高考數(shù)學(xué)一輪匯總訓(xùn)練《第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算》理新人教A

1、 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解向量的實(shí)際背景2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義3.理解向量的幾何表示4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.1.主要考查平面向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算、共線向量定理的理解和應(yīng)用，如2012年浙江T5，遼寧T3等2.考查題型為選擇題或填空題.歸納·知識整合1向量的有關(guān)概念名稱定義向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或稱模)零向量長度為零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量記作0單位向量長度等于1個單位

2、的向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共線向量規(guī)定：0與任一向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量相反向量長度相等且方向相反的向量探究1.兩向量共線與平行是兩個不同的概念嗎？兩向量共線是指兩向量的方向一致嗎？提示：方向相同或相反的一組非零向量，叫做平行向量，又叫共線向量，是同一個概念顯然兩向量平行或共線，其方向可能相同，也可能相反2兩向量平行與兩直線(或線段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共線向量，這里的“平行”與兩直線(或線段)平行的意義不同，兩向量平行時，兩向量可以在同一條直線上2向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算(1)交

3、換律：abba(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|(2)當(dāng)0時，a與a的方向相同；當(dāng)0時，a與a的方向相反；當(dāng)0時，a0( a)( ) a()aa a(ab)ab探究3.0與a0時，a的值是否相等？提示：相等，且均為0.4若|ab|ab|，你能給出以a，b為鄰邊的平行四邊形的形狀嗎？提示：如圖，說明平行四邊形的兩條對角線長度相等，故四邊形是矩形3共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實(shí)數(shù)，使得ba.探究5.當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立嗎？提示：成立自測&

4、#183;牛刀小試1下列說法中正確的是()A只有方向相同或相反的向量是平行向量B零向量的長度為零C長度相等的兩個向量是相等向量D共線向量是在一條直線上的向量解析：選B由于零向量與任意向量平行，故選項A錯誤；長度相等且方向相同的兩個向量是相等向量，故C錯誤；方向相同或相反的兩個非零向量是共線向量，故D錯誤2.(教材習(xí)題改編)D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量等于()ABC D解析：選A如圖，由于D是AB的中點(diǎn)，所以.3如圖，e1，e2為互相垂直的單位向量，則向量ab可表示為()A3e2e1B2e14e2Ce13e2D3e1e2解析：選C連接a，b的終點(diǎn)，并指向a的終點(diǎn)的向量是ab.4(教材習(xí)題改

5、編)點(diǎn)C在線段AB上，且，則_，_.解析：如圖，.答案：5(教材習(xí)題改編)化簡的結(jié)果為_解析：()().答案：向量的概念例1給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab；若ab，bc，則ac.其中正確命題的序號是()ABC D自主解答不正確，長度相等，但方向不同的向量不是相等向量正確，|且，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，.正確ab，a，b的長度相等且方向相同；又bc，b，c的長度相等且方向相同，a

6、，c的長度相等且方向相同，故ac.不正確當(dāng)ab時，也有|a|b|且ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件不正確未考慮b0這種特殊情況綜上所述，正確命題的序號是.答案A解決平面向量概念辨析題的方法解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心方向和長度，如，共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；相等向量的核心是方向相同且長度相等；單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；零向量的核心是方向沒有限制，長度是0；規(guī)定零向量與任意向量共線只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問題1設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個向量，則a|a|a0；若a與a0

7、平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題的個數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個數(shù)是3.向量的線性運(yùn)算例2在ABC中，(1)若D是AB邊上一點(diǎn)，且2，則()A.B.CD(2)若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且20，那么()A B2C3 D2自主解答(1)法一：由2得2()，即，所以.法二：因為()，所以.(2)因為D是BC邊的中點(diǎn)，所以有2，所以22

8、22()00.答案(1)A(2)A在本例條件下，若|2，則|為何值？解：|，ABC為正三角形|2.平面向量線性運(yùn)算的一般規(guī)律(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理(2)在求向量時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解2如圖，在OAB中，延長BA到C，使ACBA，在OB上取點(diǎn)D，使DBOB.設(shè)a，b，用a，b表示向量，.解：22()22ab.(2ab)b2ab.共線向量定理的應(yīng)

9、用例3設(shè)兩個非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線自主解答(1)ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)，2a8b3a3b5(ab)5.、共線，又它們有公共點(diǎn)B，A、B、D三點(diǎn)共線(2)kab與akb共線，存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共線的兩個非零向量，kk10，k210，k±1.1共線向量定理及其應(yīng)用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值(2)若a，b不共線，則ab0的充要條件是0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛2

10、證明三點(diǎn)共線的方法若，則A、B、C三點(diǎn)共線3已知a，b不共線，a，b，c，d，e，設(shè)tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請說明理由解：由題設(shè)知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因為a，b不共線，所以有解之得t.故存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上1個規(guī)律向量加法規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點(diǎn)指向最后一個向量終點(diǎn)的向量，即.特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量

11、和為零向量2個結(jié)論向量的中線公式及三角形的重心(1)向量的中線公式若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則()(2)三角形的重心已知平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、C，()G是ABC的重心，特別地，0P為ABC的重心3個等價轉(zhuǎn)化與三點(diǎn)共線有關(guān)的等價轉(zhuǎn)化A，P，B三點(diǎn)共線 (0) (1t)·t (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，tR) xy (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，xR，yR，xy1)4個注意點(diǎn)向量線性運(yùn)算應(yīng)注意的問題(1)用平行四邊形法則進(jìn)行向量加法和減法運(yùn)算時，需將向量平移至共起點(diǎn)；(2)作兩個向量的差時，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)；(3)在向量共線的重要條件中要

