幾何畫板在立體幾何教學(xué)的應(yīng)用

1、幾何畫板在立體幾何解題教學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)活動，是為了幫助學(xué)生探索未知的事實(shí)和規(guī)律，它是為了說明思想概念，闡述道理方法，指導(dǎo)學(xué)生操作練習(xí)。許多數(shù)學(xué)問題情景，在傳統(tǒng)的黑板和紙筆提供的教學(xué)環(huán)境中，教師只能講一講， 學(xué)生只能想一想。用多媒體輔助教學(xué)，就可以變抽象為具體就可以演示、操作了。幾何畫板作為一種適合中學(xué)教師使用的教學(xué)軟件，是21世紀(jì)的動態(tài)幾何。用幾何畫板繪制各種立體圖形非常直觀，可以解決學(xué)生從平面圖形向立體圖形，從二維空間向三維空間過渡的難題，因?yàn)樗_實(shí)能把一個“活”的立體圖形展現(xiàn)在學(xué)生面前。 在立體幾何中，有些問題用直接法來尋求解題途徑比較困難，甚至無從著手，這時(shí)用構(gòu)造法并利用幾何

2、體的特點(diǎn)和性質(zhì)來幫助解題，可起到事半功倍的效果，引入多媒體技術(shù)后，利用幾何畫板輔助教學(xué)，可以豐富教學(xué)模式，實(shí)現(xiàn)過程教學(xué)，提高了生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。解數(shù)學(xué)問題時(shí)，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思維。但有些問題按照這種思維方式來尋求解題途徑比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個角度思考，以便找到一條繞過障礙的新途徑。構(gòu)造性思想及其方法就是這樣的一種手段。構(gòu)造法在立體幾何中主要表現(xiàn)在輔助線、體的添加，這就是常說的分形與補(bǔ)形,并根據(jù)題目的特征,精心構(gòu)造一個相應(yīng)的“模型”,把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題。由于實(shí)際的三維圖形,總是用二維圖形來表示,這就造成了學(xué)生識圖、畫圖、用圖

3、的困難。這就需要培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動的觀點(diǎn)觀察點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，使空間圖形成為學(xué)生頭腦中活的思維對象。幾何畫板為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一個很好的動態(tài)視覺的環(huán)境，能對圖象進(jìn)行各種變換、平移、旋轉(zhuǎn)和動畫等處理功能。從數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的角度上看，其最大的優(yōu)點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)了動態(tài)教學(xué)，尤其對空間想象能力薄弱的中學(xué)生而言，在立體幾何的教學(xué)中CAI的優(yōu)勢得到了很好的體現(xiàn)和發(fā)揮。下面就此談?wù)勎以诶脦缀萎嫲遢o助立體幾何解題教學(xué)時(shí)的一些體會,以求教于同行。一、構(gòu)造三棱錐三棱錐是一個特殊的錐體，它的每一個頂點(diǎn)都可以作為三棱錐的頂點(diǎn)，每一個面都可以作為三棱錐的底面.利用它不但可以靈活地計(jì)算三棱錐的體積,而且還可以求點(diǎn)到平面的距離或異面

4、直線間的距離.例1：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線1與AC間的距離.分析：(利用幾何畫板展示教學(xué)步驟)如圖所示,連結(jié)A1C1 , AC1,則AC/A1C1 AC /平面A1DC1 A到平面A1DC1的距離h就是AC與DA1間的距離. 即AC、A1D間的距離為 二、構(gòu)造正方體正方體是最特殊的四棱柱，它的六個面都是全等的正方形，線線、線面、面面之間都有垂直或平行關(guān)系，這便提供了多姿的化繁為簡的條件，以它為“模型”是最妙不過了.例2： 一個四面體的所有棱長都為，四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（ ）.（2003年全國高考題）A3p B.4p C.p D. 6p分析:

5、構(gòu)造一個棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D(如圖) 連AB1,AD1,AC,CD1,CB1,B1D1,則四面體B1ACD1為符合題意的四面體，它的外接球的直徑即為正方體的對角線長.設(shè)該外接球的半徑為R,則2R=AC1=,所以此正四面體外接球的表面積為S=4pR2=3p,故選A.例3：在四面體的四個側(cè)面中,直角三角形最多可有( ).A. 1個 B. 2個 C. 3個 D .4個 分析:構(gòu)造如圖所示的正方體,連B1D1、A1B、BD1 ,考察四面體BB1D1A1 ,它的四個側(cè)面都是直角三角形,故選D.例4:過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA面ABCD ,若AB=PA ,求面PAB和面PCD所成

