù)拆分成幾個基本初等函數(shù)。重 點把兩個以上的基本初等函數(shù)合并成一個初等函數(shù)和把一個初等函數(shù)拆分成幾個基本初等函數(shù)。難 點把兩個以上的基本初等函數(shù)合并成一個初等函數(shù)和把一個初等函數(shù)拆分成幾個基本初等函數(shù)。教學(xué)過程：一、組織教學(xué) 點名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入填空：1、糾正作業(yè)。 2、畫出五種基本初等函數(shù)的草圖。三、講授新課定義1.3 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或有限次復(fù)合所構(gòu)成的，并能用一個式子表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù).【例14】 下列函數(shù)是由哪幾個簡單函數(shù)復(fù)合而成的.（1） （2） （3）解 （1）令，則.于是 是由，復(fù)合而成

16、的.（2） 令，則.所以 是由，復(fù)合而成的.（3） 令，則.所以 是由 ，復(fù)合而成的.本課程研究的函數(shù)，主要是初等函數(shù).凡不是初等函數(shù)的函數(shù)，皆稱為非初等函數(shù).【例15】將下列幾個基本初等函數(shù)復(fù)合成一個初等函數(shù)。（1） .（2） （3），四、練習(xí)將下列幾個基本初等函數(shù)復(fù)合成一個初等函數(shù)。（1） .（2） （3）， 五、歸納小結(jié)初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算及有限次的復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。注意：要掌握好將一個初等函數(shù)分解成較簡單函數(shù)，其步驟是自外層向內(nèi)層逐層分解，切忌漏層。課后作業(yè)：2、判定下列函數(shù)的奇偶性？(1) (2) (3) 3、作下列函數(shù)的圖像？(1) (2) (3) 反 思

17、錄：備 課 教 案第 三 周 星期五 課 題常用的經(jīng)濟函數(shù)所需課時2教學(xué)目的1、理解幾個常用的經(jīng)濟函數(shù) 2、會用函數(shù)的知識解決經(jīng)濟問題重 點理解經(jīng)濟函數(shù)的含義及應(yīng)用難 點運用經(jīng)濟函數(shù)解決經(jīng)濟問題教學(xué)過程：一、組織教學(xué) 點名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入函數(shù)是由 ， 這兩個函數(shù)復(fù)合而成的。三、講授新課經(jīng)濟函數(shù)主要包括：1、需求函數(shù)q(p) (p為價格)2、成本函數(shù)C(q)3、收入函數(shù)R(q)4、利潤函數(shù)L(q)§1 需求函數(shù)與價格函數(shù) §1.1 線性需求函數(shù)§1.2 二次曲線需求函數(shù)§1.3 指數(shù)需求函數(shù)注：一般地，需求量隨價格上漲而減少。因此，通常需求函數(shù)是

18、價格的單調(diào)減少函數(shù)。價格函數(shù)反映商品需求和價格的關(guān)系。§2 供給函數(shù)一般地，商品供給量隨商品價格的上漲而增加。因此，商品供給函數(shù)是商品價格的單調(diào)增加函數(shù)。§3 總成本函數(shù)（單調(diào)增加函數(shù)）注：生產(chǎn)成本包括固定成本和可變成本。§4 收入函數(shù)利潤函數(shù)總收入和平均收入，其中是商品的價格函數(shù)，它們均是出售商品數(shù)量的函數(shù)。總利潤和平均利潤，均是產(chǎn)量的函數(shù)注：利潤函數(shù)出現(xiàn)的三種情況：（1） 有盈余生產(chǎn)（2） 虧損生產(chǎn)（3） 無盈虧生產(chǎn)，此時的產(chǎn)量稱為無盈虧點（保本點）。經(jīng)濟函數(shù)的應(yīng)用例1 生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為1萬元，每生產(chǎn)一個該產(chǎn)品所需費用為20元，若該產(chǎn)品出售的單價為30

