第三章樣本均數的抽樣誤差與置信區(qū)間

1、第三章 樣本均數的抽樣誤差與置信區(qū)間 聯(lián)系：數據/變量在離散點或區(qū)間上分布分布特征數應用樣本數據x 頻數分布表頻數分布圖描述指標()參考值范圍隨機變量X ,誤差概率分布表概率分布圖總體參數() ()置信區(qū)間3.1 樣本均數的分布·從同一總體中獨立抽取多份樣本, 他們的均數常大小不一, 這說明樣本均數存在變異。通過電腦實驗來認識樣本均數的變異規(guī)律一、正態(tài)總體樣本均數的分布實驗 從正態(tài)分布總體抽樣的實驗 假定正常男子的紅血球計數服從正態(tài)分布N(2)，隨機抽取1000份樣本, 每份含n5個個體。樣本均數依然是一個隨機變量, 且 (1) 各樣本均數未必等于總體均數(，誤差？)； (2) 樣本

2、均數之間存在差異(，變異)； (3) 樣本均數的分布很有規(guī)律,圍繞著總體均數,中間多、兩邊少, 左右基本對稱(對稱、正態(tài)？)； (4) 樣本均數的變異范圍較原變量變異范圍大大縮小()； (5) 隨著樣本量的增大, 樣本均數變異范圍逐漸縮小()。圖 從正態(tài)分布總體抽樣的實驗結果原正態(tài)總體N2)；直方圖是樣本均數的分布（Luo: 這里橫坐標為，若改為便是誤差分布圖的形狀不變）n=5 n=10 n=30(a) (b) (c)表3_2實3_1a 表3.1 從2)中隨機抽樣, 樣本量為5, 100份獨立樣本的均數、標準差和總體均數的95%置信區(qū)間(單位：1012 /L)樣本號均數標準差95%置信區(qū)間樣本

3、號均數標準差95%置信區(qū)間1.568851.40062.347052.54873.576353.37324.594954.35245.400555.58666.818656.35047.450257.68698.822558.52329.596459.279410.449660.582311.568361.708312.340162.579313.664863.441914.627464.281815.68866516.309166.719117.422367.436118.408368.587319.587569.489220.534070.335321.285271.430922.4517

4、72.688023.433373.430124.371174.641125.474275*.392726.534976.548727.477877.393028.381878*.205229.628979.996330.646780.624331.672481*.209032.320382.341433.584183.405034.208484.535335.664685.327636.391286.379737.518387.280138.744588.247339.726089*.398240.856790.34734191.294142.678692.427343.517693.3594

5、44.365894.445645.594495.475846.502496.851647.635497.456048.583798.336849*.359599.619750.6094100.4566* 由這份樣本估計的95%置信區(qū)間實際上并未復蓋總體均數圖3_1 表3.2 從2)中隨機抽取1000份獨立樣本, 其均數的頻數分布組段下限(1012 /L)頻數頻率(%)累積頻率(%) 1 5 321172293042182 76 15 3合計1000·理論上可以證明, 從正態(tài)分布N(m, s2)的總體中隨機抽取含量為n的樣本，其樣本均數N(m, s2 /n)。·樣本均數的標準

6、差習慣上又稱為樣本均數的標準誤(standard error)，簡稱標準誤。值得注意的是如下的普遍規(guī)律：或 （3.1） ·實際應用中往往總體標準差s未知, 人們只能用樣本標準差S代替s，從而獲得的估計值，則有 (3.2) ·為方便計，可稱為理論標準誤，為樣本標準誤。二、非正態(tài)總體樣本均數的分布實驗 從正偏峰的分布總體抽樣的實驗(1) 隨著樣本量的增大, 樣本均數分布的對稱性逐漸改善, 樣本量為30時, 樣本均數的分布接近正態(tài)分布； (2) 隨著樣本量的增大, 樣本均數的變異范圍逐漸變窄。1234578n=5(b)123456789n=10(c)123456789n=20(d

7、)123456789n=30(e)圖 從正偏峰的分布總體分布抽樣實驗的結果(a)是原分布,正偏峰；其它為不同樣本含量時樣本均數的直方圖123456789(a)實驗 從不對稱鉤形分布的總體抽樣的實驗 圖3.3(a)： (1) 樣本均數分布再不象個鉤子, 樣本量很小時就象正態(tài)分布了； (2) 隨著樣本量的增大, 樣本均數的變異范圍也逐漸變窄。·以上兩項實驗的結果具有普遍性。理論上可以證明, 非正態(tài)總體樣本均數的分布并不是正態(tài)分布；但當樣本量較大時(例如，n30), 樣本均數的分布接近正態(tài)分布。圖3_1123456789n=5(b)123456789n=10(c)123456789n=20

8、(d)123456789n=30(e)圖 從不對稱鉤形分布總體抽樣實驗的結果(a)是原分布,呈鉤形；其它為不同樣本含量時樣本均數的直方圖123456789(a)3.2 t分布一、標準正態(tài)離差和標準t離差 ·標準正態(tài)離差便服從標準正態(tài)分布, 記為(3.3) ·若s未知，用樣本標準差S代替s，以代替它們不盡相同，即有變異，因而比多了一種與自由度有關的變異。于1908年用筆名Student研究了它的分布規(guī)律, 稱之t分布, 記為, v=n-1(3.4) ·不妨稱為標準t離差(standard t deviate)。n（讀作nunju:）是t分布的自由度，不同的自由度對應

