幾何體的截面形狀研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、幾何體的截面形狀研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì) 一、課題研究的背景按課標(biāo)要求，在高中階段至少要有一次小組合作或獨(dú)立數(shù)學(xué)探究活動(dòng)和數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，而活動(dòng)的開展是要有一個(gè)漸進(jìn)的過程的，學(xué)生需要一個(gè)逐步適應(yīng)、了解和認(rèn)識(shí)自主探究、合作學(xué)習(xí)的過程，所以在本模塊設(shè)計(jì)該課題，是為實(shí)施更為完整的數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)做準(zhǔn)備。2、 課題研究的目的和意義 幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力；通過課題研究給學(xué)生提供一個(gè)施展所學(xué)的舞臺(tái)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用和反思，加深對(duì)空間圖形的認(rèn)識(shí)和理解。此外，該課題的學(xué)習(xí)有助于發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究

2、的過程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)研究中直觀和嚴(yán)謹(jǐn)、感性猜測(cè)和理性推理的關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)造力。3、 課題研究的目標(biāo)體會(huì)轉(zhuǎn)化、降維、類比等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力，提高交流表達(dá)能力，提高獨(dú)立、合作小組探究學(xué)習(xí)獲取知識(shí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生把握空間圖形的能力，學(xué)會(huì)欣賞空間圖形所反映的數(shù)學(xué)美。1、知識(shí)與能力：通過用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體的切截活動(dòng)過程，掌握空間圖形與截面的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，發(fā)展幾何直覺。使學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、實(shí)際操作驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展學(xué)生的動(dòng)手操作、自主探究、合作交流和分析歸納能力。2、過程與方法及解決的問題：采用多種途徑查閱資料（圖書館查閱

3、、網(wǎng)頁查閱、調(diào)查訪問教師、專家、學(xué)者等）；能對(duì)各種資源進(jìn)行整合、篩選、整理、分析；經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的研究過程，初步學(xué)會(huì)探究學(xué)習(xí)的方法；經(jīng)過小組合作學(xué)習(xí)，能寫出調(diào)查報(bào)告。豐富對(duì)空間圖形的認(rèn)識(shí)和感受，發(fā)展空間觀念和形象思維，通過總結(jié)，歸納，獲得經(jīng)驗(yàn)。3、 情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過以教師為主導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)、大膽猜想、動(dòng)手操作、自主探究、合作交流，使學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中體驗(yàn)到：數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索和創(chuàng)造。通過小組的合作，加強(qiáng)自己與同學(xué)之間的人際關(guān)系，了解團(tuán)隊(duì)的力量。使學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)自信心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，主動(dòng)與他人合作交流的意識(shí)，激發(fā)學(xué)生對(duì)空間

4、與圖形學(xué)習(xí)的好奇心。 四、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體的切截活動(dòng)過程，體會(huì)截面和幾何體的關(guān)系，充分讓學(xué)生動(dòng)手操作、自主探索、合作交流。難點(diǎn)：1. 從切截活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用自己的語言合理清晰地來表達(dá)出自己的思維過程。2. 能應(yīng)用規(guī)律來解決問題，從理論上理解截出五邊形、六邊形的可能性，以及七邊形的不可能性。 五、學(xué)生起點(diǎn)分析所有高中學(xué)生在新世紀(jì)版北師大教材數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第一章已經(jīng)學(xué)習(xí)了截一個(gè)幾何體知識(shí)，它是初中新課程改革中的新增內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)簡(jiǎn)單經(jīng)歷了切截幾何體的實(shí)際操作活動(dòng)，發(fā)展了學(xué)生的空間觀念，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生已經(jīng)具備了基本的觀察、操作、推理、交流的能力。也

5、就是說學(xué)生在研究性學(xué)習(xí)前，已經(jīng)掌握了長(zhǎng)方體，正方體，圓柱體，圓錐體和球體等常見的幾何體的特點(diǎn)，理解了各種生活中所熟悉的幾何體的表面組成；掌握了點(diǎn)，線，面，體四者之間的動(dòng)態(tài)與靜態(tài)的關(guān)系，再加之學(xué)生好奇心強(qiáng)，喜歡探索、解剖身邊的事物，對(duì)出現(xiàn)在自己周圍的物品進(jìn)行實(shí)際的動(dòng)手切截，熱情勢(shì)必較高，再配合創(chuàng)設(shè)一系列合理的問題情景，組織學(xué)生進(jìn)行一些生動(dòng)有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，本節(jié)課會(huì)極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的積極性。六、教法指導(dǎo)1、觀察猜想 培養(yǎng)學(xué)生觀察想象的能力，通過觀察生活中豐富的圖片,聯(lián)想這些截面圖形與實(shí)際立體圖形之間的關(guān)系，發(fā)展抽象概括能力和幾何直覺。2、合作交流 培養(yǎng)學(xué)生自主探究、主動(dòng)與他人合作交流的能力，鼓勵(lì)學(xué)