19、元，試求：(1) 生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本和平均成本；(2) 售出x件該種產(chǎn)品的總收入；(3) 若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能夠售出，則生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤是多少？解：（1）生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本為：平均成本為 （2）售出x件該種產(chǎn)品的總收入為 （3）生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤為 四、練習(xí)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為3萬元，每生產(chǎn)一個該產(chǎn)品所需費用為10元，若該產(chǎn)品出售的單價為50元，試求：1、生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本和平均成本；2、售出x件該種產(chǎn)品的總收入；3、若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能夠售出，則生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤是多少？五、歸納小結(jié)本次課的重要性在于引導(dǎo)學(xué)生，在經(jīng)濟分析中使用數(shù)學(xué)方法往往能夠簡化實際問題，能夠更方

20、便快捷的解決實際問題。課后作業(yè)：1、生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為5萬元，每生產(chǎn)一個該產(chǎn)品所需費用為10元，若該產(chǎn)品出售的單價為30元，試求：(4) 生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本和平均成本；(5) 售出x件該種產(chǎn)品的總收入；若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能夠售出，則生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤是多少？2、預(yù)習(xí)第二章“極限”反 思 錄：備 課 教 案第 四 周 星期三 課 題極限的概念所需課時2教學(xué)目的1.理解極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念。2.熟練掌握和時f(x)的極限存在的充要條件3.理解無窮大、無窮小的概念，4.掌握無窮大的判定方法和無窮小的概念及性質(zhì)，會用無窮小量的性質(zhì)求極限重 點函數(shù)極限與數(shù)列極限的概念；無窮大

21、量與無窮小量的概念及性質(zhì).難 點1.函數(shù)極限的定義2.無窮大量與無窮小量的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用教學(xué)過程：一、組織教學(xué) 點名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入一、導(dǎo)入新課1.寫出下列函數(shù)的復(fù)合過程（1） （2） 思考：若，當(dāng)無限的靠近1時，值怎樣變化？二、講授新課（一）函數(shù)的極限（1）定義 函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量x無限接近于某個目標(biāo)時（一個數(shù)x，或+或），因變量y無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱函數(shù)f(x)以A為極限。規(guī)定： x從x的左右兩側(cè)無限接近于x,記x x x從x的左兩側(cè)無限接近于x,記x x x從x的右兩側(cè)無限接近于x,記x x x無限增大時，用記號x + x無限減小時，用記號x 無限增大時

22、，用記號x （2）點x的鄰域N(x，)=(x，x+)，其中很小的正數(shù)，X的去心鄰域N(，)=.1、 x x時函數(shù)的極限舉例說明：x 1時，函數(shù)無限接近于多少？觀察：當(dāng)：x 1時，f(x)=x+1，無限接近2當(dāng)：x 1時，g(x)=，無限接近2f(x)在x=1有定義，g(x)在x=1處無定義定義1 如果當(dāng)x x時,函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù), 則稱為函數(shù)當(dāng) x x時的極限,記作f(x)=A或 (當(dāng) x x時).此時也稱存在。如果當(dāng)x x時, 函數(shù)不趨近于任何一個確定的常數(shù),則稱不存在。如 ： ，又如= 2注意 ： f(x)=在 處無定義, 但當(dāng) 時,函數(shù)f(x)=無限趨近于一個確定的常數(shù)2,所

23、以=2。 結(jié)論：函數(shù)當(dāng) x x時的極限是否存在，與在點處是否有定義無關(guān). 如上舉例f(x)=在 處無定義, 但 = 2.定義2 右極限 當(dāng)x x，有定義3 左極限 當(dāng)x x，有函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為函數(shù)的單側(cè)極限。定理1 極限存在的充分必要條件 函數(shù) 當(dāng)時的極限存在的充分必要條件是，當(dāng)時的左右極限都存在并且相等.即 注：求分段函數(shù)的極限的方法就是計算它在指定點的左極限和右極限是否存在并且是否相等。例如：判斷下列函數(shù)在指定點的是否存在極限 （當(dāng)時） （當(dāng)時）解： ， 函數(shù)在指定點的極限不存在。 ， 函數(shù)在指定點的極限=0定理2 f(x)=Af(x)=f(x)=A（二）數(shù)列的極限定義4 對于數(shù)

