學(xué)案69 正態(tài)分布

1、學(xué)案69正態(tài)分布導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義自主梳理1正態(tài)分布密度曲線及性質(zhì)(1)正態(tài)曲線的定義函數(shù)，(x)_(其中實(shí)數(shù)和 (0)為參數(shù))的圖象為正態(tài)分布密度曲線(2)正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)曲線位于x軸_，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線_對稱；曲線在_處達(dá)到峰值_；曲線與x軸之間的面積為_；當(dāng)一定時，曲線隨著_的變化而沿x軸移動；當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定_，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；_，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散2正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實(shí)數(shù)a，b (ab)，隨機(jī)變量X滿足P(aXb)_，則稱隨

2、機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作_(2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)P(X)_；P(2X2)_；P(3X3)_.自我檢測1(2011大連模擬)下列說法不正確的是()A若XN(0,9)，則其正態(tài)曲線的對稱軸為y軸B正態(tài)分布N(，2)的圖象位于x軸上方C所有的隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布D函數(shù)(x) (xR)的圖象是一條兩頭低、中間高、關(guān)于y軸對稱的曲線2已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(3，2)，則P(3)等于()A. B. C. D.3(2011湖北)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2，2)，且P(4)0.8，則P(00)和N(2，) (20)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A12，12B12C12，12，12

3、探究點(diǎn)一正態(tài)曲線的性質(zhì)例1如圖所示，是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布密度曲線的解析式，并求出正態(tài)總體隨機(jī)變量的均值和方差變式遷移1若一個正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為.(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；(2)求正態(tài)總體在(4,4的概率探究點(diǎn)二服從正態(tài)分布的概率計算例2設(shè)XN(5,1)，求P(6X7)變式遷移2設(shè)XN(1,22)，試求：(1)P(1X3)；(2)P(31230B01212130D0121c1)P(4)等于()A0.158 8 B0.158 7 C0.158 6 D0.158 55已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績XN(110，5

4、2)，據(jù)此估計，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)？()A(90,110 B(95,125C(100,120 D(105,115二、填空題(每小題4分，共12分)6.設(shè)三個正態(tài)分布N(1，) (10)，N(2，) (20)，N(3，) (30)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則1、2、3按從小到大的順序排列是_；1、2、3按從小到大的順序排列是_7在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(1，2)(0)若在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則在(0,2)內(nèi)取值的概率為_8(2011青島模擬)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2，2)，P(4)0.84，則P(0)_.三、解答題(共38分)9(12分)設(shè)XN(10

5、,1)(1)證明：P(1X2)P(18X19)；(2)設(shè)P(X2)a，求P(10X18)10(12分)已知某種零件的尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在(80，)上是減函數(shù)，且(80).(1)求正態(tài)分布密度函數(shù)；(2)估計尺寸在72 mm88 mm間的零件大約占總數(shù)的百分之幾？11(14分)在某市組織的一次數(shù)學(xué)競賽中全體參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布N(60,100)，已知成績在90分以上(含90分)的學(xué)生有13人(1)求此次參加競賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人？(2)若計劃獎勵競賽成績排在前228名的學(xué)生，問受獎學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是多少？學(xué)案69正態(tài)分布自主梳理1(1)

6、，x(，)(2)上方xx1越小越大2(1)，(x)dxXN(，2)(2)0.682 60.954 40.997 4自我檢測1C2D由正態(tài)分布圖象知，3為該圖象的對稱軸，P(3).3CP(4)0.2，由題意知圖象的對稱軸為直線x2，P(4)0.2，P(04)1P(4)0.6.P(02)P(04)0.3.4D由(x)對照得2，0，E()0，2.5A由正態(tài)分布N(，2)性質(zhì)知，x為正態(tài)分布密度函數(shù)圖象的對稱軸，故12；又越小，圖象越高瘦，故12.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引要確定一個正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)，的值，其中決定曲線的對稱軸的位置，則與曲線的形狀和最大值有關(guān)

