人口預(yù)測問題的數(shù)字建模

1、人口預(yù)測問題數(shù)學(xué)模型 岳靖雨 王澤摘 要在計(jì)劃生育的影響下，我國人口的出生率持續(xù)下降，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于其他發(fā)展中國家，甚至低于美英等發(fā)達(dá)國家。人口出生率的降低，帶來最直接的問題就是我國勞動(dòng)力的逐年下降，尤其是青壯年勞動(dòng)力的不足，從而嚴(yán)重影響了我國社會(huì)生產(chǎn)的發(fā)展。同時(shí)，隨時(shí)人們生活水平的提高以及衛(wèi)生醫(yī)療事業(yè)的發(fā)展，大大延長了國民的壽命，使得我國出現(xiàn)了人口老齡化的現(xiàn)象，并且這種現(xiàn)象呈現(xiàn)了日益嚴(yán)重的趨勢。為此，第十八屆中央委員會(huì)第三次全體會(huì)議決定開放單獨(dú)二胎政策，以提高我國人口的出生率以及降低人口老齡化程度?；诖?，本文旨在研究開放單獨(dú)二胎政策對(duì)我國人口出生率以及人口結(jié)構(gòu)的影響。在參閱大量研究報(bào)告的基礎(chǔ)上，

2、構(gòu)建了合適的預(yù)測人口的數(shù)學(xué)模型，對(duì)我國未來幾年內(nèi)人口總數(shù)及老齡人口數(shù)進(jìn)行了預(yù)測。通過得到的數(shù)據(jù)結(jié)果說明了，開放單獨(dú)二胎政策確實(shí)能夠提高我國人口的出生率，有效地緩解出生率下降的趨勢，但相對(duì)于我國的人口基數(shù)，這種增長是非常微小的；未來幾年內(nèi)，我國老齡人口所占的比例仍會(huì)持續(xù)上升，但是在單獨(dú)二胎政策的影響下，我國老齡人口所占比例的增長率將會(huì)基本保持不變，不會(huì)出現(xiàn)計(jì)劃生育時(shí)期逐漸增大的現(xiàn)象。關(guān)鍵詞：單獨(dú)二胎政策；人口預(yù)測模型；人口老齡化；人口結(jié)構(gòu)一、問題重述人口的數(shù)量和結(jié)構(gòu)是影響經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的重要因素。從20世紀(jì)70年代后期以來，我國鼓勵(lì)晚婚晚育，提倡一對(duì)夫妻生育一個(gè)孩子。該政策實(shí)施30多年來，有效地控

3、制了我國人口的過快增長，對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活的改善做出了積極的貢獻(xiàn)。但另一方面，其負(fù)面影響也開始顯現(xiàn)。如小學(xué)招生人數(shù)（1995年以來）、高校報(bào)名人數(shù)（2009年以來）逐年下降，勞動(dòng)人口絕對(duì)數(shù)量開始步入下降通道，人口撫養(yǎng)比的相變時(shí)刻即將到來，這些對(duì)經(jīng)濟(jì)社會(huì)健康、可持續(xù)發(fā)展將產(chǎn)生一系列影響，引起了中央和社會(huì)各界的重視。因此，我國決定開放單獨(dú)二胎政策。實(shí)施這項(xiàng)政策不僅是計(jì)劃生育工作的一項(xiàng)重要調(diào)整，同時(shí)也充分適應(yīng)了我國人口的發(fā)展趨勢，是滿足人民群眾需求的一項(xiàng)關(guān)鍵性舉措，具有重大現(xiàn)實(shí)意義。本文旨在發(fā)掘該項(xiàng)政策的改變對(duì)我國人口數(shù)量、人口老齡化的影響程度，對(duì)未來幾年內(nèi)我國人口數(shù)量及老齡人口所占比例的變化趨勢

4、做出合理的預(yù)測。二、問題分析目前，已經(jīng)有了很多對(duì)人口預(yù)測的研究報(bào)告及研究方法。本文在參閱大量研究報(bào)告的基礎(chǔ)上，給出了三種典型的數(shù)學(xué)模型，分別是Logistic增長模型、線性回歸模型以及灰色系統(tǒng)GM(1,1)模型。人口預(yù)測的準(zhǔn)確與否，則取決于所采用的預(yù)測方法是否妥當(dāng)。不同的預(yù)測模型，適用的范圍大不相同，相應(yīng)地預(yù)測結(jié)果也會(huì)大不相同。例如，Logistic增長模型考慮到地球上的資源與生存空間是有限的，人口不可能無限增加。因此，在Logistic增長模型中人口的增長率是先增后減的；線性回歸模型認(rèn)為數(shù)據(jù)之間呈線性相關(guān)，用一條直線去擬合數(shù)據(jù)，對(duì)線性相關(guān)的數(shù)據(jù)具有很好的擬合效果；灰色系統(tǒng)GM(1,1)模型通