24、列，如果當(dāng)n無限增大時，通項無限接近于某個確定的常數(shù)A，則稱A為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于A，記為=A或A（n）定理3 單調(diào)數(shù)列極限存在定理單調(diào)增加(上升)數(shù)列：單調(diào)減少(下降)數(shù)列：單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。單調(diào)有界原理：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。（三）極限的性質(zhì)1、唯一性 若，則 2、有界性 若，則存在的某一去心鄰域 N(，)，在N(，)內(nèi)函數(shù)有界. 3、保號性 若且，則存在某個去心鄰域 N(，)，在N(，)內(nèi) 4、夾逼準(zhǔn)則 這個定理稱為夾逼定理，它同樣適用于的情況在這個公式里x趨近于哪個數(shù)是非常重要的，x趨近于不同的數(shù),極限是不同的。（四）關(guān)于極限的幾點說明1 一個變量前加上

25、記號“l(fā)im”后，是個確定值。例：正n邊形面積，= 圓面積2 關(guān)于“x”的理解：只要求在的充分小鄰域有定義。與在點和遠(yuǎn)離點有無意義無關(guān)。例：在求分段函數(shù)的極限時尤為重要。3 常數(shù)函數(shù)的極限等于其本身。即：C=C（五）無窮小量與無窮大量1、無窮小量概念定義5 極限為0的量稱為無窮小量，簡稱無窮?。蛔ⅲ?、無窮小量不是很小的數(shù),它也是極限的概念。2、數(shù)零是唯一可作為無窮小的常數(shù)。3、無窮小指量的變化狀態(tài)，而不是量的大小。2、 一個量無論多么小，都不能是無窮小，零唯一例外。當(dāng)xa（或）時，如果函數(shù)f(x)的極限為0，則稱當(dāng)xa（或）時，f(x)是無窮小量。若數(shù)列的極限為0，則是無窮小量。例如：，所以

26、，當(dāng)x0時，sin x 是無窮小量。同樣，當(dāng)x0時 (>0)，1-cosx，arcsinx 等都是無窮小量。當(dāng)x+時， ，所以是無窮小量.定理4 極限與無窮小之間的關(guān)系：無窮小量的性質(zhì)定理5 有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量。例如，當(dāng)x0時，x+sinx也是無窮小量定理6 無窮小量與有界量之積是無窮小量。例如，當(dāng)x0時，xsinx也是無窮小量。推論1：任一常數(shù)與無窮小量之積是無窮小量。例如，當(dāng)x0時，3sinx也是無窮小量。推論2：有限個無窮小量之積是無窮小量。（注：兩個無窮小之商未必是無窮小）2、無窮大量當(dāng)x（或±）時，如果函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，則稱當(dāng)x（或±

27、;）時，f(x)是無窮大量。記作 f(x)=,或f(x)。定義6 若（或）,則稱為當(dāng)（或 ）時的無窮大量,簡稱無窮大。如=，表示當(dāng) 時, 為無窮大. 關(guān)于無窮大量幾點說明: 1.無窮大量不是一個很大的數(shù),它是極限的概念; 2.無窮大量的實質(zhì)是極限不存在,為了表示記作 或 . 3.若數(shù)列當(dāng)n+時，它項的絕對值無限增大，則是無窮大量。4.如果當(dāng)x（或±）時，函數(shù)f(x)是無窮大量，那么就是當(dāng)x（或±）時的無窮小量，反過來，如果當(dāng)x（或±）時，函數(shù)f(x)是非零無窮小量，那么就是當(dāng)x（或±）時的無窮大量。 即無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。無窮小量(非零)的倒數(shù)是無

