向量的乘法（課堂PPT）

1、1 第三節(jié)第三節(jié) 向量的乘法向量的乘法v一、向量的數(shù)量積一、向量的數(shù)量積v二、向量的向量積二、向量的向量積v三、向量的混合積三、向量的混合積v四、小結(jié)、思考題四、小結(jié)、思考題2 一一物物體體在在常常力力F作作用用下下沿沿直直線線從從點(diǎn)點(diǎn)1M移移動(dòng)動(dòng)到到點(diǎn)點(diǎn)2M，以以s表表示示位位移移，則則力力F所所作作的的功功為為 cos|sFW (其中其中 為為F與與s的夾角的夾角)實(shí)例實(shí)例一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積s1McosFF 2M啟示啟示 我們可以定義我們可以定義向量的一種乘法運(yùn)算向量的一種乘法運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.3,Prcos|bjb

2、a ,Prcos|ajab 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積點(diǎn)積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.aaa=0，有，有0顯然，對(duì)任何向量顯然，對(duì)任何向量 = 0 ajbbabPr| .Pr|bjaa 由此得由此得 baeababajPr cos|baba (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)定義定義4推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式abba如右圖如右圖,由余弦定理得由余弦定理得:22221cosbababa設(shè)設(shè),zyxzyxbbbbaaaa則上式可寫成則上式可寫成 22222222221zzyyxxzyxzyxbabababbbaaacosbazzyyxxbababa5于是于是 zzyyxxzyxz

3、yxbabababbbaaaba,如果如果cba,是任意向量是任意向量,是任意實(shí)數(shù)是任意實(shí)數(shù),那么那么,2aaababaabbacabacba交換律交換律數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律分配律分配律運(yùn)算律運(yùn)算律:6,|cosbaba222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦滿足兩向量夾角余弦滿足若向量若向量a與與b夾角夾角,2則稱則稱a與與b正交正交(或垂直或垂直),記作記作ba,zyxzyxbbbbaaaa若若則則70ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba )(,ba , 0cos . 0cos| baba證證 ,2 ,2 定理定

4、理若若a與與b有一個(gè)為有一個(gè)為0,結(jié)論顯然成立結(jié)論顯然成立不妨設(shè)不妨設(shè)0,ba8,zyxzyxbbbbaaaa若若則則 ba0 zzyyxxbababa定理的坐標(biāo)形式為定理的坐標(biāo)形式為9例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求，求（1）ba ；（2）a與與b的夾角；的夾角；（3）a在在b上的投影上的投影.解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 10例例2 已知點(diǎn)已知點(diǎn)M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2)

5、,求求AMBMBMA解解 AMB可以看成向量可以看成向量與與的夾角的夾角,而而MA =(2-1,2-1,1-1)=(1,1,0)MB =(2-1,1-1,2-1)=(1,0,1)故故MA MB =11+10+01=1MAMB,20112222101222帶入公式帶入公式21|cosMBMAMBMAbaba3AMB111213 設(shè)設(shè)O為為一一根根杠杠桿桿L的的支支點(diǎn)點(diǎn)，有有一一力力F作作用用于于這這杠杠桿桿上上P點(diǎn)點(diǎn)處處力力F與與OP的的夾夾角角為為 ，力力F對(duì)對(duì)支支點(diǎn)點(diǎn)O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin|FOP M的方向垂直于的方向垂直于OP與與F所決所決定的平面

6、定的平面, 指向符合右手系指向符合右手系.實(shí)例實(shí)例二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積LFPQO 14向量向量a與與b的的向量積向量積為為 bac sin|bac (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)定義定義關(guān)于向量積的說明：關(guān)于向量積的說明：. 0aa向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.000aa.abba (反交換律),并規(guī)定并規(guī)定()()15向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：分配律.)(cbcacba ).()()(baba如果如果cba,是任意向量是任意向量, ,是任意實(shí)數(shù)是任意實(shí)數(shù),那么那么結(jié)合律結(jié)合律例5 設(shè) 是兩個(gè)向量,證明: ba,ab0ba16

7、)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin )(0sin . 0sin| bababa/ba/或或0 證證 設(shè)設(shè) 均為非零向量均為非零向量( (否則命題不證自明否則命題不證自明) ) ba,或或0 17,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的分解表達(dá)式向量積的分解表達(dá)式:18向量積還可用行列式表示向量積還可用行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba kbb

8、aajbbaaibbaabayxyxxzxzzyzy即即19abbac 兩向量的向量積的幾何意義兩向量的向量積的幾何意義:()()absinbhba與一切既平行于與一切既平行于a又平行于又平行于b的平面垂直的平面垂直20 例例6 6 設(shè)平面設(shè)平面過空間三點(diǎn)過空間三點(diǎn)A(1,0,0)A(1,0,0)、B(3,1,-1)B(3,1,-1)、C(2,-1,2),C(2,-1,2),求一個(gè)垂直于平求一個(gè)垂直于平面面的向量的向量n解解2 , 1, 102 , 01, 121, 1 , 201, 01 , 13ACABABABACAC與與顯然不共線且都在面顯然不共線且都在面內(nèi)內(nèi)故可取故可取kjikjiAC

9、ABn3521111221ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面積為的面積為|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD22例例8 8 設(shè)剛體以等角速率設(shè)剛體以等角速率繞繞 l l軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算剛體軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算剛體上一點(diǎn)上一點(diǎn)M M 的線速率的線速率 。v解解 剛體旋轉(zhuǎn)時(shí)剛體旋轉(zhuǎn)時(shí), ,我們可用轉(zhuǎn)動(dòng)軸我們可用轉(zhuǎn)動(dòng)軸 l l 上上的向量的向量 表示角速度表示角速度, ,它的大小它的大小 ，它的方向按右手法則定出，它的方向按右手法則定出, ,如右圖如右圖. .設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M

