高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)講義第四章數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法

1、高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)講義 第四章 數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法一、考綱要求1.掌握：掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式；能夠運(yùn)用這些知識(shí)解決一些實(shí)際問題；掌握極限的四則運(yùn)算法則.2.理解：數(shù)列的有關(guān)概念；能根據(jù)遞推公式算出數(shù)列的前幾項(xiàng)；會(huì)求公比的絕對(duì)值小1的無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)的極限.3.了解：了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法；了解數(shù)列極限的意義；了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題.二、知識(shí)結(jié)構(gòu)(一)數(shù)列的一般概念數(shù)列可以看作以自然數(shù)集(或它的子集)為其定義域的函數(shù)，因此可用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列，用研究函數(shù)的方法來研究數(shù)列。數(shù)列表示法有：列表法、圖像法、解析法、遞推法等。列

2、表法：就是把數(shù)列寫成a1,a2,aan或簡寫成an，其中an表示數(shù)列第n項(xiàng)的數(shù)值，n就是它的項(xiàng)數(shù)，即an是n的函數(shù)。解析法：如果數(shù)列的第n項(xiàng)能用項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)式表示為an=f(n)這種表示法就是解析法，這個(gè)解析式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式。圖像法：在直角坐標(biāo)系中，數(shù)列可以用一群分散的孤立的點(diǎn)來表示，其中每一個(gè)點(diǎn)(n,an)的橫坐標(biāo)n表示項(xiàng)數(shù)，縱坐標(biāo)an表示該項(xiàng)的值。用圖像法可以直觀的把數(shù)列an與n的函數(shù)關(guān)系表示出來。遞推法：數(shù)列可以用兩個(gè)條件結(jié)合起來的方法來表示：給出數(shù)列的一項(xiàng)或幾項(xiàng)。給出數(shù)列中后面的項(xiàng)用前面的項(xiàng)表示的公式，這是數(shù)列的又一種解析法表示稱為遞推法。例如：數(shù)列2，4，5，遞推法表示為 a1=

3、2 其中an+1=an+又稱該數(shù)列 an+1=an+(nN) 的遞推公式。由數(shù)列項(xiàng)數(shù)的有限和無限來分?jǐn)?shù)列是有窮數(shù)列和無窮數(shù)列。由數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系來分?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列以及常數(shù)列。由數(shù)列各項(xiàng)絕對(duì)值的取值范圍來分?jǐn)?shù)列是有界數(shù)列和無界數(shù)列、通項(xiàng)公式是研究數(shù)列的一個(gè)關(guān)鍵，歸納通項(xiàng)公式是求數(shù)列通項(xiàng)公式的最基本方法，給出數(shù)列的前n項(xiàng)，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并不是唯一的，也并非所有的數(shù)列都能寫出通項(xiàng)公式。數(shù)列an的前n項(xiàng)和是：a1+a2+a3+an記作Sn，要正確認(rèn)識(shí)數(shù)列前n項(xiàng)和的符號(hào)，Sn是下角碼n的函數(shù)。數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系是an= S1(n=1) Sn-Sn-1(n2)

4、本單元習(xí)題主要有兩種類型：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系寫出數(shù)列或數(shù)列的某一項(xiàng)、某幾項(xiàng)。由題設(shè)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式。(二)等差數(shù)列和等比數(shù)列1.等差數(shù)列定義、表示法及性質(zhì)(1)等差數(shù)列定義中，要準(zhǔn)確地理解，穩(wěn)健地應(yīng)用公差d，準(zhǔn)確的理解即注意定義中“從第二項(xiàng)起”及“同一個(gè)常數(shù)”的含義，穩(wěn)健地應(yīng)用即an+1-an=d是證明數(shù)列是等差數(shù)列的理論依據(jù)之一，而d的符號(hào)又決定等差數(shù)列的單調(diào)性。(2)如果一個(gè)數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d，則這個(gè)數(shù)列可表示為：列表法：a1,a1+d,a1+2da1+(n-1)d簡寫成a1+(n-1)d特殊地，只有三項(xiàng)時(shí)可寫成：a-d,a,a+d，只有四項(xiàng)時(shí)可寫成：a-3d,a-d

5、,a+d,a+3d.表示規(guī)律：奇數(shù)項(xiàng)公差為d，偶數(shù)項(xiàng)公差為2d，它們是解決等差問題的計(jì)算工具。解析法：an-an-1=d(n2,nN)特殊地，只有三項(xiàng)時(shí)可寫成A-x=y-A即2A=x+y其中A叫做x、y的等差中項(xiàng)，它們是解決等差問題的證明工具。圖像法：an=a1+(n-1)d可改寫成an=dn+a1-d這表明當(dāng)d0時(shí)an是關(guān)于n的一次函數(shù)，因此在直角坐標(biāo)系中等差數(shù)列的圖像是：以d為斜率在y軸上截距為a1-d并且n為自然數(shù)的一條直線上一些分散的點(diǎn)。(3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式已知a1和公差d，則有an=a1+(n-1)d已知am和公差d，則有an=am+(n-m)d(m,nN)(4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)

