均值不等式?？碱}型

1、均值不等式及其應(yīng)用.均值不等式2221 .（1）若a,bR,則a2b22ab（2）若a,bR,則aba-（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“二”）22 .（1）若a,bR*,則土上abb（2）若a,bR*,則ab2Jab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=”）22（3）若a,bR*,則abab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=”）21時取“=”）113 .若x0,則x2（當(dāng)且僅當(dāng)x1時取=）;若x0,則x2（當(dāng)且僅當(dāng)xxx若x0,則x12即x12或x1-2（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“="）xxx2（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取"二”）-2 （當(dāng)且僅當(dāng)a b時取“=”）若ab0,則ab2即ab2或abbababa.2.24 .若a,bR

2、,則（_a_b）2a_b_（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取"=”）22注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三相等”（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用一：求最值例1:求下列函數(shù)的值域11（1） y=3x2+雙（2）y=x+x解：（1）y=3x2+z17>2A/3x2白=乖，值域為V6,+8）nx1nx（2）當(dāng)x>0時，y=x+11>2a/x-1=2;當(dāng)x<0時，y=x+=_（_x_

3、）w_2A/x,一=_2xx；x，值域為（一8,2U2,+8）解題技巧：技巧一：湊項一一，5例1：已知x,求函數(shù)y4X2的取大值。44x5解：因4x 50,所以首先要“調(diào)整”符號，又（4x2）g-不是常數(shù),所以對4x 2要進行拆、湊項,1 y 4x 2 4x 54x 六 32 3 1一，1一，.當(dāng)且僅當(dāng)54x一，即x1時，上式等號成立，故當(dāng)x1時，ymax1。54x評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)Uxc4時，求yx(82x)的最大值。解析：由口二工(4知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意

4、到2x(82x)8為定值，故只需將yx(82x)湊上一個系數(shù)即可。y三以”2埴三，2廣(8-2切弓(生手馬，當(dāng)2K=8-2其，即x=2時取等號當(dāng)x=2時，yx(82x)的最大值為8。評注：本題無法直接運用均值不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用均值不等式求最大值。 3變式：設(shè)0 x ,求函數(shù)y 4x(3 2x)的最大值。 2i 一3 八一 一解：0 x - - . 3 2x 0.-. y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x)3 3當(dāng)且僅當(dāng)2x 3 2x,即x 0,時等號成立。4 22 2x 3 2x2技巧三：分離2x例3.求y 7x 10 ,r(x1)的值域。解析一：本題看似無法

5、運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有(x+1)的項，再將其分離。/+7x + 10 _ Q+1產(chǎn)十5任十1)十4當(dāng)天,即工+口時，y 2 J (x 1) 5 9 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”號)。 , x 1技巧四：換元解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令 t=x + 1,化簡原式在分離求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 t2 5t 4 , 4 Ly = t - 5ttt當(dāng)工,即 t=|x + ln 0 時，y 2t 4 5 9 (當(dāng) t=2 即 x=1 時取“=”號)。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最A(yù)值。即化為y

6、 mg(x) B( A 0, B 0) , g(x)恒正或恒負的形式,g(x)然后運用均值不等式來求最值。a技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x) x 9的單調(diào)性。x一一皿x25 -華例：求函數(shù)y x 5的值域。yx2 4解：令收 4 t(t 2),則 v 二 5&2 4 J t 1(t 2)yx4.x2 4 tE11 . .一因t 0,t - 1,但t -解得t1不在區(qū)間2,，故等號不成立，考慮單調(diào)性。tt15因為y t -在區(qū)間1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故 y - ot25所以，所求函數(shù)的值域為52練習(xí).求下列函數(shù)的最小

