一元二次方程壓軸題含答案

1、一元二次方程1 .（北京模擬）已知關(guān)于 x的一元二次方程x2+px+q+1=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根為2.（1）用含p的代數(shù)式表示q；（2）求證：拋物線yi = x2+ px+ q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（3）設(shè)拋物線y1 = x2+px+q的頂點(diǎn)為M,與y軸的交點(diǎn)為E,拋物線y2=x2+px+ q+1的 頂點(diǎn)為N,與y軸的交點(diǎn)為F,若四邊形FEMN的面積等于2,求p的值.2 .設(shè)關(guān)于x的方程x2-5x-m2+1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為 “、應(yīng)試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍， 使| ”|十|日W6成立.3 .（湖南懷化）已知 x1, x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a=。的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（1）是否存在實(shí)數(shù) a

2、,使-x +xx2= 4+x2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，請(qǐng)你說明理由；（2）求使（xI + 1）（ 地+1）為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù) a的整數(shù)值.4 .（江蘇模擬）已知關(guān)于 x的方程x2-（a+b+1）x+ a=0 （b>0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1、x2,且(1 )求證：X1 < 1 < X2 1.（x1，x2）在 ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)，問(2)若點(diǎn) A (1, 2), B(5，1), C (1, 1),點(diǎn) P是否存在這樣的點(diǎn)P,使5a+b=4?右存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.5.（福建模擬）已知方程組y 4x有兩個(gè)實(shí)數(shù)解y= 2x+ bx= x1x= x2和 ，

3、且 Xx2W 0, x1 W x2.y= y1 y=y2（1）求b的取值范圍;11（2）否存在實(shí)數(shù)b，使得X1 + X2：1?若存在，求出b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.6.（成都某校自主招生） 圍.已知 ab, c為實(shí)數(shù)，且滿足 a + b+ c=0, abc=8,求c的取值范x+ y= 3a-17 .（四川某校自主招生）已知實(shí)數(shù)x、y滿足/十/= 4a2-2a+2，求xy的取值范圍.8 .（福建某校自主招生）已知方程 （ax+ 1）2=a2（1-x2） （a>1）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2滿足x1<X2,求證：-1 <X1< 0<X2< 1 .（答案）1 .（

4、北京模擬）已知關(guān)于 x的一元二次方程x2+px+q+1=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根為2.（1）用含p的代數(shù)式表示q；（2）求證：拋物線y1 = x2+ px+ q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（3）設(shè)拋物線y1 = x2+px+q的頂點(diǎn)為M,與y軸的交點(diǎn)為E,拋物線y2=x2+px+ q+1的 頂點(diǎn)為N,與y軸的交點(diǎn)為F,若四邊形FEMN的面積等于2,求p的值.解：（1） ;關(guān)于x的一元二次方程 x2+px+q+1 = 0有一個(gè)實(shí)數(shù)根為2.-22+2p + q+1=0,整理得：q=-2p-5(2) = p2-4q = p2-4( -2p-5) = p2+8p+ 20 = (p+4)2+4無論p取任何實(shí)數(shù)，都有(p+4

5、)2> 0無論p取任何實(shí)數(shù)，都有(p+4)2 + 4>0,0，拋物線yi = x2+ px+ q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(3) 拋物線y1 = x2+px+q與拋物線y2=x2+px+q+1的對(duì)稱軸相同，都為直線x=-2,且開口大小相同，拋物線 y2=x2+px+q + 1可由拋物線yi = x2+px+ q沿y軸方向向上平移一個(gè)單位得到 .EF / MN , EF=MN=1四邊形FEMN是平行四邊形 由題意得S四邊形FEMN = EF | -2| = 2 ,即| p| = 2p= ±42.(安徽某校自主招生)設(shè)關(guān)于 x的方程x2-5x-m2+1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為外&am

6、p;試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使| d+| 6W6成立.解： =52-4( -m2+1) = 4m2+21不論m取何值，方程x2-5x-m2+1=0都有兩個(gè)不相等的實(shí)根' x2 - 5x m2+ 1 = 0,a+ 3= 5, a 住 1 一 m2,| a| + | a <6, a+ f + 2| a 36,即(葉份2 2 a & 2| a B < 36 .25 2(1 m2) +2| 1-m2| <36當(dāng) 1 m2>0,即1WmW1 時(shí)，25W36成立 1 < m< 1當(dāng) 1 m2<0,即 mv 1 或 m>1 時(shí)，得 254( 1

7、m2) w 36.15) 一15解得一彳-w mw=-一15w mv1 或 1vmw5綜合、得：乎w mw手3.(湖南懷化)已知 x1, x2是一元二次方程(a6)x2+2ax+a= 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)是否存在實(shí)數(shù) a,使-Xi + xx2=4+X2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，請(qǐng)你說 明理由；(2)求使(xi + 1)( 地+1)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù) a的整數(shù)值.解：(1) - xi, x2是一元二次方程(a 6)x，2ax+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根a6w0aw64a2-4a(a-6) R0aR0假設(shè)存在實(shí)數(shù) a使x +XiX2= 4+X2成立，則 4+(X1+X2) X1X2= 0-4 +