6、和公式已知a1和an，則有Sn=(nN)已知a1和d，則有Sn=na1+d(nN)(5)等差數(shù)列的性質(zhì)在等差數(shù)列的前n項(xiàng)中，與兩端等距離的兩項(xiàng)之和均相等，即：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=ar+an-r+1=在等差數(shù)列中，若某兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之和是定值，則相應(yīng)的兩項(xiàng)的數(shù)值之和也是定值。即：在等差數(shù)列an中，如果m+n=p+q(m,n,p,qN)，那么，am+an=ap+aq用圖像法表示等差數(shù)列時(shí)，其各點(diǎn)均在以公差d為斜率的一條直線上，即d=(m,nN,mn)等差數(shù)列等距離的取出若干項(xiàng)，仍然是等差數(shù)列。公差為d的等差數(shù)列，按k項(xiàng)分組，每k項(xiàng)之和組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為k2d.即：

7、a1+a2+a3+ak,ak+1+ak+2+a2kank+1+ank+2+ank+k仍是等差數(shù)列。兩個(gè)等差數(shù)列的第n項(xiàng)之比等于前2n-1項(xiàng)之和的比。數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件是an=dn+c(d,c為常數(shù)，nN)數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件是Sn=an2+bn(a,b為常數(shù)，nN)2.等比數(shù)列定義、表示法及性質(zhì)(1)在等比數(shù)列的定義中要準(zhǔn)確地理解，靈活地應(yīng)用公比q，準(zhǔn)確地理解即注意定義中“從第二項(xiàng)起”及“同一個(gè)常數(shù)”的含義，注意公比q不能為零。靈活地應(yīng)用表現(xiàn)在：當(dāng)=q(nN,q為常數(shù))時(shí)，此數(shù)列是等比數(shù)列；表現(xiàn)在當(dāng)q0時(shí)等比數(shù)列各項(xiàng)符號(hào)均相同，當(dāng)q0時(shí)各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間；表現(xiàn)在當(dāng)q1時(shí)數(shù)列每一

8、項(xiàng)取絕對(duì)值后是遞增的，當(dāng)q1時(shí)數(shù)列每一項(xiàng)取絕對(duì)值后是遞減的。(2)如果一個(gè)數(shù)列an是等比數(shù)列，公比為q，那么該數(shù)列可表示為：列表法：a1,a1q,a1q2a1qn-1可簡寫成a1qn-1特殊地，只有三項(xiàng)時(shí)可寫成：,a,aq只有四項(xiàng)時(shí)可寫成：、aq、aq3表示規(guī)律：奇數(shù)項(xiàng)公比為q，偶數(shù)項(xiàng)公比為q2，它們是解決等比數(shù)列問題的計(jì)算工具。解析法：=q(nN,q0)特殊地，只有三項(xiàng)時(shí)可寫成=或G2=xy或G=±其中G叫做x、y的等比中項(xiàng)，它們是解決等比問題的證明工具。圖像法：表示數(shù)列cqn的各點(diǎn)均在指數(shù)函數(shù)y=cqx的圖像上(其中c=)(3)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式已知a1和公比q，則有an=a1q

9、n-1(nN)已知am和公比q，則有an=amqn-m(m,nN)(4)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 na1(q=1) na1(q=1)Sn= 或 (q1) (q1)(5)等比數(shù)列的性質(zhì)在等比數(shù)列的前n項(xiàng)中，與兩端等距離的兩項(xiàng)之積均相等。即：a1·an=a2·an-1=ar·an-r+1=在等比數(shù)列中，若兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之和是定值，則相應(yīng)兩項(xiàng)的數(shù)值之積也是定值。即在等比數(shù)列an中，若m+n=p+q，則am·an=ap·aq(m,n,p,qN)公比為q的等比數(shù)列，按k項(xiàng)分組，每k項(xiàng)之和組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列。從公比為q的等比數(shù)列中，取出等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍

10、是等比數(shù)列。公比為q的等比數(shù)列中，相鄰的k項(xiàng)之和(設(shè)第一項(xiàng)為am)等于前k項(xiàng)之和的qm-1倍。(三)數(shù)列求和數(shù)列求和是中學(xué)數(shù)學(xué)中規(guī)律性很強(qiáng)的一部分內(nèi)容，本單元主要讓學(xué)生掌握數(shù)列求和的常用方法。求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，通常要掌握以下解法：1.倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列an，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。2.錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法。3.分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，或把數(shù)列重新組合或把整個(gè)數(shù)列分成兩部分，使其轉(zhuǎn)化成

