第5章- 角動量守恒定律

1、1 的概念是在研究物體轉(zhuǎn)動問題時引入的。與動的概念是在研究物體轉(zhuǎn)動問題時引入的。與動量、能量一樣，角動量也是一個描述質(zhì)點和質(zhì)點系運動狀量、能量一樣，角動量也是一個描述質(zhì)點和質(zhì)點系運動狀態(tài)的基本物理量；角動量守恒定律也是一個與動量守恒定態(tài)的基本物理量；角動量守恒定律也是一個與動量守恒定律和能量守恒定律并列的守恒定律。但是，角動量的概念律和能量守恒定律并列的守恒定律。但是，角動量的概念和數(shù)學表達要比動量、能量復雜一些。和數(shù)學表達要比動量、能量復雜一些。微觀微觀: : 電子繞原子核運動電子繞原子核運動宏觀宏觀: : 行星繞太陽運動行星繞太陽運動 例例質(zhì)點繞某一中心轉(zhuǎn)動質(zhì)點繞某一中心轉(zhuǎn)動23第一節(jié)4

2、- 14 - 1angular momentum andangular momentum andlaw of conservation of angular momentum law of conservation of angular momentum 大量天文觀測表明大量天文觀測表明rmvsin常量常量方向：方向：rmv()定義：定義：質(zhì)點質(zhì)點m繞某一中心繞某一中心O轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動,對對O點的點的 角動量角動量 為為單位單位：千克千克米米2/秒秒（kgm2/s）。大小大小：L=rpsin = mrvsin 5-1 角動量角動量 宏觀宏觀: 行星繞太陽運動行星繞太陽運動4地地球球上上的的單單擺擺大

3、小會變大小會變變變太太陽陽系系中中的的行行星星大小大小未必未必會變?？渴裁磁袛?？會變。靠什么判斷？變變變變變變大小大小質(zhì)點質(zhì)點 對對 的角動量的角動量問題的提出問題的提出5導致角動量導致角動量 隨時間變化的根本原因是什么？隨時間變化的根本原因是什么？思路：思路： 分析分析與什么有關(guān)？與什么有關(guān)？由由則則(兩平行矢量的叉乘積為零兩平行矢量的叉乘積為零)得得角動量的時間變化率角動量的時間變化率質(zhì)點質(zhì)點m對參考點對參考點O的的位置位置矢量矢量所受的所受的合外力合外力等于等于叉乘叉乘6是是力矩力矩的矢量表達：的矢量表達：而而即即力矩力矩大小大小:方向方向:垂直于垂直于所決定所決定的平面，由右螺旋法的平

4、面，由右螺旋法則定指向。則定指向。得得質(zhì)點質(zhì)點m對給定參考點對給定參考點O的的角動量的時間變化率角動量的時間變化率所受的合外力矩所受的合外力矩稱為質(zhì)點的稱為質(zhì)點的 角動量定理角動量定理 的微分形式的微分形式 如果各分力與如果各分力與O點共面，力矩只含正、反兩種方向。可點共面，力矩只含正、反兩種方向?？稍O順時針為正向，用代數(shù)法求合力矩。設順時針為正向，用代數(shù)法求合力矩。7由由稱為稱為 沖量矩沖量矩角動量的增量角動量的增量所受的合外力矩所受的合外力矩89根據(jù)質(zhì)點的根據(jù)質(zhì)點的 角動量定理角動量定理 若若則則即即常矢量常矢量當質(zhì)點當質(zhì)點 所受的合外力對某參考點所受的合外力對某參考點 的力矩的力矩 為零

5、時，質(zhì)點對該點的角動量的時間變化率為零時，質(zhì)點對該點的角動量的時間變化率 為為零，即質(zhì)點對該點的角動量零，即質(zhì)點對該點的角動量 守恒。守恒。稱為稱為 若質(zhì)點所受的合外力的方向始終通過參考點，其角動量守恒。如行星若質(zhì)點所受的合外力的方向始終通過參考點，其角動量守恒。如行星繞太陽運動，以及微觀粒子中與此類似的運動模型，服從角動量守恒定律。繞太陽運動，以及微觀粒子中與此類似的運動模型，服從角動量守恒定律。5-2 5-2 角動量守恒定律角動量守恒定律10開普勒第二定律應用質(zhì)點的角動量守恒定律可以證明應用質(zhì)點的角動量守恒定律可以證明開普勒第二定律開普勒第二定律行星與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過相等的面積行