6、生大膽闡述自己的觀點(diǎn)。3、操作實(shí)驗(yàn) 培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作的能力，采用操作法可以大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這一方法也是適應(yīng)新課標(biāo)中所提出的：提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力的要求。七、學(xué)法指導(dǎo)教學(xué)過程是師生互相交流的動(dòng)態(tài)過程，教師起主導(dǎo)作用，學(xué)生在教師的啟發(fā)下充分發(fā)揮主體性作用。從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)來看，這一階段的學(xué)生愛問好動(dòng)、求知欲強(qiáng)，想象力豐富，對(duì)實(shí)際操作活動(dòng)有著濃厚的興趣，對(duì)直觀的事物感知較強(qiáng)，是形象思維向抽象思維逐步過渡的階段，他們希望得到充分的展示和表現(xiàn)，因此，在學(xué)習(xí)方法上，應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)中的主體作用，采取讓學(xué)生自己觀察、大膽猜想、親自動(dòng)手操作、進(jìn)行小組討論和交流、師生共同歸納總結(jié)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的過程。

7、八、教學(xué)理念 教師在教學(xué)中起主導(dǎo)作用，是學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是學(xué)習(xí)的主動(dòng)參與者和知識(shí)的建構(gòu)者。教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、實(shí)際操作驗(yàn)證、分析歸納，推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，培養(yǎng)學(xué)生尊重科學(xué)、尊重事實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的科學(xué)態(tài)度，發(fā)展學(xué)生的動(dòng)手操作、自主探究、合作交流和分析歸納能力。同時(shí)運(yùn)用現(xiàn)代化的教學(xué)手段，創(chuàng)建更為豐富生動(dòng)的情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索新知識(shí)的熱情。 九、適用年級(jí)：適用于高一年級(jí)和高二年級(jí)十、研究準(zhǔn)備：相關(guān)的資料以及相關(guān)的器材（電腦、手電筒、U盤、投影儀、小刀、橡皮泥、空紙箱、蘋果等）十一、時(shí)間建議：高一年級(jí)第一學(xué)期必修二第一章學(xué)完后利用周末和課余時(shí)間進(jìn)

8、行研究性學(xué)習(xí)十二、活動(dòng)方案：第一階段：動(dòng)員和培訓(xùn)（2015年10月9日2015年12月1日）明確研究范圍以及方向，（初步認(rèn)識(shí)研究性學(xué)習(xí)、理解研究性學(xué)習(xí)的研究方法）1、接觸、討論問題 2、了解本次活動(dòng)的學(xué)習(xí)目的 3、學(xué)習(xí)了解本次綜合實(shí)踐活動(dòng)的步驟、方法、要求.第二階段：提出和選擇課題,組員分工。1、在學(xué)生自愿成組的前提下，合理調(diào)配各族成員，以利于能力較弱的學(xué)生也可以安排到工作 2、制定合作學(xué)習(xí)規(guī)則提供給學(xué)生 3、組織指導(dǎo)學(xué)生的小組討論、小組成員分工第三階段：課題實(shí)施階段1、搜集資料活動(dòng) 本活動(dòng)采取的形式多樣：走訪、上網(wǎng)下載、上圖書館查閱。2、科學(xué)

