《圓錐曲線與方程》單元教學(xué)設(shè)計(jì)

1、 課題名稱 圓錐曲線與方程單元教學(xué)設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)者姓名 郭 曉 泉 設(shè)計(jì)者單位 華亭縣第二中學(xué) 聯(lián)系電話電子郵箱 guoxiaoquan114 圓錐曲線與方程單元教學(xué)設(shè)計(jì)（郭曉泉 甘肅省華亭縣第二中學(xué)一、教學(xué)內(nèi)容分析1、實(shí)際背景分析 該單元選自人教版數(shù)學(xué)選修2-1.圓錐曲線與科研、生產(chǎn)以及人類生活關(guān)系密切，早在16、17世紀(jì)之交，開普勒就發(fā)現(xiàn)了行星繞太陽運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓；探照燈反射鏡是拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的拋物面；發(fā)電廠冷卻塔的外形線是雙曲線，現(xiàn)代航空航天領(lǐng)域內(nèi)圓錐曲線也有重要的應(yīng)用。圓錐曲線在實(shí)際生產(chǎn)生活中有著巨大的作用，主要來自于它們

2、的幾何特征及其特性。2、數(shù)學(xué)視角分析圓錐曲線與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)解析幾何的主要內(nèi)容，研究圓錐曲線的性質(zhì)，是圓的幾何性質(zhì)的推廣與延伸，是運(yùn)用坐標(biāo)法從代數(shù)的角度來研究圓錐曲線性質(zhì)，為了解決這個(gè)問題，讓學(xué)生更好地理解和學(xué)習(xí)圓錐曲線的性質(zhì)，先了解曲線與方程的關(guān)系，研究如何建立曲線的方程，把幾何的形與代數(shù)的數(shù)通過這個(gè)關(guān)系有機(jī)的聯(lián)系起來，充分運(yùn)用數(shù)的運(yùn)算來解決形的問題，達(dá)到數(shù)形統(tǒng)一，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。對(duì)于圓錐曲線的幾何特征與方程的研究，延續(xù)了必修課程必修2中研究直線與圓的方程的方法，通過圖形探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們的方程，并通過方程來研究他們的簡(jiǎn)單性質(zhì)，進(jìn)而利用坐標(biāo)法解決一些圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問

3、題和實(shí)際問題。3、課程標(biāo)準(zhǔn)視角分析 （1）學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變問題。在本部分內(nèi)容中，延續(xù)了必修2中研究直線與圓的方程的思想，所以應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過積極主動(dòng)的探索來完成圓錐曲線的學(xué)習(xí)，教師通過圓錐曲線背景的介紹，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在研究了橢圓方程及性質(zhì)的基礎(chǔ)上，用類比的方法來研究雙曲線和拋物線的方程及性質(zhì)，經(jīng)歷直觀感知，定義、建立方程、研究性質(zhì)的基本過程，感受坐標(biāo)法的作用，體會(huì)數(shù)形結(jié)合法的思想。（2）學(xué)生思維能力培養(yǎng)的問題?！案咧袛?shù)學(xué)課程應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。”這是課標(biāo)對(duì)學(xué)生思維培養(yǎng)的要求，在圓錐曲線這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)中，牽涉到數(shù)和形的結(jié)合問題，這里有直觀感知，觀

4、察發(fā)現(xiàn)，歸納類比、抽象概括，符號(hào)（方程）表示，運(yùn)算求解，數(shù)學(xué)建模等，通過這些方法在學(xué)生學(xué)習(xí)中的運(yùn)用，來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。（3）發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。圓錐曲線幾何性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)中有很多重要的應(yīng)用，讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)去解決一些實(shí)際問題，如求某航天器的運(yùn)行軌跡方程問題，確定生源的問題，等等。另外，在解決圓錐曲線有關(guān)問題時(shí)，對(duì)運(yùn)算求解能力，分析問題、解決問題的能力要求都比較高，這需要學(xué)生綜合利用前面所學(xué)的基本知識(shí)來解決問題，在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況來采用適當(dāng)?shù)姆椒òl(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。（4）鞏固“雙基”，發(fā)展思想。在學(xué)習(xí)中，仍然要以基礎(chǔ)知識(shí)的夯實(shí)為主，讓學(xué)生掌握?qǐng)A錐曲線的定義、方程、圖形及幾何性質(zhì)，形成基本的