7、值，并求取得最小值時，x的值.x23x111(1)y,(x0)y2x,x3(3)y2sinx,x(0,)xx3sinx2.已知0x1,求函數(shù)yg)的最大值.；3.0x求函數(shù)y辰函的最大值.條件求最值1 .若實數(shù)滿足ab2,則3a3b的最小值是分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值,解：3a和3b都是正數(shù)，3a3b-2j3a3b2c尹6當(dāng)3a3b時等號成立，由ab2及3a3b得ab1即當(dāng)ab1時，3a3b的最小值是6.變式：若 log 4 x log 4 y1一的取小值.并求x,y的值y致性，否則就會出錯。技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，

8、要注意取等號的條件的一_一192：已知x0,y0,且一一1,求xy的取小值。xy錯解：Q x 0, y 0 ,且1 - 1 , x y2 2,/xy 12 故 ,xy錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x y 2/xy等號成立條件是xx 丫 min 12。1 9條件是一-即y9x，取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，歹咄xy等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法?！癋19正解：Qx 0,y 0,- - 1 , x y19y9x一xyxy1061016xyxy，y 9x19,當(dāng)且僅當(dāng) 上 時，上式等號成立，又 一 一1,可得x 4,y xyx

9、y變式：(1)若x, y R且2x y 1,求12的最小值x y(2)已知a,b,x,y R且亙b 1,求x y的最小值x y12時,x 丫 min16 。技巧七、已知x,y為正實數(shù)，且x2+y2-=1,求x1+y2的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式a 2+b 2 abw2同時還應(yīng)化簡小寸中y2前面的系數(shù)為1 + y 22 2-卜面將X,1+y2-分別看成兩個因式:x 尸22 y21x 2+22即 x/1 + y 2 =爽技巧八：已知a, b為正實數(shù)，2b+ab+a=30,求函數(shù)分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑， 性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是

10、可行的； 件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值, 的途徑進行。1，一，y=TT的最小值.ab一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題二是直接用基本 不等式，對本題來說， 考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式,再用單調(diào)因已知條件302b法一：a=,b+1302b ab= b+ 1-2 b2+30b b=b+ 1由a>0得，0vbv15法二:點評:令 t= b+1,ab< 18由已知得：令 u= ab1vtv16, ab =2t 2+ 34t311.戶W30-ab=a + 2b/本題考查不等式16162（t+7）+ 34 /t + -p >當(dāng)且僅當(dāng)t=4,即b=3, a

11、= 6時，等號成立。a +2b>2/2"abu2+2小 u-30<0, -5啦 < u<372.'1ab<18, . y> 1830- ab>2/2abJab (a,b R )的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力； 如何由已知不等式aba2b30(a,bR)出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到ab與ab之間的關(guān)系，由此想到不等ab式Jab(a,bR),這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進而解得ab的范圍.2變式：1.已知a>0,b>0,ab(a+b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周長為1,求它的面積最大值。技巧九、取平方

12、5、已知x,y為正實數(shù)，3x+2y=10,求函數(shù)W=V3x+煙的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，aybw“2產(chǎn)，本題很簡單圾+V2y<V27(而)2+(煙)2=V213x+2y=275解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W>0,W2=3x+2y+2V3x=10+2每V2y<10+(V3x)2-(V2y)2=10+(3x+2y)=20WW亞=2班變式：求函數(shù)y<277M5-Jxpx5)的最大值。2 2解析：注意到2x1與52x的和為定值。y2(.2x1,52x)242.(2x1

13、)(52x)4(2x1)(52x)8又y0,所以0y2也3當(dāng)且僅當(dāng)2X1=52X,即x”等號。故-2日評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等"，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1,已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2b2c2abbcca1)正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,求證：(1a)(1b)(1c)>8abc111例6：已知a、b、cR,且abc1。求證：一1一1一18abc分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又111_ab_c2bc,可由此變形入手。aaaa1d1abc2.bc12.ac1d2ab加牛.Qa、b、cR)abc1。-1o國理-1,-1oaaaabbcc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得111111bcgacgab8。當(dāng)且僅當(dāng)abc1時取等號。abcabc3應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題1,求使不等式x y m恒成立的實數(shù) m的取值范圍。一一19例：已知x