第三章樣本均數(shù)的抽樣誤差與置信區(qū)間

1、第三章 樣本均數(shù)的抽樣誤差與置信區(qū)間 聯(lián)系：數(shù)據(jù)/變量在離散點(diǎn)或區(qū)間上分布分布特征數(shù)應(yīng)用樣本數(shù)據(jù)x 頻數(shù)分布表頻數(shù)分布圖描述指標(biāo)()參考值范圍隨機(jī)變量X ,誤差概率分布表概率分布圖總體參數(shù)() ()置信區(qū)間3.1 樣本均數(shù)的分布·從同一總體中獨(dú)立抽取多份樣本, 他們的均數(shù)常大小不一, 這說(shuō)明樣本均數(shù)存在變異。通過(guò)電腦實(shí)驗(yàn)來(lái)認(rèn)識(shí)樣本均數(shù)的變異規(guī)律一、正態(tài)總體樣本均數(shù)的分布實(shí)驗(yàn) 從正態(tài)分布總體抽樣的實(shí)驗(yàn) 假定正常男子的紅血球計(jì)數(shù)服從正態(tài)分布N(2)，隨機(jī)抽取1000份樣本, 每份含n5個(gè)個(gè)體。樣本均數(shù)依然是一個(gè)隨機(jī)變量, 且 (1) 各樣本均數(shù)未必等于總體均數(shù)(，誤差？)； (2) 樣本

2、均數(shù)之間存在差異(，變異)； (3) 樣本均數(shù)的分布很有規(guī)律,圍繞著總體均數(shù),中間多、兩邊少, 左右基本對(duì)稱(chēng)(對(duì)稱(chēng)、正態(tài)？)； (4) 樣本均數(shù)的變異范圍較原變量變異范圍大大縮小()； (5) 隨著樣本量的增大, 樣本均數(shù)變異范圍逐漸縮小()。圖 從正態(tài)分布總體抽樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果原正態(tài)總體N2)；直方圖是樣本均數(shù)的分布（Luo: 這里橫坐標(biāo)為，若改為便是誤差分布圖的形狀不變）n=5 n=10 n=30(a) (b) (c)表3_2實(shí)3_1a 表3.1 從2)中隨機(jī)抽樣, 樣本量為5, 100份獨(dú)立樣本的均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和總體均數(shù)的95%置信區(qū)間(單位：1012 /L)樣本號(hào)均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差95%置信區(qū)間樣本

3、號(hào)均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差95%置信區(qū)間1.568851.40062.347052.54873.576353.37324.594954.35245.400555.58666.818656.35047.450257.68698.822558.52329.596459.279410.449660.582311.568361.708312.340162.579313.664863.441914.627464.281815.68866516.309166.719117.422367.436118.408368.587319.587569.489220.534070.335321.285271.430922.4517

4、72.688023.433373.430124.371174.641125.474275*.392726.534976.548727.477877.393028.381878*.205229.628979.996330.646780.624331.672481*.209032.320382.341433.584183.405034.208484.535335.664685.327636.391286.379737.518387.280138.744588.247339.726089*.398240.856790.34734191.294142.678692.427343.517693.3594

5、44.365894.445645.594495.475846.502496.851647.635497.456048.583798.336849*.359599.619750.6094100.4566* 由這份樣本估計(jì)的95%置信區(qū)間實(shí)際上并未復(fù)蓋總體均數(shù)圖3_1 表3.2 從2)中隨機(jī)抽取1000份獨(dú)立樣本, 其均數(shù)的頻數(shù)分布組段下限(1012 /L)頻數(shù)頻率(%)累積頻率(%) 1 5 321172293042182 76 15 3合計(jì)1000·理論上可以證明, 從正態(tài)分布N(m, s2)的總體中隨機(jī)抽取含量為n的樣本，其樣本均數(shù)N(m, s2 /n)。·樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)

6、差習(xí)慣上又稱(chēng)為樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤(standard error)，簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)誤。值得注意的是如下的普遍規(guī)律：或 （3.1） ·實(shí)際應(yīng)用中往往總體標(biāo)準(zhǔn)差s未知, 人們只能用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替s，從而獲得的估計(jì)值，則有 (3.2) ·為方便計(jì)，可稱(chēng)為理論標(biāo)準(zhǔn)誤，為樣本標(biāo)準(zhǔn)誤。二、非正態(tài)總體樣本均數(shù)的分布實(shí)驗(yàn) 從正偏峰的分布總體抽樣的實(shí)驗(yàn)(1) 隨著樣本量的增大, 樣本均數(shù)分布的對(duì)稱(chēng)性逐漸改善, 樣本量為30時(shí), 樣本均數(shù)的分布接近正態(tài)分布； (2) 隨著樣本量的增大, 樣本均數(shù)的變異范圍逐漸變窄。1234578n=5(b)123456789n=10(c)123456789n=20(d