28、窮大量。(3)無窮大必?zé)o界，但反之不真。 因此，證明一個變量是無窮小量的方法就是證明它的極限為0， 證明一個變量是無窮大量的方法就是證明它倒數(shù)是無窮小量。四、練習(xí)判斷下列函數(shù)在指定點的是否存在極限 （當(dāng)時） （當(dāng)時）五、歸納小結(jié)理解極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系；熟練掌握和時f(x)的極限存在的充要條件，理解無窮大、無窮小的概念，掌握無窮大的判定方法和無窮小的概念及性質(zhì)，會用無窮小量的性質(zhì)求極限.課后作業(yè)：反 思 錄：備 課 教 案第 四 周 星期五 課 題極限的運算（一）所需課時2教學(xué)目的掌握函數(shù)極限的運算法則及其推論，能運用運算法則求極限重 點函數(shù)

29、極限的運算法則及其推論難 點函數(shù)極限的運算法則的靈活運用教學(xué)過程：一、組織教學(xué) 點名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入一、導(dǎo)入新課 1、函數(shù)極限是怎樣定義的？函數(shù)極限存在的充要條件是什么？ 2、無窮小的性質(zhì)有哪些？二、講授新課（一）極限的運算法則設(shè)在同一變化過程中（此處省略了自變量的變化趨勢，下同）及都存在，則有下列運算法則：法則1、f(x)g(x)= f(x) g(x)法則2、f(x) g(x)= f(x) g(x)法則3、=（g(x)0）提示：法則的證明不作要求.(1)直接代入求值例1 求(3x-4x+1)解：(3x-4x+1)=32-42+1=5例2 求解：= -例3 求解：=小結(jié)：時，可直接代

30、入（若代入后令分母為零?？上燃s分后再代入）舉例：1、6x 2、（6x+5） 3、 4、5、 6、（2）型例4 求解：=小結(jié)：時，型的極限，可用分子分母中x的最高次冪除之課堂練習(xí)1、計算（3）-型，型，例5 求下列函數(shù)極限 1、（-） 2、 3、解：1、（-）=12、=3、=0小結(jié)：1題可看成直接代值的特殊情況2題是“型”經(jīng)?？赏ㄟ^分母、分子有理化解決3題是無窮小與有界量的積為無窮小四、練習(xí)求下列極限 1、 2、 3、五、歸納小結(jié)掌握函數(shù)極限的運算法則及其推論，能運用運算法則求極限。特別情形：時，型的極限，可用分子分母中x的最高次冪除之；型經(jīng)?？赏ㄟ^分母、分子有理化解決；無窮小與有界量的積為無窮

31、小.課后作業(yè)：求下列極限(1) (2) (3) 反 思 錄：備 課 教 案第 五 周 星期三 課 題極限的運算（二）所需課時2教學(xué)目的1.掌握兩個重要極限，會運用兩個重要極限求極限2.理解高階、低階、同階及等價無窮小量的定義3.掌握判定等價無窮小量的充要條件及常用等價無窮小量4.會運用等價無窮小量求函數(shù)的極限重 點1.兩個重要極限及其應(yīng)用2.高階、低階、同階和等價無窮小的定義與判定及其應(yīng)用難 點1.兩個重要極限的應(yīng)用2.等價無窮小量的判定及其在極限運算中的應(yīng)用教學(xué)過程：一、組織教學(xué) 點名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入 考察極限觀察：當(dāng)x®0時函數(shù)的變化趨勢x(弧度)0.500.100.0

32、50.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.當(dāng)x取正值趨近于0時，®1，即=1； 當(dāng)x取負(fù)值趨近于0時，-x®0, -x>0, sin(-x)>0于是 三、講授新課（二）兩個重要極限1 =1 特點：它是“”型 （三角形代表同一變量） 思考：嗎？例1 求解： =2注：1=0例2 求解： =1例3 求解： =（復(fù)習(xí)二倍角）=2=1-2= =例4 求解：原式=注：1、乘積的極限寫成極限的乘積時，必須每個乘積的極限存在。2、非弦函數(shù)化有弦函數(shù)課堂練習(xí)（一）求下列極限1、 2、 3、 4、 5、 6、 考察極限（1