5、解決問題的技能，在此基礎(chǔ)上，體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)合思想、類比思想（研究雙曲線和拋物線方程、性質(zhì)時(shí)類比橢圓的進(jìn)行）、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用（在求解直線與圓錐曲線有關(guān)問題時(shí)，要利用函數(shù)與方程思想），提高學(xué)生的運(yùn)算求解能力和分析解決問題的能力。（5）信息技術(shù)手段的應(yīng)用：在學(xué)生直觀感知圓錐曲線圖形的基礎(chǔ)上，可以借助信息技術(shù)手段來做出橢圓、雙曲線、拋物線圖形，利用動(dòng)態(tài)演示來幫助學(xué)生觀察學(xué)習(xí)，例如對(duì)離心率的教學(xué)，通過演示橢圓的變化來讓學(xué)生認(rèn)識(shí)離心率的作用，加深學(xué)生的影響。 4、教材中幾個(gè)值得注意的問題 （1）注意知識(shí)內(nèi)容的銜接。必修數(shù)學(xué)2中的直線與方程、圓與方程，以及選修2-1（選修1-1）中的圓錐曲線與方程，系列4

6、中的“選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程”共同構(gòu)成了經(jīng)典的解析幾何內(nèi)容，教學(xué)時(shí)，應(yīng)該注意這些知識(shí)的銜接，把圓錐曲線的教學(xué)放在整個(gè)解析幾何內(nèi)容教學(xué)中通盤來考慮，如課標(biāo)中對(duì)橢圓的要求是“理解”，對(duì)雙曲線的要求是“了解”，而拋物線的內(nèi)容理科要求“理解”，文科要求“了解”，這些要求應(yīng)該落實(shí)好，最好不要超越，研究和學(xué)習(xí)的過程從研究直線與方程、圓的方程的方法入手，充分利用坐標(biāo)法，將各部分內(nèi)容有機(jī)地聯(lián)系在一起。（2）圓錐曲線的第二定義和統(tǒng)一定義不做作，對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)形式的圓錐曲線方程也不作要求。在教材中，對(duì)圓錐曲線的第二定義，都是在習(xí)題當(dāng)中給出的，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣濃厚的學(xué)生，可以引導(dǎo)他們?nèi)ソ鉀Q這些問題。關(guān)于

7、圓錐曲線的統(tǒng)一定義及非標(biāo)準(zhǔn)形式的方程，在教材中是以“閱讀和思考”的方式給出的，可以讓學(xué)生作為課外延伸學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在具體的教學(xué)中不可補(bǔ)充這樣的教學(xué)內(nèi)容，以免增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，增大教學(xué)的難度。（3）關(guān)于曲線方程和函數(shù)與圖像之間的關(guān)系問題。這兩者是不同的研究對(duì)象，但它們之間有一定的聯(lián)系，也存在一定的區(qū)別。在教材中，安排了“探究與發(fā)現(xiàn)：為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線”。即可以從函數(shù)的角度來研究拋物線的性質(zhì)，也可根據(jù)其幾何特征來研究其性質(zhì)，而圖像可以是函數(shù)的表現(xiàn)形式，也可以是曲線的表現(xiàn)形式，這里可以利用配方把二次函數(shù)變成，再移項(xiàng)便得，不是和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程很相似嗎？這樣讓學(xué)生更清楚地認(rèn)識(shí)到二次函數(shù)的圖像

8、就是拋物線。5、教學(xué)方法視角的分析 圓錐曲線是解析幾何的經(jīng)典內(nèi)容，它的教學(xué)必須結(jié)合實(shí)際背景來展開。（1）通過直觀展示來介紹圓錐曲線的背景知識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。（2）充分利用坐標(biāo)法，利用直觀感知、研究特征、建立方程、研究性質(zhì)的思路解決學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓的知識(shí)問題，再利用類比的方法讓學(xué)生通過自主探究來完成雙曲線與拋物線的知識(shí)學(xué)習(xí)。（3）利用解析幾何的特點(diǎn)，將“形”與“數(shù)”結(jié)合，滲透數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)習(xí)圓錐曲線知識(shí)當(dāng)中得作用，引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度去研究圖形的幾何性質(zhì)。（4）運(yùn)用好問題教學(xué)法.發(fā)揮教材例習(xí)題的作用，設(shè)計(jì)合理的問題讓學(xué)生去解決，幫助學(xué)生深入理解和運(yùn)用圓錐曲線知識(shí)解決相應(yīng)的問