9、實(shí)驗(yàn)活動(dòng) 第一步相關(guān)知識(shí)與測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)備；第二步是科學(xué)實(shí)驗(yàn)； 第三步是計(jì)算得出成果；第四步是驗(yàn)證數(shù)據(jù)是否準(zhǔn)確。3、整理資料，形成結(jié)論。 十三、教學(xué)過程:活動(dòng)一: 創(chuàng)設(shè)問題情景, 激發(fā)興趣 1.問題: 某同學(xué)要在圣誕平安夜前一天和班級(jí)同學(xué)分享自己帶的蘋果時(shí),用小刀去切“平安果”,所的截面會(huì)是什么形狀? 2.學(xué)生個(gè)體發(fā)言 3.明晰課題: 截一個(gè)幾何體活動(dòng)二: 動(dòng)手操作, 自主探究(一) 1. 正方體截面：正方體可謂最簡(jiǎn)單的幾何體.正方體的截面會(huì)是什么樣子的呢？請(qǐng)同學(xué)們先猜一猜,之后自己獨(dú)立的想一想, 動(dòng)手操作,去驗(yàn)證你的猜想。 2.小組交流: 小組實(shí)驗(yàn)、交流得出的截面情況。 3

10、. 教師匯總學(xué)生的實(shí)驗(yàn)報(bào)告，得出正方體截面可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形的結(jié)論, 以及由學(xué)生展示如何截才能截出上述截面。 4.四邊形中又有哪些特殊的截面? 如何去截? 5.小組展示運(yùn)用多媒體演示正方體截面的切截情況.(此過程可以重復(fù)進(jìn)行,讓每位學(xué)生都能看清楚) 6.通過學(xué)生的動(dòng)手操作,教師的多媒體演示,歸納總結(jié):怎樣截即可截到三角形、四邊形、五邊形、六邊形的截面? 7.思考: 你能截到七邊形、八邊形嗎? 活動(dòng)目的：通過學(xué)生的猜想、獨(dú)立思考、動(dòng)手操作,使其有感性的認(rèn)識(shí)到實(shí)踐,再通過學(xué)生的演示、教師的演示、學(xué)生的歸納總結(jié)以及反思,逐步的上升到理性的認(rèn)識(shí),至此, 正方體截面問題全部解決,同時(shí),

11、學(xué)生也深深的感受到了數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索和創(chuàng)造, 更大的激發(fā)了學(xué)生對(duì)空間與圖形學(xué)習(xí)的好奇心,為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)?；顒?dòng)三: 動(dòng)手操作, 自主探究(二) 1.球體、圓柱、圓錐的截面又是什么形狀? 請(qǐng)先獨(dú)立思考, 后動(dòng)手操作, 之后小組交流. 2.教師多媒體演示并總結(jié).活動(dòng)目的:思考、想象并驗(yàn)證其它幾何體的截面形狀，讓學(xué)生思維朝著“從特殊到一般”的方向發(fā)展，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步升華.活動(dòng)四: 應(yīng)用所學(xué),解決問題1班長(zhǎng)過生日時(shí), 邀請(qǐng)了6人, 有人想考考班長(zhǎng), 就說: 你能只切三刀, 使我們7人都能吃到蛋糕嗎? 班長(zhǎng)稍想片刻就知道怎么切了, 聰明的你知道怎么切嗎?2. 設(shè)計(jì)一種截法: 用一個(gè)平面去截一個(gè)

12、正方體,使它分成兩個(gè)大小相同、形狀相同的幾何體?；顒?dòng)五: 總結(jié)反思1. 學(xué)生小結(jié)所學(xué)內(nèi)容，2. 教師明晰：（1）截面是認(rèn)識(shí)世界的窗口、追溯歷史的線索；（2）幾何體的截面由平面與幾何體各表面交線構(gòu)成；（3） 正方體的截面可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形.3.擴(kuò)展閱讀：“你知道CT嗎”？課題作業(yè)： 用你的眼睛去尋找并描述“截面”在生活中運(yùn)用的實(shí)例。十四、（備課資源）正方體截面的形狀的證明1.按截面圖形的邊數(shù)分類： 三邊形（銳角三角形，等腰三角形，等邊三角形） 四邊形（矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形） 五邊形（五邊形） 六邊形（六邊形，正六邊形）2.（1）證明：截面是三角形 銳角三角形 證明

13、：設(shè)三邊為a,b,c, 則證明a2+b2>c2,且cosC>0,C為銳角。同理可證，B、C也是銳角，所以三角形ABC是銳角三角形。 等腰三角形 證明：取相鄰兩邊任意兩點(diǎn)，距離兩邊交點(diǎn)相等，在第三邊取任意一點(diǎn)（與交點(diǎn)不重合） AB長(zhǎng)確定，AC=AD, CAB=DAB=90°。 根據(jù)勾股定理可知CB=DB 且三角形為等腰三角形 等邊三角形 證明：在AB.AC.AD上,取三點(diǎn)距離原點(diǎn)A相同。 圖形為正方體。 AB=AC=AD 又三線兩兩垂直，根據(jù)勾股定理知BC=CD=BD，且截面為等邊三角形。（2）證明：截面是四邊形。 矩形 .正方形。 ： 證明：取任意一平面平行于上下底面或側(cè)