33、+）觀察：當(dāng)x®+¥時函數(shù)的變化趨勢x1210100010000100000100000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.當(dāng)x取正值并無限增大時，是逐漸增大的，但是不論x如何大，的值總不會超過3實際上如果繼續(xù)增大x即當(dāng)x®+¥時，可以驗證是趨近于一個確定的無理數(shù)e2.718281828. 當(dāng)x®-¥時，函數(shù)有類似的變化趨勢，只是它是逐漸減小而趨向于e2 （1+） = e 特點：（） (1+無窮小) ，即1型；（）“無窮小”與“無窮大”的解析式互為倒數(shù)， 推廣： 例5 （1+）解：原式=例6 （1+

34、） 解：原式=（1+）（1+）=（1+）（1+）=例7 （1+） 解：原式=（1+）=例8 （1）解：原式=1+（）= 1+=例9 （）解：原式=（）=(1)=(1+) =(1+)(1+)= e 課堂練習(xí)（二） 習(xí)作題1（4）（8）（三）無窮小的比較例：當(dāng)x0時，=3x，=x， =但=0 = =為了比較無窮小趨于零的快慢，引入無窮小階定義：設(shè)某一極限過程中，與都是無窮小，且 = C（1）若C=0，則稱是比高階的無窮小，記成=0（） 也稱是比低階的無窮小。（2）若C0，則稱與是同階無窮小。特別：若C=1，則稱與是等價無窮小，記為等價無窮小在求兩個無窮小之比的極限時有重要作用。常用的幾個等價無窮小

35、代換：當(dāng)時，有 x tanxx arcsinxx arctanxx cosx ln(1+x) x x 例10 求解：=例11 求解：=例12 求解：=例13 解：=注：1用等價代換時，必須對分子或分母的整體替換（或?qū)Ψ肿?、分母的因式進行替換）2分子或分母中若有“+”“-”號連接的各部分不能分別作替換。四、練習(xí)求下列式子的極限：（1+） （1+）五、歸納小結(jié)掌握兩個重要極限，會運用兩個重要極限求極限，理解高階、低階、同階及等價無窮小量的定義，掌握判定等價無窮小量的充要條件及常用等價無窮小量，會運用等價無窮小量求函數(shù)的極限。特別地，用等價代換時，必須對分子或分母的整體替換（或?qū)Ψ肿?、分母的因式進行

36、替換），分子或分母中若有“+”“-”號連接的各部分不能分別作替換。課后作業(yè)：求下列極限(1) (2) (3) (4) 反 思 錄：備 課 教 案第 五 周 星期五 課 題函數(shù)的連續(xù)性所需課時2教學(xué)目的1.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。2.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，3.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。 重 點1.函數(shù)連續(xù)性的有關(guān)概念及其應(yīng)用2.間斷點及其分類難 點1點連續(xù)性及復(fù)合函數(shù)連續(xù)性的概念及其應(yīng)用2函數(shù)的連續(xù)性的判定教學(xué)過程：一、組織教學(xué) 點名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入微積分學(xué)中研究種種不

37、同性質(zhì)的函數(shù)，其中有一類重要的函數(shù)，就是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)反映了自然界中普遍存在的連續(xù)變化現(xiàn)象，如氣溫的變化，河水的流動等等。三、講授新課（一）函數(shù)連續(xù)性的定義 1、點連續(xù) 定義1 設(shè)y=f(x)在點的某鄰域上有定義，如果自變量的增量趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即則稱f(x)在點是連續(xù)的。易知：0 即，于是有定義2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)f(x)在點處連續(xù)，f(x)在點連續(xù)，必須滿足三個條件：（1） f(x)在點的一個鄰域內(nèi)有定義（2） 存在（3） 上述極限值等于函數(shù)值只有一個條件不滿足，則點就是函數(shù)f(x)的間斷點。2、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念在區(qū)間上每一點