7、解從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x20對稱，最大值為，所以20.由，解得.于是正態(tài)分布密度曲線的解析式是，(x)，x(，)均值和方差分別是20和2.變式遷移1解(1)由于該正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即0.由，得4，故該正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是，(x)，x(，)(2)P(4X4)P(04X04)P(X)0.682 6.例2解題導(dǎo)引求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個區(qū)間取值的概率，只需借助于正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個區(qū)間上解由已知5，1.P(4X6)0.682 6，P(3X7)0.954 4，P(3X4)P(6X7)0.9

8、54 40.682 60.271 8.如圖，由正態(tài)曲線的對稱性可得P(3X4)P(6X7)P(6X7)0.135 9.變式遷移2解XN(1,22)，1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 6.(2)P(3X5)P(3X1)，P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(0.954 40.682 6)0.135 9.(3)P(X5)P(X3)，P(X5)1P(3X5)1P(14X14)1P(2X2)(10.954 4)0.022 8.例3解題導(dǎo)引正態(tài)分布已經(jīng)確定，則總體的期望和標(biāo)準(zhǔn)差就可以求出，這樣就可以根據(jù)正態(tài)分布在三個常見的區(qū)

9、間上取值的概率進(jìn)行求解解N(90,100)，90，10.(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間(2，2)內(nèi)取值的概率是0.954 4，而該正態(tài)分布中，29021070，290210110，于是考試成績位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率就是0.954 4.(2)由90，10，得80，100.由于正態(tài)變量在區(qū)間(，)內(nèi)取值的概率是0.682 6，所以考試成績位于區(qū)間(80,100)內(nèi)的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考試成績在(80,100)間的考生大約有2 0000.682 61 365(人)變式遷移3解成績服從正態(tài)分布N(80,52)，80，5，75，85.于是成績在(75,85內(nèi)的同學(xué)占全

10、班同學(xué)的68.26%.這樣成績在(80,85內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的34.13%.設(shè)該班有x名同學(xué)，則x34.13%17，解得x50.又2801070，2801090，成績在(70,90內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.44%.成績在90分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的2.28%.即有502.28%1(人)即成績在90分以上的僅有1人課后練習(xí)區(qū)1D0，且21，11.2BN(2,9)，P(c1)P(c1)P(110)P(X3)，P(X50)P(X110)P(X4)P(X4)0.158 7.5C由于XN(110,52)，110，5.因此考試成績在區(qū)間(105,115，(100,120，(95,125上的概率分別應(yīng)是0

11、.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人參加考試，成績位于上述三個區(qū)間的人數(shù)分別是：600.682 641(人)，600.954 457(人)，600.997 460(人)，故大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在(100,120區(qū)間內(nèi)621313270.8解析服從正態(tài)分布(1，2)，在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同均為0.4.在(0,2)內(nèi)取值概率為0.40.40.8.80.16解析2，P(0)P(4)1P(4)10.840.16.9(1)證明因?yàn)閄N(10,1)，所以，正態(tài)曲線，(x)關(guān)于直線x10對稱，而區(qū)間1,2和18,19關(guān)于直線x10對稱，所以，(x)dx，(x)dx，即P(1X2)P(18X19)(6分)(2)解P(10X18)P(2X10)P(X10)P(X2)a.(12分)10解(1)由于正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在(80，)上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x80對稱，且在x80處取得最大值因此80，所以8.故正態(tài)分布密度函數(shù)解析式是，(x).(6分)(2)由80，8，得80872，80888，所以零件尺寸X位于區(qū)間(72,88)內(nèi)的概率是0.682 6.因此尺寸在72 mm88 mm間的零件大約占總數(shù)的68.26%.(12分)11解(1)設(shè)參加競賽的學(xué)生人數(shù)共n人則P(X90)，(2分)而