5、過對(duì)原始數(shù)據(jù)的處理和灰色模型的建立，發(fā)現(xiàn)并掌握系統(tǒng)發(fā)展的規(guī)律，對(duì)系統(tǒng)的未來狀態(tài)做出科學(xué)的定量預(yù)測。通過數(shù)據(jù)的累加或累減，能夠提高數(shù)據(jù)的光滑性，對(duì)于解決少數(shù)據(jù)，不確定的問題有獨(dú)特的優(yōu)勢。影響人口增長的因素繁多，任何一種模型都不能完整地預(yù)測其發(fā)展情況，具體采用何種模型或采用哪些種模型，是本文所要解決的主要問題之一。其次，在確定所用的模型之后，就要考慮單獨(dú)二胎政策的開放對(duì)我國人口的增長率及我國人口老齡化的影響程度，做出合理的預(yù)測。三、模型假設(shè)1、假設(shè)本問題所使用的數(shù)據(jù)均真實(shí)有效，具有統(tǒng)計(jì)分析價(jià)值；2、對(duì)人口的預(yù)測，只考慮生育模型、出生率、死亡率及性別等因素，不考慮自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭等引起的人口數(shù)量變化；

6、3、無較大的國際性人口遷移；4、65歲以上的人口為老齡人口；5、單獨(dú)二胎政策在全國范圍內(nèi)均已實(shí)行。四、符號(hào)說明符號(hào)說明單位Logistic增長模型中，在時(shí)刻的人口數(shù)量萬人Logistic增長模型中的系數(shù)，稱為生命系數(shù)Logistic增長模型中的系數(shù)，稱為生命系數(shù)初始年的人口數(shù)量萬人線性回歸模型中的系數(shù)線性回歸模型中的樣本個(gè)數(shù)個(gè)我國歷年人口數(shù)量萬人對(duì)原始數(shù)據(jù)累加一次之后的數(shù)列萬人本文采用的預(yù)測我國人口數(shù)量的模型萬人預(yù)測人口下限值萬人預(yù)測人口上限值萬人五、典型預(yù)測模型簡介5.1 模型一：Logistic增長模型Logistic增長模型是一種S形函數(shù)模型，它是皮埃爾弗朗索瓦韋呂勒在1844或1845

7、年研究人口增長關(guān)系時(shí)提出并命名的。Logistic曲線可以模仿一些情況人口增長的S形曲線。起初階段大致是指數(shù)增長；然后開始變得飽和，增加變慢；最后，達(dá)到成熟時(shí)增加停止1。此模型屬于微分方程預(yù)報(bào)模型方法范疇，Logistic人口模型的一半形式為： (5-1)其中稱為生命系數(shù)，為在年時(shí)人口數(shù)量，為初始年的人口數(shù)量。(5-1)式是伯努利(Bernoulli)方程，利用計(jì)算機(jī)編程可得解為： (5-2)曲線的形狀如圖5.1所示，這種曲線稱為S形曲線，由曲線的形狀，可以得到如下結(jié)論：圖5.1 Logistic增長曲線在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半(即)以前，是加速增長時(shí)期，過這一點(diǎn)以后，增長的速度逐漸小，并且遲

8、早會(huì)達(dá)到零，這是減速增長時(shí)期。5.2 模型二：線性回歸模型回歸分析起源于生物學(xué)研究，是由英國生物學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾登(Francis Galton 1822-1911)在19世紀(jì)末葉研究遺傳學(xué)特性時(shí)首先提出來的。高爾登在1889年發(fā)表的著作自然的遺傳中，提出了回歸分析方法以后，很快就應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中來，而且這一名詞也一直為生物學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)所沿用1。設(shè)為自變量，為因變量，與之間存在某種線性關(guān)系，即一元線性回歸模型為： (5-3)其中代表影響因素，我們往往認(rèn)為它是可以控制或預(yù)先給定的，故稱之為自變量；因變量就是我們的預(yù)測對(duì)象；常數(shù)是待定的參數(shù)。給定的對(duì)觀測值，代入式(5-3)得： (5-4)稱(5-

