平面向量坐標運算

1、制作人： 王祖望平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算復習回顧復習回顧兩向量共線的充要條件？用數(shù)學語言描述平面向量基本定理。)0,( ,/aRabba為基底）21212211,( ,eeReea. 00212211eea量共線。我們可以轉(zhuǎn)化為證明向證明三點共線的問題，問題導學：問題導學：向量能否用坐標表示？。叫向量的坐標表示方法令).,(.,.,2121yxajyi xajeieyx。軸正方向上的單位向量為，軸正方向上的單位向量為其中yjxi.jijiji.可以作為基底。且與不共線，所以與為基底）21212211,( ,eeReea向量的表示方法我們學過那些？如圖1，在直角坐標系內(nèi)，我們分別取與

2、x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、 j作為基底，任何一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得 a=xi+yj 們把（x,y)叫做向量a 的（直角）坐標，記作 a=(x，y),其中x叫做a 在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，（x ,y）叫做向量的坐標表示。一、平面向量的坐標表示ayjiO圖 1xiyxOyxjA（x,y）aa圖 2如圖2，在直角坐標平面內(nèi)，以原點O為起點作OA=a，則點A的位置由a唯一確定。設OA=xi+yj，則向量OA的坐標（x,y)就是點A的坐標。).0, 0(),(),0 , 0(yxaOAyxAO因為_)4 , 5().3 , 2(ABBAB

3、A則若).,(.yxjyixaOA！向量的表示方法不少了例1 如圖3，用基底i，j分別表示向量a、b、c、d ,并求出它們的坐標。jyxOiaA1AA2bcd圖 3a=(2,3)b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)如圖作出向量 ，則：MN性質(zhì)：在直角坐標系中，已知兩點M(x1,y1),N(x2,y2),求向量 的坐標MN),(11yxOM ),(22yxON OMONMN解： 1122,yxyx1212,yyxx1212,yyxxMNyoxM (x1,y1)N (x2,y2)有向線段表示的向量的橫（縱）坐標等于表示此向量的有有向線段表示的向

4、量的橫（縱）坐標等于表示此向量的有向線段的終點的橫（縱）坐標減去始點的橫（縱）坐標。向線段的終點的橫（縱）坐標減去始點的橫（縱）坐標。二、平面向量的坐標運算已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j即 a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)這就是說，兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差。已知a=(x,y)和實數(shù)，那么 a=( x, y) 即 a=(x, y)這就是說，實數(shù)與向量的積的坐 標等用這個實數(shù)乘以原來向量的 相應坐標。如圖作出向量 ，則：

5、MN求向量模的方法：已知兩點M(x1,y1),N(x2,y2),求向量 的坐標MN),(11yxOM ),(22yxON OMONMN解：1212,yyxxyoxM (x1,y1)N (x2,y2)212212yyxxAB兩點距離公式：.212212yyxxMN_4,2.1 ,2MNNM共線同向）與當且僅當重要性質(zhì)：bababaaa(.xyo1a5a4a3a2a6aij練 習1、用 的形式表示下列向量jia21jia 21jia322ja33jia424jia325jia236練 習xyo1a5a4a3a2a7a6a方向相同，長度相等的向量。76321aaaaa那些向量相等？P：兩個向量相等。

6、q:它們具有相同的起點，終點。例1、已知i、j 是基本單位向量，試將下圖中的向量a、b、c、d用坐標表示出來。解：xycbadoijjia 3jib23 jc3jid24 ) 1,3()2,3()3,0()2,4(練習：已知向量練習：已知向量a=b,a=b,并且并且a=(x+3,2-y)a=(x+3,2-y)、b=(y+2,x-3)b=(y+2,x-3)，求實數(shù)，求實數(shù)x,yx,y的值。的值。解：解：因為：a=b所以： (x+3,2-y)=(y+2,x-3)3223xyyx即：32yx解得：例2、設解：, )3,2(, )2 ,3(bababa求。ba23 ba baba23)6,4()6 ,

7、9();12,5();1,5()3,2()2,3()3,2()2,3();5 ,1 ()3,2(2)2,3(3圖練習：已知向量a、b的坐標，求a+b，a-b的坐標。) 1 ,5(),4,2() 1 (ba)3, 1(),5,3()2(ba)3,5(),3,5()3(ba) 1,0(),0,2()4(ba解：) 14,52() 1 (ba)5,3()35, 13()2(ba)33,55()3(ba) 10,02()4(ba)8,2()0,0() 1,2(附加練習)5,4(),2,3() 1 (NM)5,3(),3,5()2(NM解：)25,34() 1 (MN)3, 1 ()35,53()2(M

8、N)8,8(練習：已知點M、N的坐標，求 、 的坐標。MNNM52,43NM53,35NM)3, 1()8,8(例例4：已知：已知 ABCD的三個頂點的三個頂點A、B、C的坐標分別為的坐標分別為(-3,-2)，(4,1)，(6,6)，求，求頂點頂點D的坐標。的坐標。解：設頂點D的坐標為（x , y）因為點A、B、C的坐標分別為(-3,-2)，(4,1)，(6,6)所以：)21,34(AB)3 , 7()6,6(yxDC:, 得由DCAB xx636731yx所以：頂點D的坐標為（-1 ，3）。yxoABCD練 習向量平行的充要條件向量平行的充要條件./,0.,.,2211bababyxbyxa使得則存在實數(shù)若0),(),(122121212211yxyxyyxxyxyx).0.(0/1221byxyxba強化訓練強化訓練1、2、3、.,/.6,12.3 ,xbabxa求則若為三角形的內(nèi)角，baba/)33,(cos),sin,43(反向？平行時它們是同向還是平行。與為何值時，當已知：babaktba).1 , 2(),2 , 1 (所以它們反向。即可求問題。們用坐標的方法來解決處理這類問題，現(xiàn)在我思路分析：