計(jì)數(shù)方法選講

1、計(jì)數(shù)方法選講一. 直接法、1. 特殊元素法例1用1, 2, 3, 4, 5,6這6個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)（1）數(shù)字1不排在個(gè)位和千位（2）數(shù)字1不在個(gè)位，數(shù)字6不在千位。分析：（1）個(gè)位和千位有5個(gè)數(shù)字可供選擇 A5 ,其余2位有四個(gè)可供選擇 Af,由乘法原理：A52 A2 =2402. 特殊位置法（2）當(dāng)1在千位時(shí)余下三位有 A3=60,1不在千位時(shí)，千位有 A1種選法，個(gè)位有 A：種，余下的有 A，共有a4 a4 A2 =192所以總共有192+60=252二. 間接法當(dāng)直接法求解類別比較大時(shí)，應(yīng)采用間接法。如上例中（2）可用間接法a4 - 2A53

2、+ a2=252例2 有五張卡片，它的正反面分別寫0與1,2與3,4與5,6與78與9,將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？分析：此例正面求解需考慮0與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用1,類別較復(fù)雜，因而可使用間接計(jì)算：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C； X23 XA/個(gè)，其中0在百位的有 C： X22 X A個(gè)，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)C53 X23 XAs- C： X22 XA；=432 （個(gè)）三. 插空法 當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。例3 在一個(gè)含有8個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目先后順序，有多

3、少中插入方法？分析：原有的8個(gè)節(jié)目中含有 9個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個(gè)，故有A1 XAj0 =90中插入方法。四捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。例44名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？分析：先將男生捆綁在一起看成一個(gè)大元素與女生全排列有A44種排法，而男生之間又有A4種排法，又乘法原理滿足條件的排法有：A X A： =576練習(xí)1四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有種（c42a3）2.某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只

4、參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有（C29 ?A29）（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個(gè)整體來(lái)選有C；9其余的就是19所學(xué)校選28天進(jìn)行排列）五隔板法名額分配或相同物品的分配問(wèn)題，適宜采用隔板法例5某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12人組成籃球隊(duì)，這12個(gè)人由8個(gè)班的學(xué)生組成，每班至 少一人，名額分配方案共種。分析：此例的實(shí)質(zhì)是 12個(gè)名額分配給8個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，可在12個(gè)名額種的11個(gè)空當(dāng)中插入7塊隔板，一種插法對(duì)應(yīng)一種名額的分配方式，故有g(shù)7種練習(xí)1有20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1, 2,3的三個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子內(nèi)的球數(shù)不少于編號(hào)數(shù)，問(wèn)有多少種不同的方

5、法？ （G；）2.不定方程兀+%+夫+X50=100中不同的正整數(shù)解有（c9：9）六. 平均分堆問(wèn)題例66本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法?分析：分出三堆書（a 凋2）,（a 3,a ：）,心詔6）由順序不同可以有A；=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有c2c2c；=15種練習(xí)：1.6本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？2.某年級(jí)6個(gè)班的數(shù)學(xué)課，分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教，每人教兩個(gè)班，則分 派方法的種數(shù)。七. 染色問(wèn)題練習(xí)：1.某城市中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃6分為個(gè)部分，現(xiàn)要栽種4種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同 一樣顏

6、色的花，不同的栽種方法有 種.（120）312.如圖，四個(gè)區(qū)域坐定 4個(gè)單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個(gè)單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方法是 種（84）八. 遞推法例7一樓梯共10級(jí)，如果規(guī)定每次只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要走上這10級(jí)樓梯，共有多少種不同的走法？分析：設(shè)上n級(jí)樓梯的走法為an種，易知ai=1,a2=2,當(dāng)n2時(shí)，上n級(jí)樓梯的走法可 分兩類：第一類：是最后一步跨一級(jí)，有an-1種走法，第二類是最后一步跨兩級(jí)，有an-2種走法，由加法原理知：a n=an-l+ an-2 ,據(jù)此，a3=a+a2=3,a 4=a#

7、+a2=5,a 5=a4+a3=8,a 6=13,a 7 =21,a 8=34, a9=55,a io=89.故走上10級(jí)樓梯共有89種不同的方法。九幾何問(wèn)題1. 四面體的一個(gè)頂點(diǎn)位A,從其它頂點(diǎn)與各棱中點(diǎn)取 3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn) A在同一平面上，不同的取法有 _種（3 C；+3=33）2. 四面體的棱中點(diǎn)和頂點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)（1）從中任取3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，共能確定多3333少個(gè)平面？（ Go-4 C6+4-3 C4+3-6C4+6+2X 6=29）（2）以這10個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，共能確定多少格凸棱錐？三棱錐Co4-4C64-6C：-3C44=141四棱錐 6X 4X 4=96 3X 6=18 共有 1

8、14十.先選后排法例8有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選派方法有（）A.1260 種B.2025 種 C.2520 種 D.5054 種分析：先從10人中選出2人十一用轉(zhuǎn)換法解排列組合問(wèn)題例9某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西向大街 4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種.解無(wú)論怎樣走必須經(jīng)過(guò)三橫四縱，因此，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為3個(gè)相同的白球與四個(gè)相同的黑球的排列問(wèn)題.C3=35 （種）例10一個(gè)樓梯共18個(gè)臺(tái)階12步登完，可一步登一個(gè)臺(tái)階也可一步登兩個(gè)臺(tái)階，一共有多少種不同的走法.解根據(jù)題意要想12步登完只能6個(gè)一步登一

9、個(gè)臺(tái)階，6個(gè)一步登兩個(gè)臺(tái)階，因此，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為6個(gè)相同的黑球與6個(gè)相同的白球的排列問(wèn)題.C1 =924 （種）.十二.轉(zhuǎn)化命題法例11圓周上共有15個(gè)不同的點(diǎn)，過(guò)其中任意兩點(diǎn)連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少各？分析：因兩弦在圓內(nèi)若有一交點(diǎn)，則該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)以兩弦的四端點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓內(nèi) 接四邊形，則問(wèn)題化為圓周上的15個(gè)不同的點(diǎn)能構(gòu)成多少個(gè)圓內(nèi)接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有 C145=1365 （個(gè)）十三概率法例12 一天的課程表要排入語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語(yǔ)、體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué) 必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？分析：在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學(xué)之前與數(shù)學(xué)課排在體育之前的概率相111等，均為1 ,故本例所求的排法種數(shù)就是所有排法的-，即-A=360種22 2十四.除序法例13用1, 2, 3, 4, 5, 6,7這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，(1) 若偶數(shù)2, 4,6次序一定，有多少個(gè)？(2) 若偶數(shù)2, 4,6次序一定，奇數(shù)1, 3, 5,7的次序也一定的有多少個(gè)?解( 1)a7Aa7_AJAI卜五錯(cuò)位排列例14同室四人各寫一張賀卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人送出的卡片, 則不同的分配方法有種(9)公式1) an = (n- 1)(an-1 +an-2)n=4時(shí)a4=3(a3+a2)