9、4)為一元線性回歸模型。顯然，此時(shí)的方程組個(gè)數(shù)大于待定參數(shù)的個(gè)數(shù)，方程無解。估計(jì)模型的回歸系數(shù)有許多方法，其中使用最廣泛的是最小二乘(OLS,Ordinary Least Square)法。待定參數(shù)可由下式給出： (5-5) (5-6)其中。5.3 模型三：灰色系統(tǒng)GM(1,1)模型灰色系統(tǒng)理論指出，用離散的隨機(jī)數(shù)，經(jīng)過生成變?yōu)殡S機(jī)性被顯著削弱的較有規(guī)律的生成數(shù)，這樣便可以對(duì)變化過程做較長時(shí)間的描述，進(jìn)而建立微分方程形式的模型，建模的實(shí)質(zhì)是建立微分方程的系數(shù)?；疑到y(tǒng)理論中的GM(1,N)模型能夠用于灰色預(yù)測，而當(dāng)問題中考慮的變化趨勢只有一個(gè)參考數(shù)列時(shí)，也即模型GM(1,N)中的取為1，模型可

10、以化簡為GM(1,1)模型2。該模型如下所示：假設(shè)已知數(shù)列： (5-7)進(jìn)而可以得到累加一次后的數(shù)列： (5-8)利用累加后的數(shù)列建立白化形式的微分方程： (5-9)設(shè)，按最小二乘法得到 (5-10)其中： (5-11)易求得該微分方程的解為： (5-12)再對(duì)求得的數(shù)列進(jìn)行累減，就可得到相應(yīng)的預(yù)測值。六、數(shù)值試驗(yàn)及結(jié)果分析在閱讀大量文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文給出了三種典型的用于人口預(yù)測的模型。接下來將分別用這三種模型對(duì)我國的人口進(jìn)行預(yù)測，通過比較、分析，找出較好的預(yù)測模型，最后利用該模型對(duì)我國出臺(tái)單獨(dú)二胎政策后的人口進(jìn)行預(yù)測。數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)4，20052012年我國的人口總數(shù)以及65歲以上的人口總數(shù)

11、如下表6.1所示：表6.1 歷年人口及65歲以上人口(萬人)年份20052006200720082009201020112012總?cè)丝?3075613144813212913280213345013409113473513540465歲以上人口1005510419106361095611307118941228812714所占比例7.69%7.93%8.05%8.25%8.47%8.87%9.12%9.39%從上面的表格可以看出，我國老齡人口所占的比例逐漸增大，為此有必要改變我國的生育政策?；诖耍瑔为?dú)二胎的政策才得以實(shí)現(xiàn)。接下來，分別利用前文中的三種人口預(yù)測模型對(duì)20052012年的人口進(jìn)行

12、預(yù)測，得到相關(guān)的模型，分析、比對(duì)各個(gè)模型的好壞。模型一：Logistic增長模型將20052012年我國的總?cè)丝跀?shù)代入到式(5-1)、(5-2)中，利用MATLAB程序Logistic.m文件進(jìn)行預(yù)測，最終得到的模型為： (6-1)各年預(yù)測值與真值的比較如下表6.2以及圖6.1所示(其中*代表的是真實(shí)值，紅色折線代表的是預(yù)測值)：表6.2 Logistic增長模型的預(yù)測值與真實(shí)值的比較(萬人)年份20052006200720082009201020112012預(yù)測值130760131440132120132790133450134110134750135390真實(shí)值13075613144813

13、2129132802133450134091134735135404相對(duì)誤差%0.00310.00610.00680.00900.00000.01420.01110.0103誤差平方和969.0647圖6.1 Logistic增長模型的預(yù)測值與真實(shí)值的比較模型二：線性回歸模型將20052012年我國的總?cè)丝跀?shù)代入到式(5-3)、(5-6)中，利用MATLAB程序Regress.m文件進(jìn)行預(yù)測，最終得到的模型為： (6-2)各年預(yù)測值與真值的比較如下表6.3以及圖6.2所示(其中*代表的是真實(shí)值，紅色折線代表的是預(yù)測值)：表6.3 線性回歸模型的預(yù)測值與真實(shí)值的比較(萬人)年份200520062

14、00720082009201020112012預(yù)測值130790131450132110132770133430134090134750135410真實(shí)值130756131448132129132802133450134091134735135404相對(duì)誤差%0.02600.00150.01440.02410.01500.00070.01110.0044誤差平方和3153.7圖6.2 線性回歸模型的預(yù)測值與真實(shí)值的比較模型三：灰色系統(tǒng)GM(1,1)模型將20052012年我國的總?cè)丝跀?shù)代入到式(5-7)(5-12)中，利用MATLAB程序GM1_1.m文件進(jìn)行預(yù)測，最終得到的模型為： (6-3