11、等差數(shù)列或等比數(shù)列，這一求和方法稱為分組轉(zhuǎn)化法。4.裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消方法。5.公式法求和：所給數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于n的多項(xiàng)式，此時(shí)求和可采用公式法求和。常用公式有：=13+23+33+n3=n2(n+1)2 =1+2+3+n=n(n+1)=12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)(四)數(shù)列的極限1.要深刻地理解數(shù)列極限的定義(1)要記準(zhǔn)定義中字母、符號(hào)的含義及其功能。定義中的是任意給定的正數(shù)，它主要反映an與A接近的程度，因?yàn)榭梢匀我獾男。?/p>

12、以an與A可以無限地接近。N是一個(gè)自然數(shù)，其功能是當(dāng)nN時(shí)有an-A恒成立。顯然對(duì)一個(gè)與其對(duì)應(yīng)的N并不是唯一的，確定N一般以解題簡便為原則。符號(hào)“”表示趨近于，符號(hào)“”表示無窮大，符號(hào)“n”表示n趨近于無窮大，即無限增大的意思。無窮大表示量的變化狀態(tài)，它不是一個(gè)確定的數(shù)，切不要與很大的數(shù)混為一談，更不能進(jìn)行常規(guī)的四則運(yùn)算。(2)要了解定義的幾何意義。數(shù)列an當(dāng)n時(shí)，極限為A的幾何意義為：將數(shù)A與數(shù)列an在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來，再以A為圓心，以為半徑在數(shù)軸上截取兩點(diǎn)A-，A+，如圖，因?yàn)椴坏仁絘n-A相當(dāng)于A-anA+.當(dāng)nN時(shí)，所有的點(diǎn)an落在開區(qū)間(A-，A+)內(nèi)，而只有有限個(gè)(至多

13、只有N個(gè))點(diǎn)疏散在這一區(qū)間外，越小，開區(qū)間(A-，A+)的長度也越小，可見an是凝聚在點(diǎn)A的近旁，這就是an=A2.在使用數(shù)列極限的運(yùn)算法則時(shí)，必須注意以下兩點(diǎn)：(1)參與運(yùn)算的每一個(gè)數(shù)列的極限都是存在的。(2)參與運(yùn)算的數(shù)列的個(gè)數(shù)必須是有限個(gè)。3.無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和(1)定義：公比的絕對(duì)值小于1的無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)的和當(dāng)n無限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，用符號(hào)S表示。(2)公式：S=(q1)(3)注意：此和不同于初等數(shù)學(xué)中有限項(xiàng)的和，它是一個(gè)數(shù)列的極限。4.熟記三個(gè)重要極限(1) C=C(C為常數(shù))(2) =0qn=0(q1)極限的思想方法是人們從有限認(rèn)識(shí)無限，從近似認(rèn)識(shí)精

14、確，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)方法。(五)數(shù)學(xué)歸納法1.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的具體步驟是：(1)證明當(dāng)n取第一值n0(例如n0=1，n0=2等)時(shí)結(jié)論正確。(2)假設(shè)當(dāng)n=k(nN且kn0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。在完成了這兩個(gè)步驟以后，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有的自然數(shù)n都正確。上面的證明第一步是遞推基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩者缺一不可。2.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，難在第二步。即在假設(shè)n=k命題成立時(shí)，推出n=k+1時(shí)命題也成立。要順利地完成這一步，主要依賴于觀察、歸納、恒等變形等方面的能力。在推導(dǎo)證明中必須運(yùn)用到“歸納假設(shè)”，否則不是數(shù)學(xué)歸納法。三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提

15、示例1 設(shè)T1，T2，T3為一組多邊形，其作法如下：T是邊長為1的三角形以Tn的每一邊中間的線段為一邊向外作正三角形，然后將該1/3線段抹去所得的多邊形為Tn+1，如圖所示。令an表示Tn的周長，A(Tn)表示Tn的面積。()計(jì)算T1，T2，T3的面積A(T1)，A(T2)，A(T3)()求(+)的值。解：()A(T1)=·1·1·sin60°=A(T2)=3····sin60°+A(T1)=A(T3)=12····sin60°+A(T2)=()由分析知