6、二面角的大小.分析:如圖,將四棱錐PABCD補(bǔ)成正方體PQRSABCD ，則PQ為面PAB與面PCD的交線.由正方體性質(zhì)知PDPQ ,APPQ , ÐDPA為所求二面角的平面角,易知ÐDPA=45°.二、 構(gòu)造長方體長方體的六個面都是矩形，每個頂點(diǎn)上的三條棱兩兩互相垂直.利用這些性質(zhì),構(gòu)造長方體,常能使很多問題得到簡化.例5：已知ABCD是邊長為4的正方形,E,F分別是AB和AD的中點(diǎn),GC平面ABCD于C,且GC=2,求點(diǎn)B到平面GEF的距離.(1991年全國高考題)分析:如圖,以邊長為4的正方形ABCD為底面,GC為側(cè)棱,構(gòu)造長方體.由BD/EF,得BD/面E

7、FG ,到平面EFG的距離,轉(zhuǎn)化為底面中心O到平面EFG的距離四、應(yīng)用等積變換構(gòu)造立幾模型 充分應(yīng)用等積變換、構(gòu)造、輔助解題的模型，理清思路，這是解幾何難題的一種常用方法.例6：在四面體A-BCD中，已知AB=a，CD=b，AB與CD間的距離為h，它們所成的角為，求四面體的體積.分析：（用等積變換）在平面BCD內(nèi)過B點(diǎn)作BECD，DEBC，BE、DE交于E點(diǎn)從而得平行四邊形BCDE，連AE則A-BCDE為四棱錐CDBE，且AB與CD所成角為ABE是AB、CD所成的角或補(bǔ)角，即ABE=或-.CDBE，CD面ABE設(shè)AB與CD的公垂線為GF，則GF就是CD與面ABE的距離，也就是棱錐D-ABE的高

8、線.顯然GF面ABE，且GF=hDEBC，SBDE = SBCD .VD-ABE= VA-BDE = VA-BCD .VA-BCD = abhsin五、分割圖形巧補(bǔ)圖形可使某些立幾問題迅速準(zhǔn)確獲解,同樣適當(dāng)?shù)胤指顖D形,也可使某些立幾問題趨于簡單,從而為問題的順利解決提供了方便.例7：如圖三棱錐PABC中，已知PABC，PA=BC=l，PA、BC的公垂線段DE=h.求三棱錐PABC的體積.分析:直接考慮會因條件用不上感到束手無策.如考慮過DE、BC的平面分割三棱錐PABC為兩個三棱錐PBCD和ABCD.則問題簡捷解出.解:PABC,PADE, PA面BCD.例8 ：已知正三棱柱ABC-A1B1C

9、1的底面邊長為6，側(cè)棱長為,求三棱錐B- CA1 C1的體積.如圖： 分析：面BA1C1 、面BCA1將這個三棱柱分割為三個三棱錐.易證 = V正三棱柱 = SABCh= ×××62×3=27以上用幾何畫板設(shè)計(jì)的不同的按紐如：（1） 用移開、合攏、顯示、隱藏按紐突出構(gòu)造模型的過程，（2）多個按紐的組合（或系列）進(jìn)行教學(xué)步驟設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)教師分析、板書、作圖按知識點(diǎn)的同步教學(xué)，環(huán)環(huán)相扣，層層深入地引發(fā)學(xué)生思考，這些是傳統(tǒng)教學(xué)難以媲美的.（3）利用幾何畫板實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，增強(qiáng)了圖形的立體感和美感（立體、色彩、對稱、動畫等可增加圖形的美感，讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美，增添數(shù)學(xué)興趣），利于學(xué)生的思維的發(fā)生、發(fā)展和充分想象，尋找問題的解決途徑，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí).(4)用顯示、隱藏按紐來重復(fù)講解學(xué)生不太清楚的問題,實(shí)現(xiàn)學(xué)生的分層次教學(xué).(5)用旋轉(zhuǎn)按紐,可以從多角度、全方位來觀察問題,實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的全面性,這個旋轉(zhuǎn)也是讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)美的魅力所在,進(jìn)而激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的無窮樂趣.構(gòu)造思想方法充分體現(xiàn)了“他山之石可攻玉”的哲理.用構(gòu)造法來解立體幾何問題,實(shí)際上是將待解決問題的條件和數(shù)量關(guān)系,顯示在所構(gòu)造的“模型”上,并且得到相應(yīng)的解釋,從而轉(zhuǎn)化為所構(gòu)造模型的相應(yīng)問題,實(shí)現(xiàn)用簡捷方法解決復(fù)雜問題的目標(biāo)。引入多媒體技術(shù)，利