15、)然后可以利用該模型進(jìn)行預(yù)測，第時(shí)刻的預(yù)測值為： (6-4)顯然預(yù)測值是關(guān)于的增函數(shù)，說明我國的總?cè)丝谑浅噬仙厔莸摹＝酉聛砝?6-4)式對(duì)我國總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測，各年預(yù)測值與真值的比較如下表6.4以及圖6.3所示(其中*代表的是真實(shí)值，紅色折線代表的是預(yù)測值)：表6.4 GM1_1模型的預(yù)測值與真實(shí)值的比較(萬人)年份20052006200720082009201020112012預(yù)測值130756131477132125132776133430134088134749135413真實(shí)值130756131448132129132802133450134091134735135404相對(duì)誤差%0

16、.00000.02210.00300.01960.01500.00220.01040.0066誤差平方和2191.3圖6.3 GM1_1模型的預(yù)測值與真實(shí)值的比較三種模型的對(duì)比、分析為了比較三種模型的預(yù)測效果，將前文中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，觀察下表6.5可知：表6.5 三種模型預(yù)測效果比較(萬人)年份人口真實(shí)值Logistic模型線性回歸模型灰色GM(1,1)模型預(yù)測值相對(duì)誤差(%)預(yù)測值相對(duì)誤差(%)預(yù)測值相對(duì)誤差(%)20051307561307600.00311307900.02601307560.000020061314481314400.00611314500.00151314770.02

17、2120071321291321200.00681321100.01441321250.003020081328021327900.00901327700.02411327760.019620091334501334500.00001334300.01501334300.015020101340911341100.01421340900.00071340880.002220111347351347500.01111347500.01111347490.010420121354041353900.01031354100.00441354130.0066誤差平方和969.06473153.7219

18、1.3從上面的結(jié)果可以清晰的看出，Logistic模型的預(yù)測效果最好，而線性回歸模型的預(yù)測效果最差。這是因?yàn)?，Logistic增長模型考慮到人口總數(shù)增長的有限性，且提出了人口總數(shù)增長的規(guī)律即隨著人口總數(shù)的增長，人口增長率逐漸下降。從Logistic模型中的預(yù)測結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，2009年以前預(yù)測值基本都在真實(shí)值以下，而2009年以后的預(yù)測值均在真實(shí)值以上。而灰色GM(1,1)模型對(duì)真實(shí)值的預(yù)測，基本是均勻變化的。為此，本文考慮將兩種模型預(yù)測值的均值作為對(duì)真實(shí)值的預(yù)測，即： (6-5)利用(6-5)重新計(jì)算人口預(yù)測值，如下表6.6所示表6.6 組合模型的預(yù)測值與真實(shí)值的比較(萬人)年份2005200

19、6200720082009201020112012預(yù)測值130758131459132123132783133440134099134750135402真實(shí)值130756131448132129132802133450134091134735135404相對(duì)誤差%0.00150.00800.00490.01430.00750.00600.01080.0018誤差平方和898在表6.6中，無論是各年預(yù)測值的誤差還是總的誤差平方和，都得到了很大的改善，說明這種組合模型對(duì)人口的預(yù)測具有很好的效果。為此，本文擬采用這種方法對(duì)我國生育政策調(diào)整后的人口進(jìn)行預(yù)測。由于2013年的中國統(tǒng)計(jì)年鑒尚未出臺(tái)，因此本

20、文利用該組合模型對(duì)2013及2014年的總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測可得136046和136691(萬人)。然而，單獨(dú)二胎政策是于2013年11月9日至12日在北京舉行的第十八屆中央委員會(huì)第三次全體會(huì)議中提出來的。因此，該項(xiàng)政策的提出對(duì)2014年我國新生兒數(shù)量增長的實(shí)際影響還沒發(fā)精確計(jì)算出，只能給出大致的范圍。在文獻(xiàn)5中指出，短期內(nèi)我國可能會(huì)出現(xiàn)小的生育回潮，新生嬰兒增多，預(yù)計(jì)每年將達(dá)到100200萬左右。所以，2014年的總?cè)丝陬A(yù)計(jì)在136791136891(萬人)。進(jìn)而，本文對(duì)未來幾年內(nèi)的人口預(yù)測給出的也是一個(gè)范圍，即預(yù)測人口的最大值及最小值。為了預(yù)測開放單獨(dú)二胎政策后我國人口的變化，將2013及201