16、an=an-1(Tn的邊數(shù)是Tn-1邊數(shù)的4倍且每邊是原來的1/4)故 an=3·()n-1=·()n-1(+)=注：本題綜合考察由圖像的變化中抽象出數(shù)列知識(shí)，由變化情況來分析周長、面積的變化情況，掌握其規(guī)律，將規(guī)律與數(shù)列聯(lián)系起來。求面積時(shí)，要利用面積公式及對(duì)稱性，然后由數(shù)遞推數(shù)列來求答。能力點(diǎn)：由圖像變化聯(lián)系數(shù)列知識(shí)。例2 設(shè)ABC的三邊為a、b、c，其所對(duì)應(yīng)的角為A、B、C，如果a、b、c依次成等差數(shù)列。()求證cos=2sin()求的值。解：()由a、b、c成等差數(shù)列有 2b=a+c由正弦定理 2sinB=sinA+sinC故 2sin·cos=2sin&#

17、183;sin又A+B+C=知cos=sincos=2sin() =cos=2sin，cos=sin原式=注：本題考察數(shù)列與三角的綜合題問題，先利用數(shù)列知識(shí)得出恒等式，然后利用三角恒等變形來解答。例3 某養(yǎng)豬場養(yǎng)的豬，第一年豬的重量增長率是200%，以后每年的重量增長率都是前一年增長率的1/2。()當(dāng)飼養(yǎng)4年后，所養(yǎng)的豬的重量是原來的多少倍?()如果由于各種原因，豬的重量每年損失預(yù)計(jì)重量的10%，那么經(jīng)過多少年后，豬的總重量開始減少?解：()依題意，豬的重量增長率成等比數(shù)利設(shè)原來豬重為a，則四年后a·(1+200%)(1+2·)(1+2··)(1+2&#

18、183;··)=a答：養(yǎng)4年后豬的重量是原來的倍。()由anan+1知 anan(1+)(1-)得 2n-19 n5故5年后豬的重量會(huì)減少。注：本題考察利用等比數(shù)列來解決實(shí)際問題，并利用不等式的知識(shí)，先要能將實(shí)際問題變成數(shù)列問題，然后運(yùn)用數(shù)列知識(shí)解答，同時(shí)又要將實(shí)際問題變成不等式問題，再解不等式。例4 已知等比數(shù)列an中，a1=a0,公比q0且q1，同時(shí)對(duì)于任意自然數(shù)n，都有an1，將以x為未知數(shù)的方程axn·a2n+1·=1稱作方程In.(1)試證明I1，I2，I3有公共解，并求這個(gè)公共解。(2)試證明對(duì)于每一個(gè)給定的自然數(shù)n，方程In除公共解外，還有

19、另一個(gè)解，并求出這個(gè)解進(jìn)一步證明數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列。證明：由a2n+1=anan+2代入方程得anx+1·an+1·an+2=1 即 anx+1·an+2=1化為(an·an+1)1+=1 顯然x=-1是方程的一解。當(dāng)x+10時(shí)，由知，an·an+2=1anx·an+2=1(a·qn-1)x=(a·qn+1)-1x=logaqn-1(aqn+1)-1=-1-為所求除公共解外的另一解。于是=-logqa+(n-1)(-logqa)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可知，數(shù)列，是一以-logqa為首次-logqa為公差的等差數(shù)列。注

20、：本題考察等比數(shù)列與指數(shù)方程及等差數(shù)列的綜合題，訓(xùn)練等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用及特殊方程的解法及證明等差數(shù)列的能力。例5 已知數(shù)列an中，an=(n+2)()n，試問n取何值時(shí)，an取最大值?并求此最大值。解：=·=·=+·當(dāng)且僅當(dāng)n7時(shí)，=1 即a8=a7當(dāng)n7時(shí)，1，即an+1an 有a7a6a1當(dāng)n8時(shí)，1，即an+1an 有a8a9a10故當(dāng)n=7時(shí)或8時(shí)，an取最大值，最大值為.說明：因an是n的函數(shù)，難在an是一個(gè)一次函數(shù)(n+2)與一個(gè)指數(shù)函數(shù)()n的積，所以從一次函數(shù)或指數(shù)函數(shù)增減性看，一增一減積不確定。但nN，試從an與an+1的大小入手。例6 有四個(gè)數(shù)

21、，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)。解1：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為a-d,a,a+d, a-d+=16 a=4 a=9由條件有 解得 或 a+a+d=12 d=4 d=-6當(dāng)a=4,d=4時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為0，4，8，16當(dāng)a=9,d=-6時(shí)，所求四個(gè)數(shù)15，9，3，1解2：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為-a, ,a,aq(a0) -a+aq=16 q=2 q=由條件有 解得 或 +a=12 a=8 a=3當(dāng)q=2,a=8時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為0，4，8，16當(dāng)q=,a=3時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為15，9，3，1解3：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為x,y,12-y,1