6、星與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過相等的面積11 t時刻時刻 m 對對 O 的的角動量大小為角動量大小為:即即因行星受的合外力總指向是太陽，角動量因行星受的合外力總指向是太陽，角動量 守恒。守恒。瞬間瞬間位矢掃過的微面積位矢掃過的微面積則則常量常量（稱為掠面速率）（稱為掠面速率）故故位矢在相同時間內(nèi)掃過的面積相等位矢在相同時間內(nèi)掃過的面積相等12慣性系中某給定參考點慣性系中某給定參考點5-2 5-2 角動量守恒定律角動量守恒定律13將將對時間求導對時間求導 內(nèi)力矩內(nèi)力矩在求矢在求矢量和時成對相消量和時成對相消內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)外外外外某給定某給定參考點參考點內(nèi)內(nèi)外外外外內(nèi)內(nèi)外外得得外外質(zhì)點系的角動量質(zhì)點系的

7、角動量的時間變化率的時間變化率質(zhì)點受外力質(zhì)點受外力矩的矢量和矩的矢量和稱為稱為14將將對時間求導對時間求導 內(nèi)力矩內(nèi)力矩在求矢在求矢量和時成對相消量和時成對相消內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)外外外外某給定某給定參考點參考點內(nèi)內(nèi)外外外外內(nèi)內(nèi)外外得得外外質(zhì)點系的角動量質(zhì)點系的角動量的時間變化率的時間變化率質(zhì)點受外力質(zhì)點受外力矩的矢量和矩的矢量和稱為稱為微分形式微分形式外外質(zhì)點系的角動量質(zhì)點系的角動量的時間變化率的時間變化率質(zhì)點受外力質(zhì)點受外力矩的矢量和矩的矢量和的的質(zhì)點系所受的質(zhì)點系所受的質(zhì)點系的質(zhì)點系的沖量矩沖量矩角動量增量角動量增量的的 若各質(zhì)點的速度或所受外力與參考點共面，則其角動量或力矩只含正若各質(zhì)點的速度或所

8、受外力與參考點共面，則其角動量或力矩只含正反兩種方向，可設順時針為正向，用代數(shù)和代替矢量和。反兩種方向，可設順時針為正向，用代數(shù)和代替矢量和。15質(zhì)點系角動量守恒外外由由若若則則或或恒矢量恒矢量當質(zhì)點系所受的合外力矩為零時，其角動量守恒。當質(zhì)點系所受的合外力矩為零時，其角動量守恒。5-2 5-2 角動量守恒定律角動量守恒定律161(1)(2)(3)(4)兩人同時到達；兩人同時到達；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握繩不動者先到；握繩不動者先到；以上結(jié)果都不對。以上結(jié)果都不對。兩人質(zhì)量相等兩人質(zhì)量相等一一人人握握繩繩不不動動一一人人用用力力上上爬爬可能出現(xiàn)的情況是可能出現(xiàn)的情況是:終點線終點線終

9、點線終點線滑輪質(zhì)量滑輪質(zhì)量既忽略既忽略輪繩摩擦輪繩摩擦又忽略又忽略17同高從靜態(tài)開始同高從靜態(tài)開始往上爬往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點系質(zhì)點系若若系統(tǒng)受合外力矩為零，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒角動量守恒。系統(tǒng)的初系統(tǒng)的初態(tài)角動量態(tài)角動量系統(tǒng)的末系統(tǒng)的末態(tài)角動量態(tài)角動量得得不論體力強弱，兩人等速上升。不論體力強弱，兩人等速上升。若若系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動量不守恒。系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動量不守恒?？蓱每蓱觅|(zhì)點系角動量定理質(zhì)點系角動量定理進行具體分析討論。進行具體分析討論。討論：討論：18【例例2】 質(zhì)點系的內(nèi)力可以改變質(zhì)點系的內(nèi)力可以改變 （A）系統(tǒng)的總質(zhì)量

10、。）系統(tǒng)的總質(zhì)量。 （B）系統(tǒng)的總動量。）系統(tǒng)的總動量。（C）系統(tǒng)的總動能。）系統(tǒng)的總動能。 （D）系統(tǒng)的總角動量）系統(tǒng)的總角動量。 【例例3 】 一質(zhì)點作勻速率圓周運動時一質(zhì)點作勻速率圓周運動時,它的它的（A）動量不變，對圓心的角動量也不變。）動量不變，對圓心的角動量也不變。（B）動量不變，對圓心的角動量不斷改變。）動量不變，對圓心的角動量不斷改變。（C）動量不斷改變，對圓心的角動量不變。）動量不斷改變，對圓心的角動量不變。（D）動量不斷改變，對圓心的角動量也不斷改變。）動量不斷改變，對圓心的角動量也不斷改變。 CC1920 自然界中有些力具有這樣的性質(zhì)：力的方向始終通過自然界中有些力具有這