9、題，形成基本的分析和解決問題的能力。（5）歸納整理方法的使用.教材中有很多軌跡問題在橢圓與雙曲線中是對(duì)應(yīng)出現(xiàn)的，可以引導(dǎo)學(xué)生比較分析，并歸納整理解決問題的辦法。如到兩定點(diǎn)的連線斜率之積是定值的問題，圓錐曲線第二定義的問題等。（6）使用好探究教學(xué)法.在圓錐曲線當(dāng)中，有很多問題值得研究解決，教學(xué)中應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，利用教材的探究問題引導(dǎo)學(xué)生去探索學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。二、教學(xué)目標(biāo)分析在課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，對(duì)圓錐曲線與方程的教學(xué)目標(biāo)做了如下規(guī)定：（1）圓錐曲線： “了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用”。數(shù)學(xué)的知識(shí)來自于現(xiàn)實(shí)生活，又作用于現(xiàn)實(shí)生活，而圓錐曲

10、線在實(shí)際生活中有更多領(lǐng)域的應(yīng)用，因此，讓學(xué)生了解圓錐曲線的實(shí)際背景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，增加課程學(xué)習(xí)的求知欲望。 “經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單性質(zhì)”。這里重點(diǎn)是利用坐標(biāo)法，根據(jù)橢圓、拋物線的定義，從圖形的幾何特征出發(fā)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，研究建立橢圓、拋物線的方程，再從方程出發(fā)結(jié)合圖形來研究它們的幾何性質(zhì)及簡(jiǎn)單的應(yīng)用。 “了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)”。為了降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，對(duì)雙曲線的要求相比橢圓和拋物線有所降低，屬于“了解”的范疇，仿照橢圓方程及性質(zhì)的研究可以研究雙曲線的方程及相關(guān)性質(zhì)。 “能用坐標(biāo)法解決一些

11、與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）和實(shí)際問題”。傳統(tǒng)上講，主要是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，也會(huì)出現(xiàn)圓和圓錐曲線的位置關(guān)系問題，研究的方式可借助直線與圓的研究方式進(jìn)行，充分利用方程思想，有必要說明的是，為了學(xué)生更好地解決問題，可以補(bǔ)充一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。 “通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想”。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)當(dāng)中一種重要的思想方法，在解析幾何中運(yùn)用尤其突出，通過本部分的學(xué)習(xí)，應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想去解決一些相關(guān)的問題，借助直觀來解決復(fù)雜繁難的數(shù)學(xué)問題。 （2） 曲線與方程 “ 結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步感

12、受數(shù)形結(jié)合的基本思想”。對(duì)曲線與方程的概念，學(xué)生理解比較困難，也比較抽象，因此，要求通過實(shí)例來讓學(xué)生體會(huì)和感受。根據(jù)以上目標(biāo)規(guī)定，還得注意以下兩點(diǎn)：（1）關(guān)于能力目標(biāo)：要會(huì)根據(jù)條件求橢圓、拋物線及雙曲線的方程，在有關(guān)圓錐曲線性質(zhì)的應(yīng)用中，要去強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算求解能力，提高學(xué)生分析和解決問題的能力，在思維能力方面，要引導(dǎo)學(xué)生善于使用函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想來解決問題，特別是數(shù)形結(jié)合思想，它是解決圓錐曲線問題中必不可少的思想方法。（2）關(guān)于情感態(tài)度價(jià)值觀：主要讓學(xué)生在了解圓錐曲線的實(shí)際背景過程中感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決問題中的作用，在建立圓錐曲線方程的過程中感受從具體情境抽象出一般規(guī)律的

