兩角和與差的公式

1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1兩角和與差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin (C()cos()cos_cos_sin_sin_(C()sin()sin_cos_cos_sin_(S()sin()sin_cos_cos_sin_(S()tan()(T()tan()(T()2二倍角公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.3在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用公式解決問(wèn)題：如公式的正用、逆用和變形用等如T(±)可變形為tan ±tan tan(±)(1tan_tan_)，tan

2、 tan 11.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)存在實(shí)數(shù)，使等式sin()sin sin 成立()(2)在銳角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不確定(×)(3)公式tan()可以變形為tan tan tan()(1tan tan )，且對(duì)任意角，都成立(×)(4)存在實(shí)數(shù)，使tan 22tan .()(5)設(shè)sin 2sin ，(，)，則tan 2.()1(2013·浙江)已知R，sin 2cos ，則tan 2等于()A. B. C D答案C解析sin 2cos ，sin24sin cos 4c

3、os2.化簡(jiǎn)得：4sin 23cos 2，tan 2.故選C.2若，則tan 2等于()A B. C D.答案B解析由，等式左邊分子、分母同除cos 得，解得tan 3，則tan 2.3(2013·課標(biāo)全國(guó))設(shè)為第二象限角，若tan，則sin cos _.答案解析tan，tan ，即且為第二象限角，解得sin ，cos .sin cos .4(2014·課標(biāo)全國(guó))函數(shù)f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值為_(kāi)答案1解析f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)si

4、n(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x，f(x)的最大值為1.題型一三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用例1(1)設(shè)tan ，tan 是方程x23x20的兩根，則tan()的值為()A3 B1C1 D3(2)若0<<，<<0，cos()，cos()，則cos()等于()A. BC. D答案(1)A(2)C解析(1)由根與系數(shù)的關(guān)系可知tan tan 3，tan tan 2.tan()3.故選A.(2)cos()cos()()cos()cos()sin()sin()0<<，則<<，sin().又<<0，則<<，則sin

5、().故cos()××.故選C.思維升華三角函數(shù)公式對(duì)使公式有意義的任意角都成立使用中要注意觀察角之間的和、差、倍、互補(bǔ)、互余等關(guān)系(1)若(，)，tan()，則sin 等于()A. B.C D(2)計(jì)算：sin 10°(tan 5°)_.答案(1)A(2)解析(1)tan()，tan ，cos sin .又sin2cos21，sin2.又(，)，sin .(2)原式sin 10°·.題型二三角函數(shù)公式的靈活應(yīng)用例2(1)sin(65°x)cos(x20°)cos(65°x)·cos(110&#

6、176;x)的值為()A. B.C. D.(2)化簡(jiǎn)：_.(3)求值：_.答案(1)B(2)cos 2x(3)解析(1)原式sin(65°x)·cos(x20°)cos(65°x)cos90°(x20°)sin(65°x)cos(x20°)cos(65°x)sin(x20°)sin(65°x)(x20°)sin 45°.故選B.(2)原式cos 2x.(3)原式tan(45°15°).思維升華運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且

7、要熟悉公式的逆用及變形，如tan tan tan()·(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多種變形等公式的逆用和變形應(yīng)用更能開(kāi)拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力(1)已知(0，)，化簡(jiǎn)：_.(2)在ABC中，已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則tantantantan的值為_(kāi)答案(1)cos (2)解析(1)原式.因?yàn)?0，)，所以cos>0，所以原式(cossin)·(cossin)cos2sin2cos .(2)因?yàn)槿齻€(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且ABC，所以AC，tan ，所以tan tan tan tan tantan tan tan tan .

8、題型三三角函數(shù)公式運(yùn)用中角的變換例3(1)已知，均為銳角，且sin ，tan().則sin()_，cos _.(2)(2013·課標(biāo)全國(guó))已知sin 2，則cos2等于()A. B. C. D.答案(1)(2)A解析(1)，(0，)，從而<<.又tan()<0，<<0.sin()，cos().為銳角，sin ，cos .cos cos()cos cos()sin sin()××().(2)因?yàn)閏os2，所以cos2，選A.思維升華1.解決三角函數(shù)的求值問(wèn)題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表

9、示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”2常見(jiàn)的配角技巧：2()()，()，()()等(1)設(shè)、都是銳角，且cos ，sin()，則cos 等于()A. B.C.或 D.或(2)已知cos()sin ，則sin()的值是_答案(1)A(2)解析(1)依題意得sin ，cos()±±.又，均為銳角，所以0<<<，cos >cos()因?yàn)?gt;>，所以cos().于是cos cos()cos()cos sin()sin ×&

