《高數(shù)》定積分

1、第五章第五章 定積分定積分教學(xué)目的要求: 1、了解變上限定積分的性質(zhì)，定積分的幾何意義；了解廣義積分及其解法。 2、理解定積分的概念及其性質(zhì)。 3、熟練掌握牛頓 萊布尼茨公式；掌握定積分的換元法和分部積分法。學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn) 牛頓 萊布尼茨公式、定積分的計(jì)算 難點(diǎn) 變上限定積分，定積分的換元法 求曲邊梯形的面積xy0 xa i1ixixbxn)(xfy 如下：具體做法稱為曲邊梯形。軸圍的圖形，及、與直線由連續(xù)曲線 )( xbxaxxfy).21( 1 (1) 11110nixxxxxnbabxxxxanbaiiiinn，記為，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度個(gè)小區(qū)間分成，把區(qū)間個(gè)分點(diǎn)中任意取，在分割、，x

2、y0 xa i1ixixbxn)(xfy )21( )( )( )( )2( 1nixfAxfxfAxxiiiiiiiiiii，來(lái)近似代替，即為底的小矩形的面積為高，以可用以，則小曲邊梯形的面積一點(diǎn)上任取，在每個(gè)小區(qū)間近似、xy0 xa i1ixixbxn)(xfy niniiiixfAAAn11)( 3)( 的近似值，即便得曲邊梯形面積，個(gè)小矩形的面積加起來(lái)把求和、niiiinixfAx101)( 0max )4( lim時(shí)，和式當(dāng)，大值為的，記小區(qū)間長(zhǎng)度的最密為了保證分割是無(wú)限細(xì)取極限、iniibainiiiniiiiiiniiiiiinnxfdxxfbaxfxfxfxxxnixxxxxn

3、bxxxxxanbabaxfy)()( )( )()( max ) 2 1( 1 )( 1010111111210limlim上的定積分，記為，在此極限值為函數(shù)存在，則稱，如果作和式，任取，記，其長(zhǎng)度記為，個(gè)小區(qū)間得到，個(gè)分點(diǎn)，中任意取，上有定義，在，在設(shè)函數(shù)定義限。稱為積分下限和積分上，稱為積分區(qū)間，分變量，稱為積稱為被積表達(dá)式，稱為被積函數(shù)，其中：babaxdxxfxf)()(不可積。，在上可積，否則，稱，在存在，則稱、若幾點(diǎn)說(shuō)明：)( )( )(1 10limbaxfbaxfxfniii上可積。，在限個(gè)間斷點(diǎn)，則上有界，且只有有，在區(qū)間、設(shè)上可積。，在上連續(xù)，則，在區(qū)間設(shè)、：上可積的兩個(gè)

4、充分條件，在 )( )( 2) )( )( 1) )( baxfbaxfbaxfbaxfbaxfbababaduufdttfdxxfbaxf)()()( )( 2 母表示無(wú)關(guān)，即而與積分變量用什么字有關(guān)，及積分區(qū)間值僅與被積函數(shù)式極限，它的定積分是一種特定的和、abbadxxfdxxfbaba)()( 3 時(shí)，規(guī)定，當(dāng)定義中假定了、0)( 4 badxxfba時(shí)，規(guī)定當(dāng)、 定積分的幾何意義的幾何意義如下：，其定積分上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)于區(qū)間)( xfba的面積。軸所圍成的曲邊梯形及，與直線表示由曲線時(shí)，定積分當(dāng)、xbxaxxfydxxfxfba)( )(0)( ) 1 負(fù)值。成的曲邊梯形的面積的軸

5、所圍及，與直線表示由曲線時(shí)，定積分當(dāng)、 )( )(0)( )2 xbxaxxfydxxfxfbaxyab)(xfy xyab1A2A3A )( )( )( )( )3 321AAAdxxfxbxaxxfydxxfxfbaba的代數(shù)和，即軸所圍成平面圖形面積及，與直線表示由曲線定積分既取正值又取負(fù)值時(shí)，當(dāng)、 由定積分的幾何意義知：xy1121xy21112dxxxyxy012110 xdx 定積分的性質(zhì). )()( 上都是可積的，在、假定函數(shù)baxgxfbabadxxfkdxxkfkk)()( )( 1 可提到積分號(hào)外，為常數(shù)被積函數(shù)中的常數(shù)因子性質(zhì)限個(gè)代數(shù)和的情形。這一結(jié)論可以推廣到有定積分的