13、思想和方法，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的作用與價(jià)值，經(jīng)歷“坐標(biāo)法”使數(shù)學(xué)的“形”和“數(shù)”有機(jī)結(jié)合的過程，體會(huì)人類研究數(shù)學(xué)時(shí)所付出的艱辛勞動(dòng)，以及數(shù)學(xué)為社會(huì)所做的貢獻(xiàn)。三、學(xué)習(xí)者特征分析1、學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)：學(xué)生在數(shù)學(xué)必修2中學(xué)習(xí)了直線與方程、圓的方程，這是解析幾何的初步知識(shí)，里面介紹了坐標(biāo)法建立直線與圓的方程的過程，學(xué)生了解了利用代數(shù)方法來研究幾何圖形的性質(zhì)，這里學(xué)習(xí)圓錐曲線是學(xué)習(xí)圓的方程的延續(xù)，可以借助學(xué)習(xí)圓的方程的方法來推進(jìn)這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，說明在方法上學(xué)生具有一定的基礎(chǔ)。2、學(xué)習(xí)者的思維特質(zhì)：在學(xué)完高中數(shù)學(xué)的全部必修課程，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到提升，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)基本形成，獨(dú)立思考解

14、決問題的能力進(jìn)一步得到加強(qiáng)，這時(shí)候讓學(xué)生去探究學(xué)習(xí)圓錐曲線的有關(guān)性質(zhì)就有了一定的思維支撐。但是學(xué)生的思維的創(chuàng)新性和批判性還是比較欠缺的，所以，在圓錐曲線的大量探索性問題面前，需要老師進(jìn)行更多的引導(dǎo)。3、學(xué)習(xí)者的運(yùn)算求解能力不一定適應(yīng)這部分的學(xué)習(xí)。在圓錐曲線的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要有較好的計(jì)算處理能力，特別是對(duì)解方程的要求比較高，在學(xué)生以前所學(xué)的解一次方程（組）的基礎(chǔ)上，難以適應(yīng)這里的解方程，因?yàn)楹芏嗌婕暗蕉畏匠探M，從實(shí)踐中看，學(xué)生這方面有問題，特別是解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的時(shí)候，計(jì)算最容易出錯(cuò)，學(xué)生對(duì)含參的方程組整理成一元二次方程感到很麻煩，教師應(yīng)在學(xué)生解決直線與圓的位置關(guān)系問題基礎(chǔ)上再強(qiáng)

15、化。4、學(xué)習(xí)者分析問題、解決問題的能力可能難以滿足這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)。從圓錐曲線方程的建立過程看，需要直觀感知，給出定義，再建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，列出條件，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，化簡(jiǎn)處理，得到簡(jiǎn)單方程，最后抽象出標(biāo)準(zhǔn)方程，這里需要學(xué)生更高的分析問題與解決問題的能力，還有一個(gè)數(shù)學(xué)建模過程，而學(xué)生在以往經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上是難以獨(dú)立完成的，特別是直角坐標(biāo)系的建立，如何建，為什么會(huì)像教材里面那樣去選擇，學(xué)生會(huì)有很多疑問，需要我們很好地思考解決。5、學(xué)習(xí)者探究問題的能力比較低下。本部分內(nèi)容探究問題比較多，教材也設(shè)置了很多問題需要學(xué)生去獨(dú)立探究解決，特別是關(guān)于軌跡問題，有很多習(xí)題，學(xué)生在新課學(xué)習(xí)之后能否獨(dú)立解決值得思考。6

16、、合作學(xué)習(xí)是否能夠發(fā)揮作用的問題。在高中學(xué)段，學(xué)生的獨(dú)立意識(shí)開始形成，喜歡獨(dú)自解決自身學(xué)習(xí)問題的學(xué)生增多，但是部分學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生又容易形成依賴心理，所以學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能否提高學(xué)習(xí)者整體的學(xué)習(xí)水平很難預(yù)測(cè)。7、學(xué)生的歸納類比能力有待加強(qiáng)。在雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)中，需要類比橢圓方程與性質(zhì)的學(xué)習(xí)來進(jìn)行，但是學(xué)生在類比的過程不善于甄別相似點(diǎn)和不同點(diǎn)，出現(xiàn)錯(cuò)誤的問題。另外，教材在橢圓與雙曲線的例習(xí)題中配備了很多相似的軌跡問題，需要學(xué)生歸納整理歸類，以便比較學(xué)習(xí)，但是從教學(xué)實(shí)踐看，學(xué)生很難做到這一點(diǎn)，因此，在學(xué)習(xí)完整部分內(nèi)容后教師要引導(dǎo)學(xué)生去歸納整理。四、教學(xué)重難點(diǎn)分析：教學(xué)重點(diǎn)：1、理解和掌握橢圓、拋