38、都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。若連續(xù)區(qū)間包括端點，那么函數(shù)在右端點連續(xù)是左連續(xù)，在左端點連續(xù)是右連續(xù)。定義3（間斷點的分類）：設(shè)是的一個間斷點，如果：（1）的左右極限都存在，稱為第一類間斷點，當(dāng)，則稱為的跳躍間斷點（2）的左右極限都存在，稱為第一類間斷點，當(dāng)存在，但不等于，則稱為的可去間斷點（3）除（1）（2）以外的，稱為的第二類間斷點，當(dāng)=，稱為的無窮間斷點。例1 設(shè)，討論f(x)在x=1處的連續(xù)性解：f(1)=1 f(x)= =1 f(x)= (x+1)=2即f(x)不存在x=1是第一類間斷點，且為跳躍間斷點。例2 設(shè)，討論f(

39、x)在x=0處的連續(xù)性。解：f(0)=1 x=0是第一類間斷點，且為可去間斷點。例3 在x=1是什么間斷點。解：函數(shù)在x=1處沒有定義，且= 則x=1為f(x)的無窮間斷點。注：連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連綿不斷的曲線。（二）初等函數(shù)的連續(xù)性1、初等函數(shù)的連續(xù)性1）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，一切初等函數(shù)在定義域區(qū)間上是連續(xù)的。2）分段函數(shù)，討論分段點2、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限若f(x)在點連續(xù)，則即求連續(xù)函數(shù)的極限，可歸結(jié)為計算函數(shù)值.例4 求極限解：在處連續(xù) =ln(sin)=ln1=0注：基本初等函數(shù)均連續(xù)3、復(fù)合函數(shù)求極限的方法定理1 設(shè)有復(fù)合函數(shù)，若=a，而函數(shù)f(u)在u=點連續(xù)，

40、則=例5 求極限解：=，復(fù)合函數(shù)是由lnu和u=組成，又=e，在u=e點lnu連續(xù)。=-2 ， x=1為可去間斷點。=（不存在） x=2為無窮間斷點。（2），x=0不存在，為第二類間斷點（3），x=1=2 為第一類間斷點，為跳躍間斷點。2、復(fù)合函數(shù)求極限（利用函數(shù)的連續(xù)性求極限）1） 2） 3）3、根存在1）證明方程至少有一個根介于1和2之間。設(shè)f(x)= ，在（）連續(xù)又f(1)=1-3-1=-3<0 f(2)=2根據(jù)介值定理，至少存在一點，使得）=0顯然即為方程的根。四、練習(xí)1設(shè)，討論f(x)在x=1處的連續(xù)性設(shè)，討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。五、歸納小結(jié)理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連

41、續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型，了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。課后作業(yè)：求下列極限 (1) (2) (3) （4） （5） （6）反 思 錄：備 課 教 案第 六 周 星期三 課 題導(dǎo)數(shù)的概念（一）所需課時2教學(xué)目的1.理解導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與基本物理意義。2.理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。3.了解函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：存在重 點導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義難 點導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)過程：一、組織教學(xué) 點名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入（一）兩個實例1 變速直線運動的瞬時速度一個質(zhì)點在一條直

42、線上運動,所經(jīng)過的路程是時間的函數(shù).如果質(zhì)點是作勻速直線運動,質(zhì)點的運動速度等于路程與時間之比,即 如果質(zhì)點是作變速直線運動,它的速度隨時間變化而變化.現(xiàn)討論質(zhì)點在某一時刻時的速度,即瞬時速度質(zhì)點從時刻到這段時間間隔內(nèi),質(zhì)點從位置移動到,質(zhì)點經(jīng)過的路程為: 質(zhì)點的平均速度為： .當(dāng)較小時,平均速度可近似地表示質(zhì)點在時刻的速度.且越小,這種近似程度也越好.令,如果存在,則稱平均速度的極限為質(zhì)點在時刻的瞬時速度,即.2. 切線問題切線的一般定義：設(shè)有曲線:及上的一點（圖3）,在點外另取上一點,作割線,當(dāng)點沿曲線逐漸趨于點時,割線繞點旋轉(zhuǎn),而逐漸趨于極限位置,直線就稱為曲線在點處的切線這里極限位置的

