全等三角形專題——三角形的旋轉(zhuǎn)翻折與線段的截長補(bǔ)短

1、全等三角形專題三角形的旋轉(zhuǎn)、翻折與線段的截長補(bǔ)短經(jīng)典例題透析類型一：由角平分線想到構(gòu)造全等不管軸對稱圖形還是兩個圖形軸對稱，我們不難發(fā)現(xiàn)對應(yīng)點與軸上一點（此點作為頂點）組成的角被軸平分，根據(jù)這一特點，在做題中如果遇到角平分線我們就會聯(lián)想到，以角平分線為軸構(gòu)造對稱（全等），從而把角、線段轉(zhuǎn)移達(dá)到解題目的1如圖1，等腰梯形ABCD中，ADBC，DBC=45°，翻折梯形ABCD，使點B與點D重合，折痕分別交AB、BC于點F、E若AD=2，BC=8求BE的長 圖 1 圖 2解析：由題意得BFEDFE， BE=DE，在BDE中，ED=BE，DBE=45°， BDE=DBE=45

2、76;， DEB=90°，即DEBC，在等腰梯形中，AD=2，BC=8，過A作AGBC，交BC于G，如圖2，四邊形AGED是矩形 GE=AD=2，在RtABG和RtDCE中，AB=DC，AG=DE， RtABGRtDCE， BG=CE， ， BE=52如圖3，已知ABC中，AB=AC，B=2A求證： 圖 3 圖 4解析：如圖4，作B的平分線交AC于D，則A=ABD，BDC=2A=C AD=BD=BC作BMAC于M，則CM=DM 3如圖5，已知梯形ABCD中，ABCD，ADBC，求證：ACBD 圖 5 圖 6解析：如圖6，作DEAC，DFBC，交BA或延長線于點E、F，四邊形ACDE和

3、四邊形BCDF都是平行四邊形 DE=AC，DF=BC，AE=CD=BF作DHAB于H，根據(jù)勾股定理， ADBC，ADDF AHFH，EHBH， DEBD，即ACBD.4如圖7，已知ABC中，ADBC，AB+CD=AC+BD求證：AB=AC圖 7解析：設(shè)AB、AC、BD、，CD分別為b、c、m、n，則c+n=b+m，c-b=m-n， ADBC，根據(jù)勾股定理，得， ， c+bm+n， c-b=0即c=b， AB=AC類型二：勾股定理的逆定理的運(yùn)用5如圖8，P是正ABC內(nèi)的一點，且PA=6，PB=8，PC=10，若將PAC繞點A旋轉(zhuǎn)后，得到，則點P與點之間的距離為_，APB=_ 圖 8 圖 9解析：

4、如圖9，連結(jié)，是由旋轉(zhuǎn)得到的，所以所以. .所以三角形是等邊三角形，則在三角形中所以是直角，6如圖10，已知ABC=30°，ADC=60°，AD=DC求證： 圖 10 圖 11 解析：如圖11，顯然ADC是等邊三角形，以BC為邊向右側(cè)作等邊三角形，則BC=BE，連接AE，則可證明BCDACE，所以AE=DB，ABC+CBE=90°，根據(jù)勾股定理有，即7如圖12，D為等腰ABC的腰AB上的一點，E為另一腰AC延長線上的一點，且BD=CE，則ADE=BC BDEBCCDEBCDDE與BC大小關(guān)系決定于A的大小 圖 12 圖 13解析：如圖13，分別過D和E點作到BC邊

5、的垂線，交BC及其延長線于G和H則根據(jù)，可得到BDGECH. 所以BG=CH所以BC=GH 顯然DEGH. 所以DEBC.8如圖14，已知等邊ABC內(nèi)有一點N，NDBC，NEAB，NFAC，D、E、F都是垂足，M是ABC中異于N的另一點，若，那么與的大小關(guān)系是_ 圖 14 圖 15解析：如圖15，作M到正三角形的各邊上的高，根據(jù)面積相等的關(guān)系，有，分別化簡為所以而根據(jù)直角三角形斜邊與直角邊的關(guān)系有，所以有9如圖16，梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中點，CE恰好是平分BCD，若AD=3，BC=4，則CD的長是A5 B6 C7 D8圖 16 圖 17解析：如圖17，延長CE交DA的延長線于F，則容易證明BECAEF，于是可得到DCE=BCE=AFE，所以FCD是等腰三角形，所以CD=AD+AF=710如圖18，在等腰直角ABC中，BAC=90°，ADBC，在AD上取一點E，使EBC=30°，則BE和BC的大小關(guān)系是（ ）ABEBC BBEBC CBE=BC D不確定 圖 18解析：作ABC的高h(yuǎn)，那么BC=2h而BE=2h所以BE=BC11已知三角形的兩條邊長分別為a=5，