8、 2f-a-=0,得 a=24a-6 a-6- a = 24 滿足 a > 0 且 a w 6二存在實(shí)數(shù)a =24,使x +Xix2= 4+X2成立(2)(X1 + 1)( X2+ 1) = ( X1 + X2) + X1X2+ 1 =-(十a(chǎn)z+ 1 = -az/a 6 a-6a 6.要使(X1+1)( X2+1)為負(fù)整數(shù)，則只需 a為7, 8, 9, 124.(江蘇模擬)已知關(guān)于x的方程X2-(a+b+1)X+ a=0 (b>0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1、X2,且XlW X2.(2)若點(diǎn) A (1, 2), B1(5，1), C (1, 1),點(diǎn)P(X1, X2)在 ABC的三條邊上

9、運(yùn)動(dòng)，問是否存在這樣的點(diǎn)P,使5 a+b=4?右存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；右不存在，請(qǐng)說明理由.解：(1)由根與系數(shù)的關(guān)系得： ，a=X1X2, b = X1 + X2 X1X2 1 .b>0, - X1+X2 _ X1X2_ 1 =0 1 X1 X2 + X1X20( 1 - X1)( 1-X2)<0X1 + X2= a + b+ 1, X1X2= a又= X1< X2,1 -X1 >0,即 X1 W1, X2> 1- -X1< 1 < X21 -X2< 0(2)X1 + X2= a+ b+1,a + b= 5,X1+X2=944當(dāng)點(diǎn)P (X1,

10、 X2)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí) X1 = - X2=-44T = 4>1故在BC邊上不存在滿足條件的點(diǎn) P 當(dāng)點(diǎn)P (X1, X2)在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí) 則 X1 = 1 , 1 < X2< 2一 5 一9 一5取X2=4,貝U刈十"=4,即a+b=4故在AC邊上存在滿足條件的點(diǎn) P (1, 5) 4當(dāng)點(diǎn)P(X1, X2)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)一 一，則2w x1w1, 1<X2<2,易知 X2 = 2X1933,. X1+X2= 4, 1- X1= 4,X2 = 2又上%1, 1<3<2故在AB邊上存在滿足條件的點(diǎn)(4, 3綜上所述，當(dāng)點(diǎn) P(X1, X2

11、)在 ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在 BC邊上沒有滿足條件的點(diǎn), 而在AC、AB邊上存在滿足條件的點(diǎn)，它們分別是(1, 5)和(3")y = 4xx= X1 x= X25.(福建模擬)已知方程組有兩個(gè)實(shí)數(shù)解和 ，且X1X2W0, X1WX2.y=2x+ by=y1 y=y2(1)求b的取值范圍;(2)否存在實(shí)數(shù)b,使得工十工=1?若存在，求出b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.X1 X2解：(1)由已知得 4x= (2X+b)2,整理得 4X2+(4b-4)X+b2=0xwx2, . .> 0, IP (4b-4)2-16b2>0,解得 b<2b2又X1X2W0, . . W

12、0, . . bW0一， .1 一綜上所述，bv2且bw 0-b2(2) . X1 + X2= 1 - b, X1X2=, 1 + 1 X1 + X2 4( 1 b)X1 X2X1X2b2=1得.-，b2+4b-4=0,解得 b= -2±2y2. 一2+2虛=2(:1) >2 .b= -2-2yj26.(成都某校自主招生)已知 圍.b= -2+242不合題意，舍去a, b, c為實(shí)數(shù)，且滿足 a + b+ c=0, abc=8,求c的取值范解：a+b+ c= 0, abc= 8二.a, b, c都不為零，且 a+b=c, ab = 8 c二.a, b是方程六十6十8=0的兩個(gè)實(shí)

13、數(shù)根 = c2- 4x 8> 0 c當(dāng)cv 0時(shí)，c24x8>0恒成立 c當(dāng) c>0 時(shí)，得 c3>32,O 2V4故c的取值范圍是cv 0或c> 2V4x+ y= 3a-17.(四川某校自主招生)已知實(shí)數(shù)X、y滿足x2+y2=4a2_2a+2 ,求xy的取值范圍.解：(x y)2)0,x2+y2>2xy2(x2+y2)>(x+ y)22(4a2-2a+ 2) >(3a-1)2即 a2-2a-3< 0,解得一1WaW3- xy = 2( x+y)2-(x2 + y2)= 2( 3a-1)2-(4a2-2a+2)=2( 5a2-4a- 1)5/2、2 9=-(a-)2-25109當(dāng)a=,xy有取小值-10；當(dāng)a= 3時(shí)有取大值169-一而忘刈忘168.（福建某校自主招生）已知方程（ax+ 1）2=a2（1-x2） （a>1）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、X2滿足X1 X2,求證： 1 <xk 0<x2< 1 .證明：將原方程整理，得 2a2x2