22、6-x 2y=x+(12-y) x=0 x=15由條件有 解得 或 (12-y)2=y·(16-x) y=4 y=9故所求四個(gè)數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1說明：如何設(shè)這四個(gè)數(shù)，對(duì)解法的優(yōu)劣會(huì)產(chǎn)生影響，充分利用已知條件的特征，合理地減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，可簡化運(yùn)算。充分利用只有三項(xiàng)的等差、等比數(shù)列解析表達(dá)式的特征及題中所給的等量條件，合理地選取未知數(shù)及未知數(shù)的表達(dá)形式是解決這類問題的關(guān)鍵，解法1突出使用等差數(shù)列的計(jì)算工具，解法2突出使用等比數(shù)列的計(jì)算工具，解法3合理地選取未知數(shù)及未知數(shù)的表達(dá)形式。例7 數(shù)列an為等差數(shù)列，且Sn的最大值為S7，a7a8，求使Sn0的n的最大值。解

23、：由題意可知：a10,d0 a7a8 a80又S7是Sn的最大值，a7,a80 d0 a1+6d0 -6有 a1+7d0 a1+6d-(a1+7d)Sn0 na1+d=n2+(a1-)n00 n2+(2·-1)n 又nNn1- -13-12131-14故當(dāng)1-=13時(shí)，使Sn0的n的最大值為12.當(dāng)131-14時(shí)，使Sn0的n的最大值為13.說明：在等差數(shù)列中，當(dāng)a10,d0時(shí)，解不等式組 an0 an+10可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值，當(dāng)a10，d0時(shí)解不等式組an0 可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值。an+10例8 某種汽車(A)購車費(fèi)用10萬元，(B)每年應(yīng)交保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)合計(jì)

24、9千元，(C)汽車的維修費(fèi)平均為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元各年的維修費(fèi)平均數(shù)組成等差數(shù)列，問此種汽車使用多少年報(bào)廢最合算(即使多少年，年平均費(fèi)用最少)并分析A、B、C三筆費(fèi)用分別對(duì)選擇最合算的使用年限的影響。解：設(shè)選擇n年最合算，則年平均費(fèi)用(單位：萬元)為：S =(0.2+0.4+0.2n)+10+0.9n=·n+10+0.9n=n+0.1n2+10=+12+1=3當(dāng)且僅當(dāng)=即n=10時(shí)取等號(hào)。故汽車使用10年報(bào)廢最合算，年平均費(fèi)用為3萬元。(A)購買車費(fèi)越高使用年限越長。(B)為一常量，不影響使用時(shí)間。(C)維修費(fèi)用遞增越快，使用時(shí)間越短。說明：解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立

25、數(shù)學(xué)模型，本題的數(shù)學(xué)模型是：年平均費(fèi)=n年的維修費(fèi)+購車費(fèi)+n年的保養(yǎng)費(fèi)、汽油費(fèi)此題只要把模型中的量具體化就可得相應(yīng)的解析式。本題是數(shù)列與最值的綜合應(yīng)用題。例9 某下崗職工準(zhǔn)備開辦一個(gè)商店，要向銀行貸款若干，這筆貸款按復(fù)利計(jì)算(即本年利息計(jì)入下一年的本金生息)，利率為q(0q1)，據(jù)他的估算，貸款后每年可償還A元，30年后還清。(1)求貸款金額(2)若貸款后前7年暫不償還，從第8年開始，每年償還A元，仍然在貸款后30年還清，試問：這樣一來，貸款金額比原貸款金額要少多少元?解：設(shè)貸款金額為x元，則1年后欠款為a1=x(1+q)-A元。2年后欠款為a2=a1(1+q)-A=x(1+q)2-A(1+

26、q)+13年后欠款為a3=a2(1+q)-A=x(1+q)3-A(1+q)2+(1+q)+1仿此，30年后欠款為a30=x(1+q)30-A(1+q)29+(1+q)28+1a30=0x(1+q)30=Ax=· (元)(2)設(shè)第8年開始償還的這種貸款金額為y元，則8年后欠款為b8=y(1+q)8-A9年后欠款為b9=b8(1+q)-A=y(1+q)9-A(1+q)+A仿此，30年后欠款為b30=y(1+q)30-A(1+9)22+(1+q)21+1b3=0y(1+q)30=A(1+q)22+(1+q)21+1y=·(元)故x-y=·1-(元)說明：因貸款利息按復(fù)利