11、樣的性質(zhì)：力的方向始終通過某一固定點，力的大小僅依賴于質(zhì)點與這個點之間的距離。某一固定點，力的大小僅依賴于質(zhì)點與這個點之間的距離。我們稱這樣的力為我們稱這樣的力為，相應的固定點稱為，相應的固定點稱為。例如，。例如，萬有引力是有心力；靜電作用力也是有萬有引力是有心力；靜電作用力也是有力。力。5-3 5-3 角動量守恒定律角動量守恒定律rm有心有心力力F力心力心o 物體運動僅受有心力作用時，物體運動僅受有心力作用時，力對力心力對力心O點的力矩始終為零。點的力矩始終為零。 在有心力作用下，運動物體在有心力作用下，運動物體對力心對力心O的角動量守恒。的角動量守恒。21LL2211vvmmrr21 Fr

12、/, 0FrM22例例1 地球在遠日點時，它離太陽的距離為地球在遠日點時，它離太陽的距離為 r1 =1.521011 m ，運動速率，運動速率 v1 =2.93104 m/s，當?shù)厍蛟诮拯c時，它，當?shù)厍蛟诮拯c時，它離太陽的距離離太陽的距離r2 =1.471011 m，則運動速率，則運動速率v2為多少？為多少？ smrvrv421121 10 03 3. .0 03 3 解解 地球地球2211mvrmvr(1) 該過程中地球動量守恒嗎？該過程中地球動量守恒嗎？ 地球動量不守恒，因地球速度大小、方向均在變地球動量不守恒，因地球速度大小、方向均在變 。(2) 能否按引力等于向心力立方程求解？能否

13、按引力等于向心力立方程求解？ 曲率半徑未知，條件不夠。曲率半徑未知，條件不夠。23解解FrMmgbrFMsinbPxymO【例例2】mgbtgtmbmvbmvrLsinPrLM24【例例3】如圖所示，質(zhì)量如圖所示，質(zhì)量m的小球某時刻具有水平朝右的速度的小球某時刻具有水平朝右的速度v，小球相對圖示長方形中小球相對圖示長方形中A，B，C三個頂點的距離分別是三個頂點的距離分別是d1、d2、d3 ，且有且有 ，試求：，試求：(1)小球所受重力相對小球所受重力相對A，B，C的力矩；的力矩； (2)小球相對小球相對A，B，C的角動量。的角動量。232122ddd解解ABC1d2d3dgvmFrMAM方向：

14、垂直圖平面向里，方向：垂直圖平面向里，大??；大??；1mgdMAABMM0CMvmrL角動量角動量(2)0ALBLBCLL方向：垂直圖平面向里，方向：垂直圖平面向里，大??；大??；3mvdLB25【例例4】質(zhì)量質(zhì)量m0的質(zhì)點固定不動，在它的萬有引力的作用下，質(zhì)量的質(zhì)點固定不動，在它的萬有引力的作用下，質(zhì)量m的質(zhì)點作半徑為的質(zhì)點作半徑為R的圓軌道運動。取圓周上的圓軌道運動。取圓周上P點為參考點，如圖點為參考點，如圖所示，試求：質(zhì)點所示，試求：質(zhì)點 m在圖中點在圖中點1處所受的力矩處所受的力矩 和質(zhì)點的角動和質(zhì)點的角動量量 ；質(zhì)點；質(zhì)點m在圖中點在圖中點2處所受的力矩處所受的力矩 和質(zhì)點的角動量和質(zhì)點

15、的角動量 。1M2M1L2L解：解：在點在點1處：處： 力矩力矩在點在點1處，處，m所受引力指向所受引力指向P點，故點，故01M角動量角動量RvmRmmG220RGmv01M1L由由m作圓周運動的動力學方程，可得速度作圓周運動的動力學方程，可得速度v090RmP120m力矩定義式力矩定義式FrMvmrL角動量角動量1L方向：垂直圖平面向外，方向：垂直圖平面向外，大??；大??；RGmmRGmmRL0001290sin226力矩力矩 在點在點2處處2M方向：垂直圖平面向里，方向：垂直圖平面向里，大??；大小；RmGmRmmGRM/135sin200202角動量角動量方向：垂直圖平面向外，方向：垂直圖平