7、)123456789n=30(e)圖 從正偏峰的分布總體分布抽樣實(shí)驗(yàn)的結(jié)果(a)是原分布,正偏峰；其它為不同樣本含量時(shí)樣本均數(shù)的直方圖123456789(a)實(shí)驗(yàn) 從不對(duì)稱(chēng)鉤形分布的總體抽樣的實(shí)驗(yàn) 圖3.3(a)： (1) 樣本均數(shù)分布再不象個(gè)鉤子, 樣本量很小時(shí)就象正態(tài)分布了； (2) 隨著樣本量的增大, 樣本均數(shù)的變異范圍也逐漸變窄。·以上兩項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果具有普遍性。理論上可以證明, 非正態(tài)總體樣本均數(shù)的分布并不是正態(tài)分布；但當(dāng)樣本量較大時(shí)(例如，n30), 樣本均數(shù)的分布接近正態(tài)分布。圖3_1123456789n=5(b)123456789n=10(c)123456789n=20

8、(d)123456789n=30(e)圖 從不對(duì)稱(chēng)鉤形分布總體抽樣實(shí)驗(yàn)的結(jié)果(a)是原分布,呈鉤形；其它為不同樣本含量時(shí)樣本均數(shù)的直方圖123456789(a)3.2 t分布一、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差和標(biāo)準(zhǔn)t離差 ·標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差便服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 記為(3.3) ·若s未知，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替s，以代替它們不盡相同，即有變異，因而比多了一種與自由度有關(guān)的變異。于1908年用筆名Student研究了它的分布規(guī)律, 稱(chēng)之t分布, 記為, v=n-1(3.4) ·不妨稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)t離差(standard t deviate)。n（讀作nunju:）是t分布的自由度，不同的自由度對(duì)應(yīng)

9、于不同的t分布曲線。二、t分布的圖形與t分布表實(shí)驗(yàn)3.1(續(xù)) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差和標(biāo)準(zhǔn)t離差 對(duì)前述實(shí)驗(yàn)3.1所得1000份隨機(jī)樣本分別計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差和標(biāo)準(zhǔn)t離差, 并繪制相應(yīng)的直方圖, 如圖3.4(a)和(b)所示。·本書(shū)附表5給出了t分布的雙側(cè)尾部面積和對(duì)應(yīng)的t界值。對(duì)應(yīng)于同樣大小的尾部面積a，t界值比正態(tài)分布界值要大。-5-3-10135(a)-5-3-10135(b)圖 從N2)中隨機(jī)抽取1000份獨(dú)立樣本，n=5(a)樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差的直方圖；(b)樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)t離差的直方圖圖3.5 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和t分布的圖形=時(shí)的t分布即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布012345-1-2-3-4-5

10、n=3n=1n=¥ (標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)3.3 正態(tài)分布總體均數(shù)的置信區(qū)間·95%置信區(qū)間：設(shè)N(m, s2 ), m和s未知，由t分布面積規(guī)律可知：-tt0.05(3.3) ·經(jīng)移項(xiàng)化簡(jiǎn)，可改寫(xiě)為(3.4) 置信程度為95%；換言之，這樣估計(jì)100次，約有95次正確。·應(yīng)用公式為(, )，或(3.5) ·(1-a)置信區(qū)間：(, )(3.6) ·可稱(chēng)為置信區(qū)間的精度，它等于置信區(qū)間寬度的一半，意指置信區(qū)間的兩端點(diǎn)離樣本均數(shù)有多遠(yuǎn)。表3_1 實(shí)驗(yàn)(續(xù)) 置信區(qū)間與置信水平 對(duì)于前述從正態(tài)總體隨機(jī)抽取的每一份樣本均可按(3.5)式各計(jì)算總體