27、計(jì)算，所以貸款后每年本息各不相同，該職工欠款逐年減少，直至30年后還清，即此問題應(yīng)建立數(shù)學(xué)模型。例10 某地區(qū)現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%，如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃?(精確到1公頃)(糧食單產(chǎn)=總產(chǎn)量/耕地面積，人均糧食占有量=總產(chǎn)量/總?cè)丝跀?shù))解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃，該地區(qū)現(xiàn)有人口為A人，人均糧食占有量為b噸，由題意可得不等式：(1+0.22) 化簡可得104-10x即xx4(公頃)按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。說明：建立本題數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是：10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在

28、增加22%，由題意設(shè)現(xiàn)在總?cè)丝跒锳人，人均糧食占有量為b噸，現(xiàn)在耕地共有104公頃，于是現(xiàn)在的糧食單產(chǎn)量噸/公頃，10年后總?cè)丝跒锳(1+0.01)10，人均糧食占有量b(1+0.1)噸，若設(shè)平均每年允許減少x公頃，則10年后耕地共有(104-10x)公頃，于是10年后糧食單產(chǎn)量為噸/公頃，由糧食單產(chǎn)10年后比現(xiàn)在增加22%得不等式(1+0.22)即所建的數(shù)學(xué)模型。例11 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=10n-n2(nN)數(shù)列bn的每一項(xiàng)都有bn=an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn的公式。解：當(dāng)n=1時(shí)，an=S1=9當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=11-2n,又11-2×1=9=a1an

29、=11-2n(nN)令an0 則11-2n01n5(nN)(1)當(dāng)1n5(nN)時(shí)，an=11-2n，即bn=an=an=11-2n此時(shí)bn是首項(xiàng)為9，公差為-2的等差數(shù)列Tn=9n+(-2)=10n-n2(2)當(dāng)n6(nN)時(shí)，bn=an=-an=2n-11此時(shí)bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列。Tn=10×5-52+(n-5)·1+×2=n2-10n+5 10n-n2 (1n5,nN故Tn= n2-10n+5 (n,nN)說明：由題設(shè)bn=an而知，本題要使用分類討論思想來求前n項(xiàng)和Tn。例12 求和：1+11+111+解：=1+10+102+103+10n=

30、(10n-1)1+11+111+111=(10-1)+(102-1)+(103-1)+(10n-1)=(10+102+103+10n)-n=()-n=說明：先求出通項(xiàng)公式即an=(10n-1)，再把其轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列及一個(gè)常數(shù)列求和，數(shù)列=a,或數(shù)列：0.a,0. ,0. ,(1a9)均可依上法求和。例13 已知數(shù)列an中，an=，前n項(xiàng)和Sn，試比較Sn與2的大小。解：Sn=+又Sn=+Sn=(+)-=1-即Sn=2-2說明：Sn隨n增大而增大。不宜用遞推與常數(shù)2直接比大小。考慮先求和，宜用錯(cuò)項(xiàng)相減法，對(duì)等差、等比對(duì)應(yīng)項(xiàng)積構(gòu)成新數(shù)列均有效。例14 求和：×××

31、（n-1）(2n)2解：(2k-1)(2k)2=8k3-4k2(kN)Sn=(8k3-4k2)=8k3-4k2=8×n2(n+1)2-4×n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(3n2+n-1)說明：若通項(xiàng)是關(guān)于n的多項(xiàng)式的乘積，首先展開整理為n的多項(xiàng)式，然后利用自然數(shù)，自然數(shù)平方和立方和等公式求數(shù)列的和。例15 已知數(shù)列an的相鄰兩項(xiàng)an,an+1是方程x2-cnx+()n=0的兩根(nN)且a1=2,Sn=c1+c2+cn (1)求an (2)求S2n解：an,an+1是方程x2-cnx+()n=0的兩根anan+1=()n,an+an+1=cn又 a1=2 a2=同理

32、 an+1,an+2是方程x2-cn+1x+()n+1=0的兩根an+1an+2=()n+1取立得=即a1,a3,a5是公比為的等比數(shù)列，a2,a4,a6是公比為的等比數(shù)列。當(dāng)n=2k-1時(shí)a1=2 a2k-1=2·()k-1,即an=2·()當(dāng)n=2k時(shí)，a2= a2k=()k-1,即an=()-1 2·()(n為奇數(shù))(1)an= ()-1(n為偶數(shù)) (2)cn=an+an+1 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+1為偶數(shù)，有cn=2·()+()-1=()當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n+1為奇數(shù)，有cn=()-1+2()=()-1c1,c3c2n-1為首項(xiàng)c1=，公比為的等比數(shù)列