16、面向外，大??；大??；2LRGmmRGmmRL0002135sin22L同上理可得同上理可得 的速度的速度mRGmv/02FrM090RmP120mvmrL27【例例5】質(zhì)量同為質(zhì)量同為m的兩個小球系于一輕質(zhì)彈簧兩端，放在光滑的兩個小球系于一輕質(zhì)彈簧兩端，放在光滑水平桌面上，彈簧處于自由伸長狀態(tài)，長為水平桌面上，彈簧處于自由伸長狀態(tài)，長為 a，其勁度系數(shù)為，其勁度系數(shù)為k，今使兩球同時受水平?jīng)_量作用，各獲得與連線垂直的等值反向初今使兩球同時受水平?jīng)_量作用，各獲得與連線垂直的等值反向初速度，如圖所示。若在以后運動過程中彈簧可達的最大長度速度，如圖所示。若在以后運動過程中彈簧可達的最大長度b=2a，

17、試求兩球初速度大小試求兩球初速度大小v0 。解解:0vm kam0v兩球和彈簧視為系統(tǒng)。兩球和彈簧視為系統(tǒng)。由角動量守恒由角動量守恒：,22220bmvamvv為彈簧最大長度為彈簧最大長度b時的速度時的速度 因?qū)ΨQ，彈簧中點因?qū)ΨQ，彈簧中點O相對于桌面不相對于桌面不動。系統(tǒng)所受外力沖量矩為零，系統(tǒng)對動。系統(tǒng)所受外力沖量矩為零，系統(tǒng)對O點角動量守恒；外力做功為零，系統(tǒng)機械能守恒。點角動量守恒；外力做功為零，系統(tǒng)機械能守恒。由機械能守恒：由機械能守恒：202221221212mvabkmv)(解以上兩式，并將解以上兩式，并將 b=2a代入，得：代入，得：amkv3202829練習三10、1130例

18、例6 如圖所示，在光滑水平面上有一長如圖所示，在光滑水平面上有一長l=0.5m的繩子，一端固定的繩子，一端固定于于O點，另一端系一質(zhì)量點，另一端系一質(zhì)量m=0.5kg的物體。開始時，物體位于位置的物體。開始時，物體位于位置A處，處，OA間的距離間的距離d=0.5m，繩子處于松弛狀態(tài)?，F(xiàn)在使物體以與，繩子處于松弛狀態(tài)?，F(xiàn)在使物體以與OA垂直的初速度垂直的初速度 向右運動，到達位置向右運動，到達位置B時物體速度的方時物體速度的方向與繩垂直。試求物體在向與繩垂直。試求物體在B處的角動量和速度。處的角動量和速度。 (課本課本5-4)smvA/4解解因作用于物體的合外力矩為零，因作用于物體的合外力矩為零

19、，故物體故物體lmvdmvBA物體角動量：物體角動量：)/(4smmldmvvABlmvLBBsmkgLB/12BBvAvAmOdl31例例7 我國第一顆東方紅人造衛(wèi)星的橢圓軌道長半軸為我國第一顆東方紅人造衛(wèi)星的橢圓軌道長半軸為a = 7.79 106 m，短半軸為，短半軸為 b = 7.72106 m，周期，周期 T = 114 min，近地點和遠，近地點和遠地點距地心分別為地點距地心分別為 r1 = 6.82106 m和和 r2 = 8.76106 m。（。（1）證明）證明單位時間內(nèi)衛(wèi)星對地心位矢掃過的面積為常量；（單位時間內(nèi)衛(wèi)星對地心位矢掃過的面積為常量；（2）求衛(wèi)星經(jīng)）求衛(wèi)星經(jīng)近地點和

20、遠地點時的速度近地點和遠地點時的速度V1 和和V2 。21rorr1V2V dr常矢量vmrprLsin21drrdS解解衛(wèi)星衛(wèi)星地球地球（1） 時間內(nèi)衛(wèi)星位矢掃過面積時間內(nèi)衛(wèi)星位矢掃過面積dtdS32abdtdSTmvrmvr2211常量mLmvrmdtdrrdtdS2sin21sin21（2）衛(wèi)星和地球視為系統(tǒng)，衛(wèi)星和地球視為系統(tǒng)，smTrabvsmTrabv/103 . 62/101 . 82322311abmLTLmvrmvr2221133例例8 一輕繩跨過輕定滑輪，一猴子抓住繩的一端，滑輪一輕繩跨過輕定滑輪，一猴子抓住繩的一端，滑輪另一側(cè)的繩子則掛一另一側(cè)的繩子則掛一與猴子與猴子的重物。若猴子從的重物。若猴子