10、 M到到 l l 軸的距離為軸的距離為a,a,任取任取 l l 軸上軸上一點(diǎn)記為一點(diǎn)記為O O，并記，并記 , ,若用若用表示表示 與與 的夾角的夾角, ,則有則有OMr rsinraorMva 從物理中知道從物理中知道, ,線速率線速率 與角速率與角速率 有如下關(guān)系：有如下關(guān)系：vrvrav,sin又符合右手法則又符合右手法則, ,因此得因此得vr,rv23定義定義 設(shè)已知三個(gè)向量設(shè)已知三個(gè)向量a、b、c，數(shù)量，數(shù)量cba )(稱為這三個(gè)向量的稱為這三個(gè)向量的混合積混合積，記為，記為cba. .),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 設(shè)設(shè)),(zyxcccc 三、向量的混合積三、向量的混

11、合積下面推導(dǎo)混合積的坐標(biāo)表達(dá)式下面推導(dǎo)混合積的坐標(biāo)表達(dá)式因?yàn)橐驗(yàn)閥xyxxzxzzyzybbaabbaabbaaba,24cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 所以所以zyxyxyxzxzxzyzycbbaacbbaacbbaacba)(即即顯然顯然 bacacbcba25（1）向量混合積的幾何意義：）向量混合積的幾何意義：acbba 關(guān)于混合積的說明：關(guān)于混合積的說明：. 0 cba0zyxzyxzyxcccbbbaaa26例例9 已知空間內(nèi)四點(diǎn)已知空間內(nèi)四點(diǎn)A(1,1,1),B(3,4,4),C(3,5,5)和和D(2,4,7),求四面體求四面體ABCD的體積的體積. 解

12、解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.61ADACABV 故故1661ABCDV而而 AB=(2,3,3),AC=(2,4,4),AD=(1,3,6),于是于是6631442332ADACAB27例例10 問點(diǎn)問點(diǎn)A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3)和和D(10,15,17) 四點(diǎn)是否在同一平面上？四點(diǎn)是否在同一平面上？016149221543ADACAB解解 AB=(3,4,5),AC=(1,2,2),AD=(9,14,16),而而因此因此AB、AC、AD共面，

13、即共面，即A、B、C、D在同一個(gè)平面上在同一個(gè)平面上28向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積向量的向量積向量的向量積向量的混合積向量的混合積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（注意共線、共面的條件）（注意共線、共面的條件）四、小結(jié)四、小結(jié)29思考題思考題已已知知向向量量0 a，0 b，證證明明2222)(|bababa .30思考題解答思考題解答)(sin|,2222bababa )(cos1 |,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 31一一、 填填空空題題：1 1、 已已知知a= =

14、3 3，b= =2 26 6，ba = =7 72 2, ,則則ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 已已知知（ba,）= =32 ，且且a= =1 1，b= =2 2，則則 2)(ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、ba 的的幾幾何何意意義義是是以以ba,為為其其鄰鄰邊邊的的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 三三向向 量量cba,的的 混混 合合 積積 cba 的的 幾幾 何何 意意 義義 是是_ _ _ _ _ _ _；5 5、 兩兩向向量量的的的的內(nèi)內(nèi)積積為為零零的的充充分分必必要要條條件件是是至至少少其

15、其中中有有 一一個(gè)個(gè)向向量量為為_ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它們們互互相相 _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 兩兩向向量量的的外外積積為為零零的的充充分分必必要要條條件件是是至至少少其其中中有有一一 個(gè)個(gè)向向量量為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它們們互互相相_ _ _ _ _ _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題327 7、設(shè)、設(shè)kjia23 ，kjib 2 , , 則則ba = _ = _， ba = _ = _ _ , , ba3)2( = _ = _, , ba2 = _ = _，),cos(ba = = _ _ ；8 8、設(shè)、設(shè)a= =kji

16、 32, ,kjib3 和和,2jic 則則 bcacba)()( =_ =_ ,_ , )()(cbba _ _ ,_ , cba )( = _ = _ ._ .二二、 已已 知知cba,為為 單單 位位 向向 量量 ， 且且 滿滿 足足0 cba，計(jì)計(jì)算算accbba . .三三、設(shè)設(shè)質(zhì)質(zhì)量量為為 1 10 00 0 千千克克的的物物體體從從點(diǎn)點(diǎn))8,1,3(1M沿沿直直線線移移動(dòng)動(dòng)到到點(diǎn)點(diǎn))2,4,1(2M計(jì)計(jì)算算重重力力所所作作的的功功（長長度度單單位位為為米米，重重力力方方向向?yàn)闉閆軸軸負(fù)負(fù)方方向向）. .33四、四、 設(shè)設(shè) 4,1,2,2,5,3 ba，問，問 與與怎樣的關(guān)系怎樣的關(guān)系能使行能使行zba與與 軸垂直軸垂直 . .五、五、 應(yīng)用向量證明：應(yīng)用向量證明：1 1、 三角形的余弦定理；三角形的余弦定理；2 2、 直徑所對(duì)的圓周角是直角直徑所對(duì)的圓周角是直角 . .六、六、 已知已知cba,兩兩垂直，且兩兩垂直，且 cbascba 求求,3,2,1的長度的長度 與它和與它和cba,的夾角的夾角 . .七、七、 計(jì)算以向量計(jì)算以向量212eep 和和212eeq 為邊的三角為邊的三角形的面積，其中形的面積，其中1e和和2e是相互垂直的單位向量是相互垂直的單位向量 . .34練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、30 ； 2 2、3 3； 3 3