三角函數(shù)最值問題的幾種常見類型(共8頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 求三角函數(shù)最值問題的幾種常見類型 1： 此類函數(shù)利用即可求解，顯然例1 求的最大值與最小值 例. 在直角三角形中，兩銳角為A和B，求的最大值。解：由，得，則當(dāng)時(shí)，有最大值。2y=asinx+bcosx型的函數(shù)特點(diǎn)是含有正余弦函數(shù)，并且是一次式。解決此類問題的指導(dǎo)思想是把正、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為只有一種三角函數(shù)。應(yīng)用課本中現(xiàn)成的公式即可：y=sin(x+)，其中例1（2004年全國(guó)，理4）函數(shù)在區(qū)間0，上的最小值為_。解析 ： =2（） =2（）=2 因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，易知y的最小值為答案 所以應(yīng)填“1”。例2已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxc

2、osx(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值；(3)若當(dāng)x，時(shí)，f(x)的反函數(shù)為f1(x)，求f-1(1)的值.解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期T=(2)當(dāng)2x+=2k，即x=k (kZ)時(shí)，f(x)取得最小值2.(3)令2sin(2x+)=1，又x,2x+,2x+=，則x=，故f-1(1)= .3y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函數(shù)。 此類函

3、數(shù)可先降次，再整理轉(zhuǎn)化形式解決，例求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值時(shí)的x的集合。4y=asin2x+bcosx+c型的函數(shù)特點(diǎn)是含有sinx, cosx，并且其中一個(gè)是二次，處理方式是應(yīng)用sin2x+cos2x=1,使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù)，再應(yīng)用換元法，轉(zhuǎn)化成形如的二次函數(shù)來求解。例是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+a·cosx+a在閉區(qū)間0，上的最大值是1？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值；若不存在，試說明理由.綜合上述知，存在符合題設(shè)5y=型的函數(shù) 特點(diǎn)是一個(gè)分式，分子、分母分別會(huì)有正、余弦的一次式。幾乎所有的分式型都可以通過分子，分母

4、的化簡(jiǎn)，最后整理成這個(gè)形式，它的處理方式有多種，如利用萬能公式換元后用判別式處理。例求函數(shù)y=的最大值和最小值。解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+)=， |sin(x+)|1, 1，解出y的范圍即可。 解法2：表示的是過點(diǎn)(2, 2)與點(diǎn)(cosx, sinx)的斜率，而點(diǎn)(cosx, sinx)是單位圓上的點(diǎn)，觀察圖形可以得出在直線與圓相切時(shí)取極值。 解法3：應(yīng)用萬能公式設(shè)t=tg() 則y=，即(2-3y)t2-2t+2-y=0 根據(jù)0解出y的最值即可。 可看作是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)P與Q連線的斜率，設(shè)直線的方程為 即，則圓心（0,0）到它的距離 解得或 【附】

5、： 求的值域（反解法） 又 函數(shù)的值域 利用正（余）弦函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化為以函數(shù)y為主元的不等式，是解決這類問題的最佳方法。例. 求函數(shù)的最大值和最小值。解：由已知得，即，所以因，即解得，故6y=sinxcos2x型的函數(shù)。 它的特點(diǎn)是關(guān)于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)不涉及三次函數(shù)的最值問題，故幾乎所有的三次式的最值問題（不只是在三角）都用均值不等式來解（沒有其它的方法）。但需要注意是否符合應(yīng)用的條件（既然題目讓你求，多半是符合使用條件的，但做題不能少這一步），及等號(hào)是否能取得。 例、如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點(diǎn)處的照

6、度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離 r的平方成反比，即I=k·，其中 k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？ 解：R=rcos，由此得：，注：本題的角和函數(shù)很難統(tǒng)一，并且還會(huì)出現(xiàn)次數(shù)太高的問題。 7含有“的三角函數(shù)的最值問題此類函數(shù)的常用解決方法是將轉(zhuǎn)化為的函數(shù)關(guān)系，并應(yīng)用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx進(jìn)行轉(zhuǎn)化最終劃歸為二次函數(shù)的最值問題。解此類型最值問題通常令例求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。 解：令sinx+cosx=t,(- t)，則1+2sinxcosx=t2，所以 2sinxcosx=t2-1, 所以y=t2-1+t=(t+)2-. 根據(jù)二次函數(shù)的圖象，解出y的最大值是1+。 求函數(shù)的最值。 8：利用函數(shù)單調(diào)性求最值 求的最值及對(duì)應(yīng)的的集合 ：將分子展開轉(zhuǎn)化為的形式來解決 令則且設(shè) 窗體頂端9、形如的形式 例4. 求函數(shù)的最大值和最小值。解：由，得，即此題是利用了分離分母的方法求解的。例1：求函數(shù)的值域。解：由變形為，知，則有，則此函數(shù)的值域是利用函數(shù)的有界性求解10、形如的形式 例5. 求的最小值。解：設(shè)，則。從圖2中可以看到在區(qū)間上是減函數(shù)（也可以利用函數(shù)的單調(diào)性定義來證明這一結(jié)論）。