14、面。且所截圖形為正方形。 又正方形是特殊的矩形，截面可以是矩形。 ABCD平行于上底面，AB=BC=CD=AD又AB.BC.CD.AD相交互相垂直，所以截面為正方形。 菱形 證明： 以相對(duì)頂點(diǎn)為菱形對(duì)點(diǎn)，取與頂線不相交的相對(duì)側(cè)棱中點(diǎn)，所截平面。圖形為正方體，所以對(duì)邊平行且相等。截面為平行四邊形。又AB=BD,AE=DF. BAE=BDF=90°，且BE=BF. 截面為菱形梯形.等腰梯形 證明：當(dāng)平面不垂直底面時(shí),且在上底面的截線段平行對(duì)角線,所得的截面圖形可能為梯形。 當(dāng)上下底面的截線段都平行于同一條對(duì)角線，所得的截面圖形可能為等腰梯形。 ABCD, ABCD為梯形。 作AFCF，B

15、F1FD 又AE=BE,CF=FD,AF=BF1=EF. AC=BD 且截面為等腰梯形。（3）證明：截面是五邊形。 證明：第一個(gè)為五邊形，在正面上畫一個(gè)直線，直線一端為右下角 另一段為左前側(cè)棱1/2往上 這樣將直線延長(zhǎng)與正上棱相交同樣的道理 在右側(cè)面畫一條直線直線一端為右下角（與上同理） 另一段為后右側(cè)棱1/2往上 這樣將直線延長(zhǎng)與上右側(cè)棱相交 由圖得所截平面為五邊形。（4）證明：截面是六邊形。 證明：截面是六邊形.正六邊形。取各邊的中點(diǎn)，再連接兩個(gè)平行面的不同位置的中點(diǎn)，所成截面為正六邊行。 當(dāng)平面與正方體的六個(gè)面相交時(shí)，可以切出六邊形。 取點(diǎn)為每邊中點(diǎn)，圖形為正方體。且過六個(gè)面 截面為六邊

16、形 又鏈接AC.AD 得AC=AD=AE，且截面為正六邊形。3由2證明得，截面多邊形的邊數(shù)最多有6條。 為什么六邊形以上的多邊形無法切出來？ 解析： 因?yàn)檎襟w只有6個(gè)面，所以截面所在的平面與這6個(gè)面所在的平面最多只能有6條交線，所以截面的邊數(shù)至多是6。4. 為什么正方體的截面不能是直角梯形？ 解析： 正方體各面全等，并且每條對(duì)邊互相平行，但直角梯形上底和下底平行，且并不相等，兩條腰也不平行，所以不能是直角梯形。5為什么切一個(gè)正方體所能切出的切面不能為正五邊形？ 解析：五個(gè)邊，一定有兩邊來自一組平行的面，此兩邊平行，這個(gè)五邊形就不可能是正五邊形正方體的截面示意圖正方體的截面可以分為以下幾種：1

17、、截面是三角形：如圖1為等邊三角形，圖2為等邊三角形，另一圖為任意三角形2、截面是四邊形：如圖3為任意四邊形，圖4為等腰梯形，圖5為長(zhǎng)方形，圖6為正方形，3、截面是五邊形：圖7為任意五邊形 4、截面為六邊形；圖8為普通六邊形，圖9為正六邊形圖7 十五、老師評(píng)價(jià)及反思: 在教學(xué)內(nèi)容中，先讓學(xué)生充分地想象用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體所得的截面是什么形狀，再讓學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作，驗(yàn)證想象的結(jié)果與實(shí)際結(jié)果是否一致。學(xué)生在這一過程中，豐富了幾何直覺和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了學(xué)生的空間觀念，同時(shí)利用數(shù)學(xué)智能軟件包的應(yīng)用性、良好的操作性和貼近教材的課件，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，為學(xué)生探索新知提供了有力的工具。在實(shí)際教學(xué)中，有些學(xué)生對(duì)切截五邊形