43、含義：只要弦長趨于零,也趨于零圖3-1圖3-2 設(shè)是曲線上的一點（圖3）,則在點外另取上一點,割線的斜率為: 其中為割線的傾角，當(dāng)點沿曲線趨于點時，如果存在,則此極限就是切線的斜率,其中是切線的傾角上面兩個實際問題,雖然其實際意義不同,但解決問題的方法相同.都?xì)w結(jié)為求函數(shù)增量與自變量增量之比的極限: 或 ,其中 ,稱為自變量增量,稱為相應(yīng)于自變量增量的函數(shù)增量.在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域中,還有許多實際問題,如線密度、電流、反應(yīng)速度等,都可歸結(jié)為函數(shù)對于自變量的變化率即函數(shù)的導(dǎo)數(shù).三、講授新課1、導(dǎo)數(shù)的概念（1）函數(shù) 在點處的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)在點處的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量X在點處

44、有增量,仍在該鄰域內(nèi)時，相應(yīng)地，函數(shù)有增量，若 極限 存在，則稱在點處可導(dǎo)，并稱此極限值為在處的導(dǎo)數(shù)，記為，也可記為，即 若極限不存在，則稱在點處不可導(dǎo)。（2）函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù) 如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I上的每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I上可導(dǎo)，這時，都對應(yīng)f(x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就成了一個新的函數(shù)成為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，記作 , 或.顯然，y=f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)，就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，即=2、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)（1）函數(shù)在點處的左導(dǎo)數(shù)（2）函數(shù)在點處的右導(dǎo)數(shù)定理 y=在點可導(dǎo)例1 求函數(shù)在任意點x處的導(dǎo)數(shù)，并求解：在x處給自變量一個增量，相應(yīng)函數(shù)

45、增量為,于是 ，；即；則 一般地，（為任意實數(shù)）注：求得先求，再將x用代替。3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點（，）處切線的斜率。（1）若存在，則曲線在點（，）切線方程為 當(dāng)時，則過（）的法線方程為： 當(dāng) 時，法線方程 （2）若，則切線垂直于 軸，切線方程： 例2 求拋物線在點（1，1）處的切線方程和法線方程。 解： 切線斜率 切線方程：即 法線方程：即4、可導(dǎo)與連續(xù)關(guān)系：可導(dǎo)連續(xù)設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，有 又 即 故 所以。即 在可導(dǎo)，那么在處必連續(xù)，但反過來不一定成立，即在處連續(xù)的函數(shù)未必在可導(dǎo)。例3 ，雖然在=0處連續(xù)，但在該點不可導(dǎo)。 例4 討論 在點=0的連續(xù)性與可導(dǎo)性。

46、 解： 即 又 當(dāng)四、練習(xí)討論 在點=0的連續(xù)性與可導(dǎo)性。五、歸納小結(jié)理解導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與基本物理意義，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，即連續(xù)是可導(dǎo)的必要面非充分條件，了解函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：存在課后作業(yè)：1、設(shè) A 。A、左右導(dǎo)數(shù)都存在 B、左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在C、右導(dǎo)數(shù)存在，左導(dǎo)數(shù)不存在 D、都不存在2、若（為常數(shù)），試判斷下列命題是否正確。全部（1）在點 處可導(dǎo)； （2）在點 處連續(xù)；（3）= ；反 思 錄：備 課 教 案第 六 周 星期五 課 題導(dǎo)數(shù)的概念（二）所需課時2教學(xué)目的1.掌握用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的三步曲，會求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.理解導(dǎo)數(shù)的變化率的概念，會用導(dǎo)數(shù)（變化率）描述一些簡單的實際問題3.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的觀念重 點用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)難 點用導(dǎo)數(shù)（變化率）描述一些簡單的實際問題教學(xué)過程：一、組織教學(xué) 點名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入1.如何定義函數(shù)在某點可導(dǎo)？2.函數(shù)可導(dǎo)的幾何意義是什么？三、講授新課1、變化率模型科學(xué)技術(shù)中常把導(dǎo)數(shù)稱為變化率。因此，對于一個未賦予具體含義的一般函來說，通常把 稱 在上平均變化率。 平均變化率當(dāng)時的極限 或 稱在處的變化率。它反映了函數(shù)隨著自變量的