圓的切線與切線長(zhǎng)習(xí)題與答案

1、圓的切線1一、切線切線長(zhǎng)定理中的基本圖形：如圖，PA，PB為O的切線，A，B分別為切點(diǎn)，則有：(1)兩個(gè)等腰三角形(PAB, OAB)；(2)一條特殊的角平分線(OP平分APB 和 AOB)；(3)三個(gè)垂直關(guān)系(OA PA, OBPB, OPAB)。1遇到有切線時(shí)常添加過(guò)切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）。(圖1) 圖1 圖2 圖32  遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)（1）若直線過(guò)圓上的某一點(diǎn)，則連結(jié)這點(diǎn)和圓心（即作半徑），再證其與直線垂直。 (圖2) （2）若直線和圓的公共點(diǎn)還未確定，則常過(guò)圓心作直線的垂線段，再證垂足到圓心的距離等于半徑。(圖3) 圖4 圖5 3.弦切角是與圓有關(guān)的其中的

2、一種角,當(dāng)條件是切線時(shí),往往找弦切角,看弦切角所對(duì)的弧,再找弧所對(duì)的圓周角得兩角相等。 (圖1)4  遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過(guò)內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。 (圖4)遇到三角形的外接圓時(shí)，連結(jié)外心和各頂點(diǎn)。 (圖5)一、圓中有切線，常作過(guò)切點(diǎn)的半徑（有點(diǎn)，過(guò)圓心作切線的垂線）例1.如圖，已知MN為O的直徑，AP是O的切線，P為切點(diǎn)，點(diǎn)A在MN的延長(zhǎng)線上，若 PA=PM，求A的度數(shù)。解：連結(jié)OP，設(shè)A的度數(shù)為x。PA=PM，M=A，同理可得OPM=M，POA=OPM+M=2M=2A=2x。又AP切O于點(diǎn)P，APOP，A+POA=90°，即x+2x=90&#

3、176;，解之得x=30°，A=30°。例2： 如圖，PA是O的切線，切點(diǎn)是A，過(guò)點(diǎn)A作AHOP于點(diǎn)H，交O于點(diǎn)B.求證：PB是O的切線.證明：連接OA、OB.PA是O的切線，OAP=90°.OA=OB，ABOP，AOP=BOP.又OA=OB，OP=OP，AOPBOP.OPB=OAP=90°.PB是O的切線.例3.如圖,AB為O的直徑,C為O上的一點(diǎn),AD和過(guò)C點(diǎn)的切線垂直,垂足為D，求證1=2。證明：連結(jié)OC。DC切O于點(diǎn)C，OCDC。又ADDC，OCAD，1=3。OA=OC,2=3，1=2。評(píng)析：當(dāng)欲求解的問(wèn)題中含有圓的切線時(shí)，常常需要作出過(guò)切點(diǎn)的半

4、徑，利用該半徑與切線的垂直關(guān)系來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論之間的聯(lián)系。例4、如圖，AB、AC與O相切有與B、C點(diǎn)，A = 50°，點(diǎn)P優(yōu)弧BC的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求BPC的度數(shù)。解：連結(jié) OB、 OC ， AB、AC是O的切線 ABOB， ACOC，ABO = ACO = 90°在四邊形ABOC中，A = 50°BOC = 360°- A -ABO - ACO = 360°- 50°- 90°-90° = 130° BPC = 12 BOC = 65°例5、已知：MN 切O于A點(diǎn)，PC是直徑，PB MN于B點(diǎn)，求證

5、：PA2 = PB ·PC分析： PA2 = PB ·PC PAPB = PCPA PAB PCA 證明：連結(jié)AC、AP PC是O的直徑 CAP = 90 ° PB MN PBA = 90 ° CAP = PBA MN 是0的切線 BAP = ACPPAB PCD PAPB = PCPA PA2 = PB ·PC在解決有關(guān)切線問(wèn)題時(shí)，常作過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用切線的性質(zhì)定理；或者連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的弦，利用弦切角關(guān)系，使問(wèn)題得以解決。二、無(wú)公共點(diǎn)，利用圓心“作垂直，證半徑”判定切線 1、 如圖，在RtABC中，ABC = 90° ，BAC的平分線

6、交BC于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作O。求證： AC與圓D相切。2、已知：ABCD的對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，BC切O于E點(diǎn).求證：AD也和O相切. 習(xí)題一 題1 題2 1、 如圖，P是O外一點(diǎn)，PA、PB分別和O切于A、B，C是弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)C作O的切線分別交PA、PB于D、E，若PDE的周長(zhǎng)為12，則PA長(zhǎng)為_。 題 1 題2 題32、如圖，ABC中，A=45°，I是內(nèi)心，則BIC= 。3、如圖，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90°，I分別切AC，BC，AB于D，E，F(xiàn)，求RtABC的內(nèi)心I與外心O之間的距離。 4、如圖，A是半徑為1的圓O外的一點(diǎn)，

7、OA=2，AB是圓O的切線，B是切點(diǎn)，弦BCOA，連結(jié)AC，求陰影部分的面積。 題4 題55、已知：如圖，AB是O的直徑，BC是O的切線，連AC交O于D，過(guò)D作O的切線EF，交BC于E點(diǎn).求證：OE/AC.習(xí)題二有公共點(diǎn)，利用公共點(diǎn)”連半徑，證垂直”判定切線1、如圖，在RtABC中，C = 90° ， BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E。(1)、求證：AC是O的切線。 (2)、若OB =10， CD = 8，求BE的長(zhǎng)。利用切線的性質(zhì)解邊角問(wèn)題 2、 如圖，在O中， 點(diǎn)C是直徑AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作O的切線，切點(diǎn)為D，連接BD。(1)、求證：A= BDC； (2)、若CM平分ACD，且分別交AD，BD于點(diǎn)M，N，當(dāng)DM =1 時(shí)，求MN的長(zhǎng)。利用切線的性質(zhì)解與特殊四邊形綜合問(wèn)題3、如圖，AB是O的直徑 ，BAC=90° ，四邊形EBOC是平行四邊形，EB交O于點(diǎn)D，連接CD并延長(zhǎng)AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。(1)、求證：CF是