17、物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單性質(zhì)（圓錐曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等）。 2、了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，了解雙曲線的有關(guān)性質(zhì)，特別是漸近線的性質(zhì)以及漸近線與離心率的關(guān)系。 3、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的處理。 4、曲線與方程的關(guān)系，如何求點(diǎn)的軌跡方程問題。 5、體會(huì)坐標(biāo)法與數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：1、抽象出圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)坐標(biāo)系的建立問題； 2、圓錐曲線性質(zhì)的應(yīng)用問題； 3、直線與圓錐曲線的關(guān)系問題的解決； 4、軌跡及求軌跡方程問題； 5、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決解析幾何問題。五、學(xué)習(xí)任務(wù)及課時(shí)安排安排大約15課時(shí)，具體安排如下：2.1 曲線與方程：2課時(shí)，第1

18、課時(shí)通過實(shí)例來解決曲線與方程的關(guān)系問題，讓學(xué)生初步感知如何解決簡(jiǎn)單的軌跡方程問題；第2課時(shí)求曲線方程，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)根據(jù)條件通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求軌跡方程。2.2 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程：5課時(shí)，第1課時(shí)學(xué)習(xí)橢圓定義，推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第2課時(shí)解決教材例題，會(huì)根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題，特別是例2和例3，要引導(dǎo)學(xué)生探究坐標(biāo)法在求軌跡方程問題中作用；第3課時(shí)研究橢圓的幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、長短軸、離心率等），解決例4；第4課時(shí)是橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用，通過例習(xí)題的解決來鞏固對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)；第5課時(shí)，橢圓方程、性質(zhì)的綜合應(yīng)用課，解決簡(jiǎn)單的直線與橢圓的位置關(guān)系問題，并對(duì)習(xí)題中典型的問題給予解決。

19、2.3 雙曲線：3課時(shí)，第1課時(shí)，雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，類比橢圓方程的建立過程來推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并通過實(shí)際問題來求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；第2課時(shí)，雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，突出漸近線的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生探究離心率與漸近線斜率之間的關(guān)系；第3課時(shí)，雙曲線簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，通過例6來說明直線與雙曲線（圓錐曲線）相交時(shí)弦長的計(jì)算方法。2.4 拋物線：3課時(shí)，第1課時(shí)，拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，注意方程推導(dǎo)當(dāng)中坐標(biāo)系的建立問題，通過類比得到焦點(diǎn)不同的四種拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程形式，會(huì)根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程（例1）；第2課時(shí)，拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，第3課時(shí)，重點(diǎn)解決拋物線于直線的有關(guān)計(jì)算問題，注意拋物線定義及

20、性質(zhì)的應(yīng)用，通過例4、例5、例6的解決來體會(huì)數(shù)形結(jié)合法在解決圓錐曲線問題中的作用。單元知識(shí)小結(jié)2課時(shí).六、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)：【知識(shí)目標(biāo)】1、了解雙曲線的定義及幾何圖形； 2、類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程建立的過程選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。【能力目標(biāo)】1、通過雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立來培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力，提高學(xué)生的運(yùn)算化簡(jiǎn)能力；2、通過實(shí)際問題來建立雙曲線的方程培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力?！厩楦袘B(tài)度價(jià)值觀】經(jīng)歷從實(shí)際生活背景中抽象出雙曲線的定義的過程，體會(huì)雙曲線在實(shí)際生活當(dāng)中的應(yīng)用價(jià)值，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的定義、幾何圖形及標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難

