北大高等代數105

1、第一學期第五次課2.1.4 向量組的線性等價和集合上的等價關系定義（線性等價） 給定內的兩個向量組 ， （*） ， （*）如果向量組（*）中每一個向量都能被向量組（*）線性表示，反過來向量組（*）中的每個向量也都能被向量組（*）線性表示，則稱向量組（*）和向量組（*）線性等價。定義（集合上的等價關系） 給定一個集合，上的一個二元關系“”稱為一個等價關系，如果“”滿足以下三條：（1） 反身性：；（2） 對稱性：；（3） 傳遞性：。與等價的元素的全體成為所在的等價類。命題 若與在不同的等價類，則它們所在的等價類的交集是空集。進而一個定義了等價關系的集合可以表示為所有等價類的無交并。證明 記所在的等

2、價類為，的等價類為。若它們的交集非空，則存在，于是有。由等價關系定義中的對稱性和傳遞性即知，與和在不同的等價類矛盾。這就證明了和所在的等價類交集是空集。而集合包含所有等價類的并集，又集合中的任一個元素都屬于一個等價類，于是集合是等價類的并集。綜上可知，命題成立。證畢。命題 給定內兩個向量組 ， （1） ， （2）且（2）中每一個向量都能被向量組（1）線性表示。如果向量能被向量組（2）線性表示，則也可以被向量組（1）線性表示。證明 若向量組（2）中的每一個向量都可以被向量組（1）線性表示，則存在 ，使得 () . （i）由于能被向量組（2）線性表示，故存在 ，使得.將（i）代入，得，即可被線性表

3、示。由此易推知命題 線性等價是的向量組集合上的等價關系。2.1.5向量組的極大線性無關部分組和向量組的秩定義（ 向量組的極大線性無關組） 設為中的一個向量組，它的一部分組稱為原向量組的一個極大線性無關組，若（1） 線性無關；（2） 中的每一個向量都可被線性表出。容易看出向量組和線性等價。引理 給定上的向量組和，如果可被線性表出，且，則向量組線性相關。證明 由于可被線性表出，故存在，使得 （*）設 . （*）將（*）代入（*），得.設各系數均為零，得到 ， （*）（*）是一個含有個未知量和個方程的其次線性方程組，而，故方程組（*）有非零解，于是存在不全為零的，使得（*）成立。由線性相關的定義即知向量組線性相關。定理 線性等價的向量組中的極大線性無關組所含的向量個數相等。證明 設和中的線性等價的向量組。設向量組和分別是原向量組的極大線性無關部分組，則由線性無關部分組的定義和線性等價的傳遞性知此二極大線性無關部分組線性等價。由于可將中的每一個向量線性表出，知（否則由引理知向量組線性相關，矛盾）。同理。于是。推論 任意向量組中，任意極大線性無關組所含