12、注意“a0”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個；(4)要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系. 創(chuàng)新交匯以平面向量為背景的新定義問題1從近幾年新課標(biāo)省份的高考可以看出，高考以新定義的形式考查向量的概念及線性運(yùn)算的頻率較大，且常與平面幾何、解析幾何、充要條件等知識交匯，具有考查形式靈活，題材新穎，解法多樣等特點(diǎn)2解決此類問題，首先需要分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，通過轉(zhuǎn)化思想解決，這是破解新定義信息題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在典例(2011·山東高考)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若(R)， (R)，且2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2·已

13、知點(diǎn)C(c,0)，D(d,0)(c，dR)調(diào)和分割點(diǎn)A(0,0)，B(1,0)，則下面說法正確的是()AC可能是線段AB的中點(diǎn)BD可能是線段AB的中點(diǎn)CC，D可能同時在線段AB上DC，D不可能同時在線段AB的延長線上解析根據(jù)已知得(c,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(c,0)(1,0)，從而得c；(d,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(d,0)(1,0)，得d.根據(jù)2，得2.線段AB的方程是y0，x0,1若C是線段AB的中點(diǎn)，則c，代入2得，0，此等式不可能成立，故選項A的說法不正確；同理選項B的說法也不正確；若C，D同時在線段AB上，則0<c1,0<d1，此時1，1

14、，2，若等號成立，則只能cd1，根據(jù)定義，C，D是兩個不同的點(diǎn)，故矛盾，故選項C的說法也不正確；若C，D同時在線段AB的延長線上，若c>1，d>1，則<2，與2矛盾，若c<0，d<0，則是負(fù)值，與2矛盾，若c>1，d<0，則<1，<0，此時<1，與2矛盾；故選項D的說法是正確的答案D1本題具有以下創(chuàng)新點(diǎn)(1)命題背景新穎：本題為新定義題目，用新定義考查考生閱讀能力與知識遷移能力(2)考查知識新穎：本題把坐標(biāo)系、向量、點(diǎn)與線段的位置關(guān)系通過新定義有機(jī)結(jié)合在一起，能較好地考查學(xué)生的閱讀理解能力和解決問題的能力2解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn)解決

15、本題的關(guān)鍵是抓住兩條：一是A1，A2，A3，A4四點(diǎn)共線；二是2，同時應(yīng)用排除法1定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下：對任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp，下面說法錯誤的是()A若a與b共線，則ab0BabbaC對任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(a·b)2|a|2|b|2解析：選B若a與b共線，則有mqnp0，故A正確；因為bapnqm，而abmqnp，所以有abba，故B錯誤；因為a(m，n)，所以(a)bmqnp.又(ab)(mqnp)(a)b，故C正確；因為(ab)2(a·b)2(mqnp)2(mpnq)2(m2n2)(p2q2)|a|2|b|

16、2，故D正確2已知點(diǎn)A、B、C是直線l上不同的三個點(diǎn)，點(diǎn)O不在直線l上，則關(guān)于x的方程x2x0的解集為()AB1C. D1,0解析：選A由條件可知，x2x不能和共線，即使x0時，也不滿足條件，所以滿足條件的x不存在一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1.如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則()AabB.abC.ab D.ab解析：選Bab，又3，(ab)，b(ab)ab.2設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，2，則()A0B0C0 D0解析：選B如圖，根據(jù)向量加法的幾何意義，2P是AC的中點(diǎn)，故0.3已知向量p，其中a、b均為非零向量，則|p|的取值范圍是()A0， B0,1C(0,

17、2 D0,2解析：選D與均為單位向量，當(dāng)它們同向時，|p|取得最值2，當(dāng)它們反向時，|p|取得最小值0.故|p|0,24已知四邊形ABCD中，|，則這個四邊形的形狀是()A平行四邊形 B矩形C等腰梯形 D菱形解析：選B由可知AB綊CD，所以四邊形ABCD為平行四邊形由|知對角線相等，所以平行四邊形ABCD為矩形5(2013·保定模擬)如圖所示，已知點(diǎn)G是ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且x，y，則的值為()A3 B.C2 D.解析：選B(特例法)利用等邊三角形，過重心作平行于底面BC的直線，易得.6設(shè)D、E、F分別是ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且2

18、，2，2，則與 ()A反向平行B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：選A由題意得，因此()，故與反向平行二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點(diǎn)，則_(用a，b表示)解析：由3得433(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab8設(shè)a，b是兩個不共線的非零向量，若8akb與ka2b共線，則實(shí)數(shù)k_.解析：因為8akb與ka2b共線，所以存在實(shí)數(shù)，使8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0.又a，b是兩個不共線的非零向量，故解得k±4.答案：±49(2013·淮陰模擬)已知ABC和點(diǎn)M滿足0.若存在實(shí)

19、數(shù)m使得m成立，則m_.解析：由題目條件可知，M為ABC的重心，連接AM并延長交BC于D，則，因為AD為中線，則23，所以m3.答案：3三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10已知P為 ABC內(nèi)一點(diǎn)，且3450，延長AP交BC于點(diǎn)D，若a，b，用a、b表示向量，.解：a，b，又3450.34(a)5(b)0，ab.設(shè)t (tR)，則tatb.又設(shè)k (kR)，由ba，得k(ba)而a.ak(ba)(1k)akb由得解得t.代入得ab.ab，ab.11設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求證：A、C、D三點(diǎn)共線；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三點(diǎn)共線，求k的值解：(1)證明：e1e2，3e12e2，8e12e2，4e1e2(8e12e2)，與共線又與有公共點(diǎn)C，A、C、D三點(diǎn)共線(2) (e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C