21、點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程以及雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用教學(xué)方法：類比法、探究法、講解法課時(shí)安排：1課時(shí)教學(xué)流程設(shè)計(jì)：教學(xué)步驟教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入思考：與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為非零常數(shù)（大于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓，那么，與兩定點(diǎn)距離差為非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡又是什么呢？ 引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)橢圓的定義，然后改變條件讓學(xué)生思考.通過類比，在改換條件的情況下，讓學(xué)生思考新的軌跡是什么，從而激發(fā)學(xué)生的探求欲望，把學(xué)生的思維引入到新課學(xué)習(xí)當(dāng)中來.整體感知，探索定義問題1：利用拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)，上，把筆尖放在兩邊交點(diǎn)處，隨著拉鏈的拉開或者閉攏，

22、筆尖所經(jīng)過的點(diǎn)就畫出一條曲線，寫出這個(gè)交點(diǎn)所滿足的條件？問題2：利用幾何畫板，按思考問題作圖，看軌跡是什么圖形？雙曲線定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.思考：如果定義中取消常數(shù)小于的限制，動(dòng)點(diǎn)的軌跡又會(huì)是什么呢？學(xué)生按教師的要求動(dòng)手實(shí)踐，觀察畫出的圖形，再換角度畫出雙曲線的兩支，弄清其滿足的幾何特征，然后類比橢圓的定義嘗試給出雙曲線的定義，再進(jìn)行完善。教師強(qiáng)調(diào)定義中常數(shù)小于的必要性，并引導(dǎo)學(xué)生探究思考問題.通過教材給出的活動(dòng)實(shí)驗(yàn)來培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，并體驗(yàn)雙曲線概念的形成過程，通過

23、信息技術(shù)手段的演示來了解雙曲線滿足的幾何特征，進(jìn)一步驗(yàn)證學(xué)生觀察得到的知識(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.對(duì)定義的思考問題來培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，加強(qiáng)對(duì)概念的理解學(xué)習(xí).探究新知，建立方程探究：類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，你能說說應(yīng)怎樣選擇坐標(biāo)系，建立雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？過程：以焦點(diǎn)所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)是雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為，常數(shù)設(shè)為，然后根據(jù)條件轉(zhuǎn)化來求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：（1） 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí) （2） 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí) 教師引導(dǎo)學(xué)生回憶橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法來自己動(dòng)手推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 在具體的推導(dǎo)過程中，要注意先

24、按雙曲線定義寫出點(diǎn)的集合，然后轉(zhuǎn)化為方程，再進(jìn)行化簡(jiǎn)，為了使方程更簡(jiǎn)潔，可設(shè). 推導(dǎo)出焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，可仿照橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式讓學(xué)生寫出焦點(diǎn)在軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.讓學(xué)生類比探究的過程，利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和解決問題的辦法，來推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，在這個(gè)過程中，對(duì)運(yùn)算化簡(jiǎn)能力的要求比較高，根據(jù)實(shí)際情況可讓學(xué)生再去看看橢圓方程推導(dǎo)過程中方程的化簡(jiǎn)過程，然后再回頭來進(jìn)行化簡(jiǎn).要求學(xué)生畫出圖形來分析，學(xué)會(huì)利用坐標(biāo)法來求軌跡方程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中學(xué)習(xí)中作用和價(jià)值.知識(shí)應(yīng)用，鞏固所學(xué)例1 已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，雙曲線上一點(diǎn)到距離差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2 已知兩地相距800，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且聲速為340，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程. 例1由學(xué)生獨(dú)立解決，注意雙曲線定義的應(yīng)用；例2是一個(gè)應(yīng)用問題，學(xué)生按照建立雙曲線方程的方法來解決.首先分析問題判斷點(diǎn)的軌跡的形狀，然后建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來解決，教師注意引導(dǎo)學(xué)生分析和解決問題. 兩個(gè)例題來讓學(xué)生解決，一是解決學(xué)生對(duì)雙曲線定義的應(yīng)用，二是體會(huì)雙曲線在實(shí)際問題中應(yīng)用. 探究應(yīng)用，知能升華探究：點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，試求當(dāng)點(diǎn)的軌跡方程，并由點(diǎn)的軌跡方程判斷軌跡的形狀.與2.2例3比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 學(xué)生根據(jù)以前所學(xué)軌跡問題的解決辦法探索此問題的解，并與橢圓中的例題相比較