二項(xiàng)式定理十大典型例題配套練習(xí)

1、 中國領(lǐng)先的個(gè)性化教育品牌精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號： 年 級：高二 課 時(shí) 數(shù)： 3學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師： 教學(xué)內(nèi)容1二項(xiàng)式定理：，2基本概念：二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù):展開式中各項(xiàng)的系數(shù).項(xiàng)數(shù)：共項(xiàng)，是關(guān)于與的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第項(xiàng)叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用表示。3注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有項(xiàng)。順序：注意正確選擇,其順序不能更改。與是不同的。指數(shù)：的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，是降冪排列。的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，是升冪排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）。4常用的

2、結(jié)論：令 令 5性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，···二項(xiàng)式系數(shù)和：令,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為， 變形式。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令，則，從而得到：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值。 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來。專題一題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；例：解：與已知的有一

3、些差距， 練：解：設(shè)，則題型二：利用通項(xiàng)公式求的系數(shù)；例：在二項(xiàng)式的展開式中倒數(shù)第項(xiàng)的系數(shù)為，求含有的項(xiàng)的系數(shù)？解：由條件知，即，解得，由，由題意，則含有的項(xiàng)是第項(xiàng),系數(shù)為。練：求展開式中的系數(shù)？解：，令,則故的系數(shù)為。題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？解：，令，得，所以練：求二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？解：，令，得，所以練：若的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則解：，令，得.題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式展開式中的有理項(xiàng)？解：，令,()得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；例：若展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為，求.解：

4、設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為 ,則有，,則有 將-得： 有題意得，。練：若的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，求它的中間項(xiàng)。解：，解得 所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為，題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；例：已知，若展開式中第項(xiàng)，第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：解出，當(dāng)時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是，當(dāng)時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是，。練：在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即，也就是第項(xiàng)。練：在的展開式中，只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？解：只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則，即,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為

5、第七項(xiàng)等于練：寫出在的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)()的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從而有的系數(shù)最小，系數(shù)最大。練：若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于，求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)？解：由解出,假設(shè)項(xiàng)最大，化簡得到，又，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為,有練：在的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：假設(shè)項(xiàng)最大，化簡得到，又，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)；例：求當(dāng)?shù)恼归_式中的一次項(xiàng)的系數(shù)？解法：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的展開式中才有x的一次項(xiàng)，此時(shí)，所以得一次項(xiàng)為它的系數(shù)為。解法： 故展開式中含的項(xiàng)為，故展開式中的系數(shù)為240.練：求式子的常數(shù)項(xiàng)？解：

6、，設(shè)第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則，得, .題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；例：解： .練：解：.練：解：題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例：解：題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為,若,則等于多少？解：若，有， 令得，又,即解得，.練：若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少？解：令，則的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，所以，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為.練：解： 練：解：題型十一：整除性；例：證明：能被64整除證：由于各項(xiàng)均能被64整除1、(x1)11展開式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是 1、設(shè)f(x)=(x-1)11, 偶次項(xiàng)系數(shù)之和是2、 2、2、4n3、的展開式中的有理項(xiàng)是展

7、開式的第 項(xiàng)3、3,9,15,21 4、(2x-1)5展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和是 4、(2x-1)5展開式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對值之和實(shí)為(2x+1)5展開式系數(shù)之和，故令x=1，則所求和為355、求(1+x+x2)(1-x)10展開式中x4的系數(shù)5、,要得到含x4的項(xiàng)，必須第一個(gè)因式中的1與(1-x)9展開式中的項(xiàng)作積，第一個(gè)因式中的x3與(1-x)9展開式中的項(xiàng)作積，故x4的系數(shù)是6、求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)6、=，原式中x3實(shí)為這分子中的x4，則所求系數(shù)為7、若展開式中，x的系數(shù)為21，問m、n為何值時(shí)，x2的系數(shù)最小？7、由條件得m+n=21，x2的項(xiàng)為，則因nN，故當(dāng)n=10或11時(shí)上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11時(shí)，x2的系數(shù)最小8、自然數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，求證： 8、原式=9、求被9除的余數(shù)9、 ,kZ,9k-1Z，被9除余810、在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù)10、在(x+1)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為1，含x的項(xiàng)為，在(2+x)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為25=32，含x的項(xiàng)為 展開式中