11、均數(shù)的一個(gè)95%置信區(qū)間。表的第4列給出了由前100份樣本作出的的95%置信區(qū)間。不難發(fā)現(xiàn), 多數(shù)區(qū)間（95個(gè)）覆蓋了總體均數(shù)4.6602, 但第49, 75, 78, 81和89號(hào)這5個(gè)樣本算出的區(qū)間卻“撲空”了，即這樣的區(qū)間估計(jì)95%正確，5%錯(cuò)誤。換言之，當(dāng)我們依據(jù)一個(gè)樣本均數(shù)，對(duì)總體均數(shù)只作一次區(qū)間估計(jì)時(shí)，其置信度為95%。例 從某類(lèi)患者中隨機(jī)抽取20例, 其血沉(mm/h)的均數(shù)為9.15, 標(biāo)準(zhǔn)差為。假定該類(lèi)患者的血沉值服從正態(tài)分布, 試估計(jì)總體均數(shù)的95%置信區(qū)間和99%置信區(qū)間。解 , s=2.13, n=20, =10.15和8.15 =10.51和7.78·置信水

12、平由95%提高到99%, 置信區(qū)間便由窄變寬, 估計(jì)的精度下降。若既要提高置信水平, 又要估計(jì)的精度好, 就必須縮小s或加大n。s反映客觀存在的個(gè)體差異, 通常無(wú)法縮小, 但加大樣本量是行之有效的辦法。3.4 兩正態(tài)總體均數(shù)之差的置信區(qū)間·設(shè)有標(biāo)準(zhǔn)差相等而均數(shù)不等的兩個(gè)正態(tài)總體N(m1, s2)和N(m2, s2),均未知。·N(m1,s2/n1), N(m2, s2/n2)，仍服從正態(tài)分布()N(m1-m2, s2(1/n1 +1/n2 )(3.7)()N(m1-m2, )(3.7) ·的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 即 N(0, 1)(3.8) N(0, 1

13、)(3.8) Luo: 如果m1=m2，N(0, 1)（假設(shè)檢驗(yàn)）·現(xiàn)s2未知，服從t分布。即的標(biāo)準(zhǔn)t離差 t分布，v=n1+n2(3.9) t分布，v=n1+n2(3.9) 其中, Sc2稱(chēng)為兩樣本的合并方差：Sc2 =(3.10) Sc2的自由度為S12和S22的自由度之和, (n1 -1)+(n2 -1)= n1+n2-2, 因而, t分布的自由度也是n1n22。·以下公式不講解了：t t(3.11)(3.12)(-)-t，(-)+t)(3.13)( )，( )+)(3.14)例 某地隨機(jī)抽取40歲正常男子20名和40歲正常女子15名, 測(cè)定紅細(xì)胞計(jì)數(shù), 男女樣本均數(shù)

14、和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為 =4.66, s1 =和=4.18, s2 =0.45, 試計(jì)算40歲正常男女紅細(xì)胞計(jì)數(shù)總體均數(shù)之差的95%置信區(qū)間。(單位: 1012 /L)解 例 假定某地健康成年男女的紅細(xì)胞計(jì)數(shù)(1012 /L)分別服從均數(shù)不等、標(biāo)準(zhǔn)差相等的二個(gè)正態(tài)分布。現(xiàn)有男女各一份隨機(jī)樣本, 樣本量n1=300, n2=250, 均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為 =4.66, s1和 =4.18, s2。試估計(jì)男女紅細(xì)胞計(jì)數(shù)的總體均數(shù)之差的95%置信區(qū)間。解 3.5 二項(xiàng)分布總體概率以及概率之差的置信區(qū)間1. 二項(xiàng)分布總體概率的置信區(qū)間 ·大樣本時(shí)，利用P近似地服從正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行估計(jì)。(3.15

15、) 其中,為樣本頻率。 利用(3.6)式, 我們有總體概率p的(1-a)置信區(qū)間為(，)（） 2. 二項(xiàng)分布總體概率之差的置信區(qū)間 ·也近似地服從正態(tài)分布, 即(3.17)其中p1和p2為樣本頻率的觀察值。據(jù)此, 總體概率之差p1-p2的(1-a)置信區(qū)間為，(3.18)例 某醫(yī)院將病情類(lèi)似的病人隨機(jī)分成兩組。第一組48人, 用A藥治療, 30人痊愈；第二組45人, 用B藥治療, 20人痊愈。試分別計(jì)算兩種藥總體治愈概率的95%置信區(qū)間以及兩種藥總體治愈概率之差的95%置信區(qū)間。解 3.6 估計(jì)置信區(qū)間所需的樣本量一、正態(tài)總體均數(shù)置信區(qū)間的樣本量 ·(3.6)式可見(jiàn) (, ) ·給定置信水平(1-a)、置信區(qū)間的精度(記為, 念delta)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的粗略估計(jì)值(仍記為s), 便可估算所需的樣本量。由解出n, 并以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的za作為ta的近似值, 便有(3.19) 例 由預(yù)調(diào)查得知正常人群中某生化指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差約為10個(gè)單位, 欲使