第5講大數(shù)定律與中心極限定理

1、常見分布的數(shù)學期望和方差二項分布E( X ) = npD( X ) = np(1 - p)X B(n, p)泊松分布X P(l )正態(tài)分布X N (m,s 2 )E( X ) = lD( X ) = lE( X ) = mD( X ) = s 21第六節(jié)大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律：樣本均值趨近于總體期望.中心極限定理：大量和的分布趨近于正態(tài)分布.的隨量的2（一）大數(shù)定律Xk、同分布E( Xk ) = mnå Xk k=1-m ³ e) = 0lim P(n®¥n大數(shù)定律：樣本均值趨近于總體期望.3大數(shù)定律推論X B(n, p)nX = å

2、Xii=1E( Xi ) = pXi B(1, p)nå Xi i=1=nX=fnf - p ³ e) = 0lim P(n®¥4（二）中心極限定理Xk、同分布E( Xk ) = m2D( Xk ) = snå Xk=1nmn®¥ns2N (,)k中心極限定理：大量和的分布趨近于正態(tài)分布.的隨量的5擲6某分布7板8（二）中心極限定理nnnn®¥å Xk=1N (åmåk=12s ),kkkk=19（二）中心極限定理在自然界與生產(chǎn)中，一些現(xiàn)象受到許多相互的隨機因素的影響，如果每

3、個因素所產(chǎn)生的影響都很微小時，總的以看作是服從正態(tài)分布的. 中心極限定理就是從數(shù)學上證明了這一現(xiàn)象.10例8nnnn®¥å XN (åmås )2,kkkk=1k=1k=1一位操作者在機床機械軸，后的機械軸的直徑與規(guī)定要求總有一定的誤差. 機床：振動與轉(zhuǎn)速刀具：裝配與磨損材料：鋼材的成分、產(chǎn)地操作者：注意力集中程度、當天的情緒測量：量具的誤差、測量技術(shù)環(huán)境：車間的溫度、濕度、照明、過著電壓11例9nnn®¥å Xk=1N (åm,)kkk=1s2A.男性身高的分布As2B.北京男性身高的分布C.北京203

4、0男性身高的分布Bs2Cs2³ s2 ³ s2ABC12nås2kk=1 中心極限定理推論1nnnn®¥å XN (åmåk=1s )2,kkkk=1k=1nnn111n®¥åk=1åk=1åk=1ms )2XN () ,()kkk2nnn13 中心極限定理推論2nnnn®¥å Xk=1N (åmåk=12s ),kkkk=1X N (m ,s 2 ) N (m,s 2 )X111222 N (m +m,s 2 +s

5、 2 )X+X12121214 中心極限定理推論3nnnn®¥å Xk=1N (åmåk=1s )2,kkkk=1X B(n, p)= ì0ní1iîi =1= E( Xi ) =n®¥mi=(1 - p)2pN (np, np(1 - p)Xnp ³ 5n(1 - p) ³ 515中心極限定理概率學家們的研究結(jié)果令人驚訝，和最終要導出正態(tài)分布的條件并不需要這么苛刻，即便并不，也不具有相同的概率分布形式，很多時候和的最終歸宿仍然是正態(tài)分布。一切的紛繁蕪雜都在神秘的正態(tài)曲線下被

6、消解?！爸行臉O限定理恐怕是概率論中最具有彩的定理.如果有一位牧師拿著一本神秘色向我證明上帝的，我是絲毫買賬.如果他向我展示中心極限定理并且聲稱那是神跡，我可能會有點猶豫，從而樂意他的.如果我能坐著時光機穿越到一個原始部落中，我也一定會帶上中心極限定理，并勸說部落的酋長把正態(tài)分布作為他們的圖騰.”16中心極限定理20世紀初期到中期，中心極限定理的研究幾乎吸引了 所有的概率學家，這個定理儼然成為了概率論的明珠， 成為了各大概率論武林高手華山論劍的場所。“中心”： 描述的是這個定理的行為：以正態(tài)分布為中心。 20世紀初概率學家大都稱呼該定理為極限定理(Limit Theorem)，由于該定理在概率論

7、中處于如此重要的中心位置，如此之多的概率學武林高手為它魂牽夢繞，(G.Polya)于1920年在該定理前面冠于是數(shù)學家以“中心”一詞，由此后續(xù)人們都稱之為中心極限定理。17群星燦爛·切比雪夫哥李棣莫佛 拉斯從占據(jù)數(shù)學的那些“夫”字輩的大師上就可以看出某戰(zhàn)斗的數(shù)學肌肉.18看不見的神的秩序19看不見的神的秩序20看不見的神的秩序21例10一種植物，和其高度相關的有20種。假設每一基因中矮植株等位和高植株等位的可能性相同。若加；若中有兩個矮植株等位，植物的高度沒有增中有一個矮植株等位和一個高植株等位基因，植物的高度增加1.0cm； 若有兩個高植株等位 植物增加的高度為每一，植物的高度增加

8、2.0cm.中獲得的高度的和.求植物增加的高度的分布，計算高度不超過16cm的概率.22例10.1解1：Hi表示從第i個增加的總高度：中獲得的高度，H為Hipk00.2510.52.00.2520H = å Hii=1E( Hi ) = 0´0.25 +1´0.5 + 2.´0.25 = 1.02222D( Hi ) = 0 ´0.25 +1 ´0.5 + 2 ´0.25 -1 = 0.5H = å Hi N (20´1, 20´0.5)i=12023例10.2解2：H為增加的總高度，即20種中獲得的高植株的個數(shù)：1H B(40,)2H N (40´ 1 , 40´´11 )22224例10高度不超過16cm