6、代數(shù)和，分等于它們兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的定積性質(zhì)bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()( 2 bccabadxxfdxxfdxxfbac)()()( ( 3 ，則，設(shè)積分區(qū)間的可加性）性質(zhì)bb)()( )()( 4 aadxxgdxxfxgxfba，則上，若，在區(qū)間性質(zhì)abdxxfxfba)(1)( 5 ，則若性質(zhì)理又稱為定積分的估值定則上的最大值和最小值，在分別是函數(shù)和設(shè)性質(zhì))()()( )( 6 abMdxxfabmbaxfmMba)()( )( 7 abfdxxfbabaxfba，使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)，（上連續(xù)，則在，在設(shè)函數(shù)（積分中值定理）性質(zhì) 例題1 利用定積分的性質(zhì)，比較下

7、列積分大小103102 1) dxxdxx與10310232232 0)1 ( 10 dxxdxxxxxxxx即，內(nèi)，解：在區(qū)間43243)ln ln 2) dxxxdx（與432432)(ln ln 0)ln1 (ln)(lnln0ln1 4 3 dxxdxxxxxxx，則內(nèi)，在區(qū)間解： 例題2 估計(jì)下列各積分的值454 2)sin(1 1) dxx4542222)sin1 ( 445 1)( 2112( sin1)( 454 積分區(qū)間，）為之最大值和最小值分別上，函數(shù)，在區(qū)間解：dxxabfmfMxxf202 2) dxexx 22 )(210)( ) 12()( )2( 1)0( 2 0

8、 )( : 2204124121)21(22222edxeeeMeemxfxxfxexfeffexfxxxxxx最大值，取得最小值時(shí)，得，令又，最小值為上最大值與，在區(qū)間設(shè)解 變上限積分函數(shù)xaxaxaxabaxdttfxtbaxdxxfxxdxxfxdxxfxaxfbaxbaxf)( )( )( )( )( )( )( )( ，則有，變量改為，為避免混淆，把積分，變上限積分函數(shù)，記為的函數(shù)，稱為是一個(gè)關(guān)于上限因此的變化而變化，存在，且隨上限積分上必可積，即定，在，任一上連續(xù)，則對(duì)，在設(shè)函數(shù)定義)()( )()( )( xfxbadttfxbaxfxa可導(dǎo)，且，在則變上限積分函數(shù)上連續(xù)，在如果

9、函數(shù)定理 證明：見(jiàn)pag.102Cdttfdxxfxfdttfxbaxfxaxa )()( )( )()( )( 函數(shù)，因此的一個(gè)原就是連續(xù)，則上，在由定理可知，如果函數(shù) 例題 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)bxdttxF21)( )1 1 1 1 222xdttdxddttdxdxbbx解：dttxFx20311)( )2 6303212 211 211 : xxxuxdttduddxdududFuxu，則設(shè)解22cos)( 3) xxdttxF coscos2 cos2cos coscos coscos coscos cos)( 242422222222222xxxxxxdttdxddttdxddxdF

10、dttdttdttdttdttxFxaxaxaxaxaaxxx解：200)1ln( limxdttxx求極限例題達(dá)法則，有”型不定式，利用洛必為“，此時(shí)極限時(shí)，解：000)1ln( 0 0 xdttx21211)00(2)1ln( )()1ln( )1ln( limlimlimlim00200200 xxxxdttxdttxxxxxx 牛頓 萊布尼茨（Newton Leibniz)公式 )()()()( 103. )()()( )( )( )( aFbFabxFdxxfpagaFbFdxxfxfxFbaxfbaba寫(xiě)為為了方便起見(jiàn)，公式常證明：見(jiàn)的一個(gè)原函數(shù)，則是上連續(xù)，在設(shè)函數(shù)定理 例題 求

11、下列定積分adxxx02) 13 1) （aaaxxxdxxxaa23011120221 11123) 13 （解：1024 2) xdx60arcsin21arcsin2arcsin4 10102解：xxdxdxx 3) 111001 xxxxx，解： 1212122 )( 100122100111xxxdxdxxdxxdxx sin 4) 2002xy解：20 sinsinsin xxxxx4) 1(111 cos2cos0coscos coscos )sin( sin sin 200220 xxdxxxdxdxxdxx121 5) 萊布尼茨公式，有，所以按牛頓，現(xiàn)在積分區(qū)間是見(jiàn)原函數(shù)是的

12、時(shí)，在基本積分公式中，當(dāng)解： 12)79.(ln 10 pagxxx2ln 2ln1lnln 1212xxdx 202)(11 211)( 6) dxxfxxxxxf求時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)設(shè)382( 21) 1()( 2110322211020 xxxdxxdxxdxxf解：注 意 在使用牛頓 萊布尼茨公式求定積分時(shí)，被積函數(shù)必須連續(xù)的，否則會(huì)引出錯(cuò)誤的結(jié)論，見(jiàn)教材pag.104. 定積分的換元積分法（換元必?fù)Q限）411 1 xdx例題 24112 2txtxtdtdxtx，；，設(shè)解：32ln22 )1ln(212 1112121 212121212141tttdtdtdtt