21、4年的人口加入到20052012年的原始數(shù)據(jù)中，形成新的數(shù)據(jù)。利用前文的方法，能夠形成新的預(yù)測模型，最終結(jié)果如下：其中和分別表示預(yù)測的最小值和最大值。利用和可對(duì)我國未來幾年內(nèi)的人口總數(shù)進(jìn)行預(yù)測，為了更好的體現(xiàn)單獨(dú)二胎政策的效果，利用(6-5)及和分別對(duì)原始數(shù)據(jù)(認(rèn)為沒有開放單獨(dú)二胎政策，2014年新生嬰兒無明顯增多)及新數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(認(rèn)為實(shí)行單獨(dú)二胎政策，2014年新增嬰兒100200萬)，相關(guān)結(jié)果如下表6.7、圖6.4所示：表6.7 開放單獨(dú)二胎政策前后人口的預(yù)測值對(duì)比 (萬人)年份2014201520162017201820192020(原)預(yù)測值136691137341137981138

22、619139255139888140519人口增長率(%)0.47410.47550.46600.46240.45880.45460.4511(新)預(yù)測值下限136791137418138083138749139415140081140748人口增長率(%)0.54760.45840.48390.48230.48000.47770.4762(新)預(yù)測值上限136891137459138140138824139510140198140889人口增長率(%)0.62110.41490.49540.49510.49420.49320.4929圖6.4 開放單獨(dú)二胎政策前后人口的預(yù)測值對(duì)比從表6.7及

23、圖6.4中可以看出，開放單獨(dú)二胎政策后，原數(shù)據(jù)的預(yù)測值均在新數(shù)據(jù)的預(yù)測值之下，說明我國人口的增長明顯提高了。同時(shí)，原始數(shù)據(jù)的人口增長率明顯呈下降趨勢，而開放單獨(dú)二胎政策后，人口增長率得到了提高并且下降的速度得到了緩解，說明在單獨(dú)二胎的政策下，確實(shí)能使我國新生兒的出生率提高。人口結(jié)構(gòu)的研究隨著社會(huì)的發(fā)展，我國老齡人口所占比例逐年提高，并呈現(xiàn)出“未富先老”的特點(diǎn)。然而，在計(jì)劃生育政策的影響下，我國人口出生率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于同屬發(fā)展中國家的印度等國，甚至低于美英等發(fā)達(dá)國家。使得我國的勞動(dòng)力逐年下降，尤其是青壯年勞動(dòng)力不足，從而影響我國社會(huì)生產(chǎn)的發(fā)展。在此情況下，第十八屆中央委員會(huì)第三次全體會(huì)議決定開放單獨(dú)二

24、胎政策。為此，在政策改變的情況下，有必要研究我國人口結(jié)構(gòu)的變化。本文主要研究未來幾年內(nèi)，我國老齡人口所占全部人口的比例。但是，在這里我們要注意的是，對(duì)老齡人口的預(yù)測不能應(yīng)用和來進(jìn)行預(yù)測，因?yàn)楹痛淼氖情_放單獨(dú)二胎政策后，我國新生嬰兒的增量，而這些新生嬰兒至多步入青年期，因此不會(huì)對(duì)我國未來幾年內(nèi)的老齡人口(65歲及以上)產(chǎn)生影響。所以，對(duì)老齡人口的預(yù)測應(yīng)該使用(6-5)式，即不考慮單獨(dú)二胎政策帶來的新生兒的增量，同時(shí)計(jì)算老齡人口所占總?cè)丝诒壤?。相?yīng)的數(shù)學(xué)模型及計(jì)算結(jié)果如下所示：表6.8 老齡人口數(shù)及其占總?cè)丝诒壤?萬人)年份2014201520162017201820192020預(yù)測值13551

25、140161449814996155111604416595比例下限(%)9.899110.196510.495110.802211.118211.443811.7788比例上限(%)9.906410.199510.499510.808011.125811.453411.7906表6.9 老齡人口所占比例(%)年份比例年份比例下限比例上限20057.689920139.62919.629120067.926320149.89919.906420078.0497201510.196510.199520088.2499201610.495110.499520098.4728201710.802210.808020108.8701201811.118211.125820119.1201201911.443811.453420129.3897202011.778811.7906圖6.5 老齡人口所占比例的變化趨勢從上面的表6.8、表6.9、以及圖6.