蒙日圓定理(解析幾何證法)_第1頁
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文檔簡介

1、精品蒙日圓定理（純解析幾何證法）蒙日圓定理的內(nèi)容：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，該圓的半徑等于橢圓長半軸和短半軸平方和的算術(shù)平方根。如圖，設(shè)橢圓的方程是x2y21 。兩切線 PM 和 PN 互相垂直，交于點(diǎn) P。a2b2求證：點(diǎn) P 在圓 x2y2a2b2 上。證明：若兩條切線中有一條平行于x 軸時，則另一條必定平行于y 軸，顯然前者通過短軸端點(diǎn)，而后者通過長軸端點(diǎn)，其交點(diǎn)P 的坐標(biāo)只能是：Pa b(1)special,它必定在圓x2y2a 2b2 上?，F(xiàn)考察一般情況，兩條切線均不和坐標(biāo)軸平行?？稍O(shè)兩條切線方程如下：PM : ykxm(2)PN :

2、 y1n(3)xk感謝下載載精品聯(lián)立兩切線方程(2) 和 (3) 可求出交點(diǎn)P 的坐標(biāo)為：Pnm k , nk 2mk21k 21從而 P 點(diǎn)距離橢圓中心 O 的距離的平方為：nm k2nk22OP2mk 21k 21n2k 2m2k 21現(xiàn)將 PM 的方程代入橢圓方程，消去y，化簡整理得：1k 2x22km xm21 0a2b2b2b2由于 PM 是橢圓的切線，故以上關(guān)于x 的一元二次方程，其判別式應(yīng)等于m2b211 m2b2a2k 2對于切線 PN ，代入橢圓方程后，消去y，令判別式等于0，同理可得：2n2b2 k 21 n2b2a為方便起見，令：(4)(5)(6)0 ，化簡后可得：(7)(8)a2A, b2B, m2M ,n2N , k 2K(9)這樣 (7) 和 (8) 就分別化為了關(guān)于M 和 N 的一元一次方程，不難解出：MB AK(10)ANB(11)K將(10) 和 (11) 代入 (5) ，就得到：OG2NKMA B a2b2(1

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