33、；c2,c4c2n為首項(xiàng)c2=，公比為的等比數(shù)列故 S2n=c1+c2+c3+c4+c2n-1+c2n=(c1+c3+c2n-1)+(c2+c4+c2n)=+=1-()n說明：由an,an+1滿足的條件建立an,an+1的等式，逐步求出an及S2n.例16 用極限定義證明：=3證明： =(n2)設(shè)是任意給定的正數(shù)，要使成立，只要成立，即n成立，取N是的整數(shù)部分，當(dāng)nN時(shí)恒成立，=3說明：用定義證明數(shù)列的極限常使用分析法，關(guān)鍵是確定N，求N的方法有(1)直接解不等式an-A，求出nN()，其中N是N()的整數(shù)部分。(2)當(dāng)an-A不易解出n可用放大法(不能縮小)即an-Abn然后解不等式bn，求

34、出nN()，N是N()的整數(shù)部分。例17 如圖，在RtABC中，B=90°，tgC=，AB=a，在ABC內(nèi)作一系列的正方形求所有這些正方形面積的和S.解：設(shè)第n個(gè)正方形的邊長為an，由三角形相似可得=(其中Sn=a1+a2+an)AB=a,tgC=,BC=2a于是有=，即Sn=2a-2an當(dāng)n2時(shí)，有an=Sn-Sn-1=-2an+2an-1，即3an=2an-1=tgC=AB=a=a1+a1a21=a2，故數(shù)列an2是首項(xiàng)為a2，公比為的無窮等比數(shù)列.且1 S=a2說明：應(yīng)用公式S=解決實(shí)際問題時(shí)，(1)要證明組成的數(shù)列是無窮等比數(shù)列，并確定a1和q.(2)要證明q1.(3)代入公

35、式化簡.例18 已知數(shù)列an、bn都是正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p、q，其中pq且p1,q1設(shè)cn=an+bn,Sn為數(shù)列cn的前n項(xiàng)和.求解：數(shù)列an,bn是等比數(shù)列且an0,bn0,p1,q1又Sn=+=于是=當(dāng)p1時(shí)，有0qp1 =1當(dāng)p1時(shí)，有01,01=p說明：本題應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得的解析式后使用重要極限qn=0進(jìn)行計(jì)算，因?yàn)楣仁怯米帜副硎?，所以要注意分類討論。?9 求證：二項(xiàng)式x2n-y2n(nN)能被x+y整除證明：當(dāng)n=1時(shí)，x2-y2=(x+y)(x-y) 能被x+y整除。假設(shè)n=k時(shí)，x2k-y2k能被x+y整除。那么 n=k+1時(shí)即 x2k+2-y2

36、k+2=x2·x2k-x2y2k+x2·y2k-y2·y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)x2k-y2k與x2-y2都能被x+y整除x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除即n=k+1時(shí)，x2k+2-y2k+2能被x+y整除由可知，對(duì)任意的自然數(shù)n命題均成立。說明：由假設(shè)設(shè)以x2k+2為主進(jìn)行拼湊，即減去x2y2k加上x2y2k然后重新組合，目的是拼湊出n=k的歸納假設(shè)，剩余部分仍然能被x+y整除。例20 已知：x-1且x0,nN,n2 求證：(1+x)n1+nx證明：當(dāng)n=2時(shí)，不等式左邊=(1+x)2=1+2x+x2 右邊=1

37、+2xx20 原不等式成立假設(shè)n=k(2)時(shí)，原不等式成立即(1+x)k1+kx成立那么當(dāng)n=k+1時(shí)，x-1，1+x0于是有(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x (kx20)即n=k+1時(shí)，原不等式成立由可知，對(duì)任何nN(n2)，原不等式均成立。例21 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且滿足a1=1，3Sn=(n+2)an對(duì)一切自然數(shù)n都成立?試證明你的結(jié)論。解：設(shè)存在a,b,c符合條件，則令n=1，有a1=a+b+c=1 令n=2，有3(a1+a2)=(2+2)a2 得a2=3

38、有a2=4a+2b+c=3 令n=3，有3(a1+a2+a3)=(3+2)a3 得a3=6 有a3=9a+3b+c=6 a+b+c=1聯(lián)立 4a+2b+c=3 解得a=,b=,c=0 9a+3b+c=6對(duì)n=1,2,3存在a,b,c使得an=n(n+1)且滿足a1=1,3Sn=(n+2)an成立，推測(cè)nN時(shí)，存在a,b,c使得an=n(n+1)且滿足a1=1,3Sn=(n+2)an成立。證明：當(dāng)n=1時(shí)，由上述推測(cè)成立假設(shè)n=k時(shí)，推測(cè)成立，即ak=k(k+1)且滿足a1=1,3Sk=(k+2)ak，那么ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)+2ak+1-(k+2)ak=(k+3)ak+1-(k

