學(xué)第一學(xué)期量子力學(xué)A卷參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)

1、2008-2009學(xué)年第一學(xué)期量子力學(xué)（A）卷參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)1. 能級簡并、簡并度。（5分）答：量子力學(xué)中，把處于不同狀態(tài)、具有相同能量、對應(yīng)同一能級的現(xiàn)象稱為簡并。把對應(yīng)于同一能級的不同狀態(tài)數(shù)稱為簡并度。2. 一質(zhì)量為 的粒子在一維無限深方勢阱中運動，寫出其狀態(tài)波函數(shù)和能級表達式。（5分）解： 3. 二電子體系中，總自旋 ，寫出（）的歸一化本征態(tài)（即自旋單態(tài)與三重態(tài)）。（5分）解：（）的歸一化本征態(tài)記為，則自旋單態(tài)為 自旋三重態(tài)為 4. 對于階梯形方勢場 ，如果（）有限，則定態(tài)波函數(shù)連續(xù)否？其一階導(dǎo)數(shù) 連續(xù)否？（5分） 解：定態(tài)波函數(shù)連續(xù)；其一階導(dǎo)數(shù) 也連續(xù)。5. 用球坐標(biāo)表示，粒子波函

2、數(shù)表為 ，則粒子在立體角中被測到的幾率為。 （5分）6. 給出如下對易關(guān)系：（5分） 7. 量子力學(xué)中，體系的任意態(tài)可用一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)展開：，則展開式系數(shù)。 （5分）8. 一個電子運動的旋量波函數(shù)為 ，則電子自旋向上（）、位置在處的幾率密度表達式為；電子自旋向下（）的幾率的表達式為。（5分）9. 已知厄米算符、互相反對易：；是算符的本征態(tài)：，本征值。證明在態(tài)中，算符的平均值等于零。（10分）證： ， 。但，從而有，即在態(tài)中，算符的平均值為零。10. 一個諧振子處于基態(tài)：證明其勢能的平均值與動能的平均值相等，皆為。 積分公式： （10分）證： ， 11. 在直角坐標(biāo)系中，證明：，其

3、中為角動量算符，為動量算符。（10分）證： ；同理， 所以12. 在時間時，一個線性諧振子處于用下列歸一化的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)： ，式中是振子的第個本征函數(shù)。（1）試求的數(shù)值；（2）寫出在時刻的波函數(shù)；（3）在時振子能量的平均值是多少？秒時呢？（15分）解：（1） 得 。（2）。（3）在時振子能量的平均值是 。秒時振子能量的平均值也是。13. 質(zhì)量為的粒子受微擾后，在一維勢場 中運動。（1）題中應(yīng)當(dāng)把什么看作微擾勢？（2）寫出未受微擾時的能級和波函數(shù)；（3）用微擾論計算基態(tài)能量到二級近似，其中。提示： 。（15分）解：（1）應(yīng)在一維無限深勢阱 的基礎(chǔ)上，把看作微擾勢。（2）未受微擾時的波函數(shù)和能級分別為 （3）未受