13、tdtttxdx)0( 2 022adxxaa例題200 cos sin : ，；，；，設(shè)解taxtxtdtadxax4 021222sin212 )2cos1 (2cos 222022022022022aattadttatdtadxxaa31221 3 xxdx例題4133 sectan 2，；，；，設(shè)解：txtxtdtdxtx3322sin1sin)(sin sincossectansec1 3434234234223122tttddttttttdtxxdx5.8pag.106. 例題證明：見(jiàn)0)()( )2)(2)()( 1)0()( 0aaaaadxxfxfdxxfdxxfxfaaax

14、f為奇函數(shù)，則若為偶函數(shù)，則若），求證：上連續(xù)，在設(shè)0cos 113xdxx例如： 定積分的分部積分法babavduuvudvbaxvxuba )()( 連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有上有，在、設(shè)函數(shù)定理方 法冪三（指）選冪 冪反（對(duì)）選反（對(duì)） 三角指數(shù)可任選可化簡(jiǎn)容易湊dudv 出現(xiàn)循環(huán)移項(xiàng)解exdxx1ln 1 例題2ln 2xvxdxdvxdxduxu，；，解：) 1(41 221ln2 21ln2ln 222121111exxxxdxxxxdxxeeeee20sin 2 例題xdxexxvxdxdvdxedueuxxcossin : ，；，解 1(21sin sin sin cos cos coss

15、in 220202020202020）exdxexdxexexexdxexexdxexxxxxxx10 3 dxex例題，于是，；，當(dāng)，則設(shè)解：1100 2 2uxuxududxuxux2)22(2222222 10101010101010eeeuedueueudeuduedxeuuuuuuxdxexx35 4 例題3131 )(31 331 103103310233331033103xxxxxxeexxdeexdxexex33 )(3 23xxeveddvdxxduxu103105)(31 33xxedxdxex解： 廣義積分 在一些實(shí)際問(wèn)題中，常會(huì)遇到積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間或者被積函數(shù)是無(wú)界函

16、數(shù)的積分。這兩種情況下對(duì)應(yīng)的積分稱為廣義積分。 本節(jié)重點(diǎn)介紹廣義積分的概念和計(jì)算方法。 無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分積?！伴_(kāi)口曲邊梯形”的面軸右側(cè)所圍成的軸以及，求曲線引例 11 2xxxy21xy yx01b具。區(qū)間，借助極限這一工為無(wú)窮，解：積分區(qū)間 1 1)11 (1 11) 11(11 1 1 lim12121bdxxSbbbxdxxbbbbb形”的面積為，故所求“開(kāi)口曲邊梯，有，在區(qū)間任取發(fā)散。不存在，則稱廣義積分收斂。如果極限此時(shí)也稱廣義積分，即的廣義積分，記為，在存在，則稱該極限值為果，如上連續(xù)，取，在設(shè)定義ababababbabababdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfa

17、xfdxxfabaxf )( )( )( )()( )( )( )()( limlimlimlim是發(fā)散的。斂，否則收都收斂時(shí)，與當(dāng)即為任意常數(shù)）上的廣義積分為），在上的廣義積分為，在類似地，可定義dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxfdxxfdxxfbxfccbcbcaaccbaab)( )( )( )( .)()()( (C )( )( )( ( )(.)()( ( )( limlimlim上述三類統(tǒng)稱為無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分，也稱為無(wú)窮積分。exxdx2)(ln 1 例題11ln1 ln1 )(ln)(ln)(ln limlimlim22bxx

18、xdxxdxbbebbebe解：02 2 dxxex例題21 121 21 )(21 2b0222limlimlim020bbxbbxbxeexdedxxe解：21 3 xdx例題211xyxya0b）解：22( 0arctanarctan0 arctanarctan 11 111 limlimlimlimlimlim00020202022baxxxdxxdxxdxxdxxdxbabbaabbaa 無(wú)界函數(shù)的廣義積分發(fā)散。不存在，則稱廣義積分收斂。如果極限此時(shí)亦稱廣義積分，即上的廣義積分，記為，在值為函數(shù)存在，則稱極限，若極限取又稱瑕點(diǎn)）為無(wú)窮間斷點(diǎn)，即上連續(xù)，且，在設(shè)函數(shù)定義babababababaaxdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbaxfdxxfaxxfbaxf)( )( )()( )( ( )( )( 0.()( )( limlimlim00。發(fā)散則積分中有一個(gè)發(fā)散，與若廣義積分，即內(nèi)部，則廣義積分，在若無(wú)窮間斷點(diǎn)上的廣義積分為，在時(shí)，為瑕點(diǎn)，即類似地，若babccabccababccababababxdxxfdxxfdxxfdxxfd