《柯西不等式》單元測(cè)試題(1)

1、柯西不等式單元測(cè)試題（1）班級(jí) 姓名 一、選擇題：1已知a，bR，a2b24，則3a2b的最大值為()A4 B2 C8 D92設(shè)x，y，m，n>0，且1，則uxy的最小值是()A()2 B. Cmn D(mn)23若a，bR，且a2b210，則ab的取值范圍是()A2，2 B2，2 C， D，4已知4x25y21，則2xy的最大值是()A. B1 C3 D95已知x，yR，且xy1，則的最小值為()A4 B2 C1 D.6設(shè)a、bR，且ab，P，Qab，則()AP>Q BPQ CP<Q DPQ二、填空題：7已知a，b>0，且ab1，則的最小值為_(kāi)；8函數(shù)y2的最大值是_

2、；9設(shè)a，b，c，d，m，n都是正實(shí)數(shù)，P，Q· ，則P與Q的大小_；10函數(shù)y2cos x3的最大值為_(kāi)；11函數(shù)y2的最大值為_(kāi).三、解答題：12若2x3y1，求4x29y2的最小值，并求出最小值點(diǎn)13設(shè)a，bR，若ab2，求的最小值14已知ab1，求證：a2b21.15設(shè)ab，求證：a8b8.參考答案：一、選擇題：1已知a，bR，a2b24，則3a2b的最大值為()A4 B2 C8 D9答案：B2設(shè)x，y，m，n>0，且1，則uxy的最小值是()A()2 B. Cmn D(mn)2答案：A3若a，bR，且a2b210，則ab的取值范圍是()A2，2 B2，2 C， D，解

3、析：(a2b2)12(1)2(ab)2，|ab|2，ab2，2答案：A4已知4x25y21，則2xy的最大值是()A. B1 C3 D9解析：2xy2x·1y·1 ··.2xy的最大值為.答案：A5已知x，yR，且xy1，則的最小值為()A4 B2 C1 D.解析：24，故選A.答案：A6設(shè)a、bR，且ab，P，Qab，則()AP>Q BPQ CP<Q DPQ解析：(ab)()2()22(ab)2a>0，b>0，ab>0.(ab)又ab，而等號(hào)成立的條件是··，即ab，>ab.即P>Q.答案：

4、A二、填空題：7已知a，b>0，且ab1，則的最小值為_(kāi)；解析：(ab)()2()222.答案：8函數(shù)y2的最大值是_；解析：根據(jù)柯西不等式，知y1×2××.答案：9設(shè)a，b，c，d，m，n都是正實(shí)數(shù)，P，Q· ，則P與Q的大小_；解析：由柯西不等式，得P×· Q.答案：PQ10函數(shù)y2cos x3的最大值為_(kāi)；解析：y2cos x32cos x3.當(dāng)且僅當(dāng)，即tan x±時(shí)，函數(shù)有最大值.答案：11函數(shù)y2的最大值為_(kāi).解析：y21···3.當(dāng)且僅當(dāng)·1·取等號(hào)即22

5、x4x2，x0時(shí)取等號(hào)答案：3三、解答題：12若2x3y1，求4x29y2的最小值，并求出最小值點(diǎn)解：由柯西不等式(4x29y2)(1212)(2x3y)21，4x29y2.當(dāng)且僅當(dāng)2x·13y·1，即2x3y時(shí)取等號(hào)由得4x29y2的最小值為，最小值點(diǎn)為.13設(shè)a，bR，若ab2，求的最小值解：(ab)()2()22(11)24.24，即2.當(dāng)且僅當(dāng)··，即ab時(shí)取等號(hào)，當(dāng)ab1時(shí)，的最小值為2.14已知ab1，求證：a2b21.證明：由柯西不等式，得(ab)2a2(1a2)b2(1b2)1.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，ab·，a2b2(1a2)(1b2)于是a2b21.15設(shè)ab，求證：a8b8.證明：a8b8(1212)(a4)2(b4)2(1×a41×b