39、+2)k(k+1)則6ak+1=2(k+3)ak+1-(k+2)k(k+1)所以ak+1=(k+1)(k+2)即n=k+1時(shí)，推測(cè)也成立由知nN時(shí)，推測(cè)都成立。說明：存在性問題的常規(guī)思路，先假設(shè)存在，再進(jìn)行演繹推理若結(jié)果合理即肯定，反之否定，又因?yàn)榇祟}涉及自然數(shù)，故實(shí)施時(shí)，先特殊探求，推測(cè)一般結(jié)論，用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的真實(shí)性。四、能力訓(xùn)練(一)選擇題1.在等差數(shù)列an中，若a3+a9+a15+a17=8，則an等于( )A.1 B.-1 C.2 D.-22.已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比q1，設(shè)P=，Q=則P與Q的大小關(guān)系是( )A.PQ B.PQ C.P=Q D.無法確定3.等差數(shù)列

40、an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，對(duì)一切自然數(shù)n，都有=，則等于( )A. B. C. D.4.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=3n-50，則其前n項(xiàng)和Sn的最小值是( )A.-784 B.-392 C.-389 D.-3685.公差不為0的等差數(shù)列an中，a2，a3，a6依次成等比數(shù)列，則公比等于( )A. B. C.2 D.36.數(shù)列1，的前100項(xiàng)和等于( )A.13 B.13 C.14 D.147.非零實(shí)數(shù)x，y，z成等差數(shù)列，x+1，y，z，與x，y，z+2分別成等比數(shù)列，則y=( )A.10 B.12 C.14 D.168.無窮數(shù)列各項(xiàng)的和等于( )A.1 B. C. D.9.無窮

41、等比數(shù)列an中，a1=，q=設(shè)Tn=a22+a24+a26+a22n，則Tn等于( )A. B. C.2 D.110.已知等比數(shù)列an中，a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=-3，Sn=a1+a2+a3+an，則Sn等于( )A. B. C.6 D.12(二)填空題11.已知數(shù)列an中，a1=1，=+ (nN)，則a50=_.12.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+3n+1，則a1+a3+a5+a21=_.13.在等差數(shù)列an中S6=0 (d0)，如果am，am+1，a2m成等比數(shù)列，則m的值等于_.14.已知數(shù)列an滿足a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)，則它的前n項(xiàng)和

42、Sn=_.15.已知數(shù)列an滿足Sn=an2+bn (nN)，那么數(shù)列an是_數(shù)列.(三)解答題16.數(shù)列an，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=5n+1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=2，求這個(gè)數(shù)列的前2m項(xiàng)的和.17.數(shù)列an為等差數(shù)列，為公差；數(shù)列sinn是等比數(shù)列，公比為q，又nR，R，且sin10，求公差和公比q.18.已知a1，a2，a3，a4成等差數(shù)列，b1，b2，b3，b4成等比數(shù)列，且a1+b1=15，a2+b2=14，a3+b3=15，a4+b4=20，求等差數(shù)列an的公差d及等比數(shù)列bn的公比q.19.已知數(shù)列an中，a1=，Sn=n2·an (nN)()求a2，a3，a4的值；()推

43、測(cè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；()求Sn.20.是否存在常數(shù)a，b使等式1·n+2(n-1)+3(n-2)+(n-2)·3+(n-1)·2+n·1=n(n+a)(n+b)對(duì)一切自然數(shù)N都成立，并證明你的結(jié)論.參考答案(一)1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.B 9.A 10.A提示：1.3+9+15+17=44，a3+a9+a15+a17=4a11. 即4a11=8，a11=2.2.Q=，各項(xiàng)為正，q1， ，即PQ.3.=.4.an=3n-500，n16，a16=-2，又a1=-47，當(dāng)n=16時(shí)Sn最小，

44、5;16(-47-2)=-392.6.第100項(xiàng)是分母是14的第9個(gè). 故S100=13+×9=13.7.由已知條件得 2y=x+z 2y=x+z y2=(x+1)z y2=(x+1)z 求得 y2=x(z+2) z=2x.y=12.8.=(-).Sn=(1-+-+-)=(1-).Sn=.9.a2=a1q=，故a22=，q2=.Tn=.10.由a1+a2+a3=9，又(a1+a2+a3)q3=-3.=-3，q3=-.Sn=.(二)11. 12.265. 13.4.14.(n2+3n). 15.等差.提示：11.=1，-=. =1+(50-1)=，故a50=.12.a1=S1=5，an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2 5， n=1 an= 2n+2， n2.an從第2項(xiàng)開始成等差數(shù)列.又 a3=8，a5=12，d=4，a21=44.a1+a3+a5+a21=a1+=5+