10、#215;.(2)cos()sin ，cos sin ，(cos sin )，sin()，sin()，sin()sin().高考中的三角函數(shù)求值、化簡(jiǎn)問(wèn)題典例：(1)若tan 22，<2<2，則_.(2)(2014·課標(biāo)全國(guó))設(shè)(0，)，(0，)，且tan ，則()A3 B2C3 D2(3)(2012·大綱全國(guó))已知為第二象限角，sin cos ，則cos 2等于()A B C. D.(4)(2012·重慶)等于()A B C. D.思維點(diǎn)撥(1)注意和差公式的逆用及變形(2)“切化弦”，利用和差公式、誘導(dǎo)公式找，的關(guān)系(3)可以利用sin2cos21

11、尋求sin ±cos 與sin cos 的聯(lián)系(4)利用和角公式將已知式子中的角向特殊角轉(zhuǎn)化解析(1)原式，又tan 22，即tan2tan 0，解得tan 或tan .<2<2，<<.tan ，故原式32.(2)由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin()(0，)，(0，)，(，)，(0，)，由sin()sin()，得，2.(3)方法一sin cos ，(sin cos )2，2sin cos ，即sin 2.又為第二象限角且sin cos >0，2k<<2k(kZ)，4k<2<4k(k

12、Z)，2為第三象限角，cos 2.方法二由sin cos 兩邊平方得12sin cos ，2sin cos .為第二象限角，sin >0，cos <0，sin cos .由得cos 22cos21.(4)原式sin 30°.答案(1)32(2)B(3)A(4)C溫馨提醒(1)三角函數(shù)的求值化簡(jiǎn)要結(jié)合式子特征，靈活運(yùn)用或變形使用公式(2)三角求值要注意角的變換，掌握常見(jiàn)的配角技巧方法與技巧1巧用公式變形：和差角公式變形：tan x±tan ytan(x±y)·(1tan x·tan y)；倍角公式變形：降冪公式cos2，sin2，配方

13、變形：1±sin 2，1cos 2cos2，1cos 2sin2.2重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題時(shí)，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問(wèn)題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃问д`與防范1運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通2在(0，)范圍內(nèi)，sin()所對(duì)應(yīng)的角不是唯一的3在三角求值時(shí)，往往要估計(jì)角的范圍后再

14、求值.A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：30分鐘)1已知tan()，tan，那么tan等于()A. B. C. D.答案C解析因?yàn)?，所?)，所以tantan.2若，sin 2，則sin 等于()A. B. C. D.答案D解析由sin 2和sin2cos21得(sin cos )21()2，又，sin cos .同理，sin cos ，sin .3已知tan 4，則的值為()A4 B.C4 D.答案B解析，tan 4，cos 0，分子、分母都除以cos2得.4(2013·重慶)4cos 50°tan 40°等于()A. B. C. D21答案C解析4cos 50°

15、;tan 40°.5已知cos(x)，則cos xcos(x)的值是()A B±C1 D±1答案C解析cos xcos(x)cos xcos xsin xcos xsin x(cos xsin x)cos(x)1.6 _.答案解析.7已知、均為銳角，且cos()sin()，則tan _.答案1解析根據(jù)已知條件：cos cos sin sin sin cos cos sin ，cos (cos sin )sin (cos sin )0，即(cos sin )(cos sin )0.又、為銳角，則sin cos >0，cos sin 0，tan 1.8._.答案

16、4解析原式4.9已知 2tan ，試確定使等式成立的的取值集合解因?yàn)?，所以2tan .所以sin 0或|cos |cos >0.故的取值集合為|k或2k<<2k或2k<<2k，kZ10已知，且sin cos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解(1)因?yàn)閟in cos ，兩邊同時(shí)平方，得sin .又<<，所以cos .(2)因?yàn)?lt;<，<<，所以<<，故<<.又sin()，得cos().cos cos()cos cos()sin sin()××.B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升

17、(時(shí)間：25分鐘)11已知tan()，且<<0，則等于()A B C D.答案A解析由tan()，得tan .又<<0，所以sin .故2sin .12若，且sin2cos 2，則tan 的值等于()A. B. C. D.答案D解析，且sin2cos 2，sin2cos2sin2，cos2，cos 或(舍去)，tan .13若tan ，(0，)，則sin(2)_.答案解析因?yàn)閟in 2，又由(0，)，得2(0，)，所以cos 2，所以sin(2)sin 2coscos 2sin××.14已知函數(shù)f(x)sincos，xR.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos()，cos()，0<<，求證：f()220.(1)解f(x)sincossinsin2sin，T2，f(x)的最小值為2.(2)證明由已知得cos cos sin sin ，cos cos sin sin ，兩式相加得2cos cos 0，