9、于不同的t分布曲線。二、t分布的圖形與t分布表實驗3.1(續(xù)) 標準正態(tài)離差和標準t離差 對前述實驗3.1所得1000份隨機樣本分別計算標準正態(tài)離差和標準t離差, 并繪制相應的直方圖, 如圖3.4(a)和(b)所示。·本書附表5給出了t分布的雙側尾部面積和對應的t界值。對應于同樣大小的尾部面積a，t界值比正態(tài)分布界值要大。-5-3-10135(a)-5-3-10135(b)圖 從N2)中隨機抽取1000份獨立樣本，n=5(a)樣本均數的標準正態(tài)離差的直方圖；(b)樣本均數的標準t離差的直方圖圖3.5 標準正態(tài)分布和t分布的圖形=時的t分布即標準正態(tài)分布012345-1-2-3-4-5

10、n=3n=1n=¥ (標準正態(tài)分布)3.3 正態(tài)分布總體均數的置信區(qū)間·95%置信區(qū)間：設N(m, s2 ), m和s未知，由t分布面積規(guī)律可知：-tt0.05(3.3) ·經移項化簡，可改寫為(3.4) 置信程度為95%；換言之，這樣估計100次，約有95次正確。·應用公式為(, )，或(3.5) ·(1-a)置信區(qū)間：(, )(3.6) ·可稱為置信區(qū)間的精度，它等于置信區(qū)間寬度的一半，意指置信區(qū)間的兩端點離樣本均數有多遠。表3_1 實驗(續(xù)) 置信區(qū)間與置信水平 對于前述從正態(tài)總體隨機抽取的每一份樣本均可按(3.5)式各計算總體

11、均數的一個95%置信區(qū)間。表的第4列給出了由前100份樣本作出的的95%置信區(qū)間。不難發(fā)現(xiàn), 多數區(qū)間（95個）覆蓋了總體均數4.6602, 但第49, 75, 78, 81和89號這5個樣本算出的區(qū)間卻“撲空”了，即這樣的區(qū)間估計95%正確，5%錯誤。換言之，當我們依據一個樣本均數，對總體均數只作一次區(qū)間估計時，其置信度為95%。例 從某類患者中隨機抽取20例, 其血沉(mm/h)的均數為9.15, 標準差為。假定該類患者的血沉值服從正態(tài)分布, 試估計總體均數的95%置信區(qū)間和99%置信區(qū)間。解 , s=2.13, n=20, =10.15和8.15 =10.51和7.78·置信水

12、平由95%提高到99%, 置信區(qū)間便由窄變寬, 估計的精度下降。若既要提高置信水平, 又要估計的精度好, 就必須縮小s或加大n。s反映客觀存在的個體差異, 通常無法縮小, 但加大樣本量是行之有效的辦法。3.4 兩正態(tài)總體均數之差的置信區(qū)間·設有標準差相等而均數不等的兩個正態(tài)總體N(m1, s2)和N(m2, s2),均未知。·N(m1,s2/n1), N(m2, s2/n2)，仍服從正態(tài)分布()N(m1-m2, s2(1/n1 +1/n2 )(3.7)()N(m1-m2, )(3.7) ·的標準正態(tài)離差服從標準正態(tài)分布, 即 N(0, 1)(3.8) N(0, 1

13、)(3.8) Luo: 如果m1=m2，N(0, 1)（假設檢驗）·現(xiàn)s2未知，服從t分布。即的標準t離差 t分布，v=n1+n2(3.9) t分布，v=n1+n2(3.9) 其中, Sc2稱為兩樣本的合并方差：Sc2 =(3.10) Sc2的自由度為S12和S22的自由度之和, (n1 -1)+(n2 -1)= n1+n2-2, 因而, t分布的自由度也是n1n22。·以下公式不講解了：t t(3.11)(3.12)(-)-t，(-)+t)(3.13)( )，( )+)(3.14)例 某地隨機抽取40歲正常男子20名和40歲正常女子15名, 測定紅細胞計數, 男女樣本均數

14、和樣本標準差分別為 =4.66, s1 =和=4.18, s2 =0.45, 試計算40歲正常男女紅細胞計數總體均數之差的95%置信區(qū)間。(單位: 1012 /L)解 例 假定某地健康成年男女的紅細胞計數(1012 /L)分別服從均數不等、標準差相等的二個正態(tài)分布。現(xiàn)有男女各一份隨機樣本, 樣本量n1=300, n2=250, 均數和標準差分別為 =4.66, s1和 =4.18, s2。試估計男女紅細胞計數的總體均數之差的95%置信區(qū)間。解 3.5 二項分布總體概率以及概率之差的置信區(qū)間1. 二項分布總體概率的置信區(qū)間 ·大樣本時，利用P近似地服從正態(tài)分布的性質進行估計。(3.15

15、) 其中,為樣本頻率。 利用(3.6)式, 我們有總體概率p的(1-a)置信區(qū)間為(，)（） 2. 二項分布總體概率之差的置信區(qū)間 ·也近似地服從正態(tài)分布, 即(3.17)其中p1和p2為樣本頻率的觀察值。據此, 總體概率之差p1-p2的(1-a)置信區(qū)間為，(3.18)例 某醫(yī)院將病情類似的病人隨機分成兩組。第一組48人, 用A藥治療, 30人痊愈；第二組45人, 用B藥治療, 20人痊愈。試分別計算兩種藥總體治愈概率的95%置信區(qū)間以及兩種藥總體治愈概率之差的95%置信區(qū)間。解 3.6 估計置信區(qū)間所需的樣本量一、正態(tài)總體均數置信區(qū)間的樣本量 ·(3.6)式可見 (, ) ·給定置信水平(1-a)、置信區(qū)間的精度(記為, 念delta)和樣本標準差的粗略估計值(仍記為s), 便可估算所需的樣本量。由解出n, 并以標準正態(tài)分布的za作為ta的近似值, 便有(3.19) 例 由預調查得知正常人群中某生化指標的標準差約為10個單位, 欲使