曲邊梯形的面積(公開(kāi)課)

1、1.5.1 1.5.1 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)無(wú)窮小是零嗎？無(wú)窮小是零嗎？第一次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)第二章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)悖論的產(chǎn)生悖論的產(chǎn)生第三章推理與證明推理與證明微積分(數(shù)學(xué)分析）微分導(dǎo)數(shù)極限理論等 微分學(xué)積分學(xué)定積分不定積分 曲邊梯形的面積問(wèn)題2:圓面積公式是如何推導(dǎo)的圓面積公式是如何推導(dǎo)的? ?問(wèn)題1:最基本、最奇妙的曲邊圖形是最基本、最奇妙的曲邊圖形是 什么？什么？三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓

2、周合體而無(wú)所失矣”劉徽當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，正n邊形面積無(wú)限逼近圓的面積三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”劉徽當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，正n邊形面積無(wú)限逼近圓的面積“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：劉徽在九章算術(shù)注中講到劉徽當(dāng)邊數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，正n邊形面積無(wú)限逼近圓的面積 1.曲邊梯形曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線y=f(x)，直線，直線x=a、x=b及及x x軸所圍成的圖形叫做曲邊軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。梯形。一一. . 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積ab

3、xy xfy o af bf15.1 圖圖如何求曲邊梯形的面積？如何求曲邊梯形的面積？下面我們先研究一個(gè)特殊情形：下面我們先研究一個(gè)特殊情形： 由拋物線由拋物線y=x2、直線直線x=1和和x軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積x yOy=x21S=?（1 1）分割）分割把區(qū)間把區(qū)間0，1等分成等分成n個(gè)個(gè)小區(qū)間：小區(qū)間：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為 過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到軸的垂線，從而得到n個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作.S,S,S,Sni21 n1n2nin

4、nxOy2xy niinSS1即35.1圖圖ox1y2xy n1ini45.1圖圖n1i nix12xy yo 軸的直線段近似用平行于就是從圖形上看值處的函數(shù)等于左端點(diǎn)不妨認(rèn)為它近似地個(gè)常數(shù)近似等于一的值變化很小可以認(rèn)為函數(shù)上在區(qū)間很小時(shí)即很大當(dāng)如圖xnifnixxfninixn,.11,1,35 .12 （2 2）近似代替）近似代替n1n1inix因?yàn)?5.1圖圖ox1y2xy n1ini45.1圖圖n1i nix12xy yo.n,2, 1in1n1ixn1ifSS, ,SS,ni,n1i,.45.12iiii 則有以直代曲即在局部小范圍內(nèi)近似地代替的面積用小矩形上間在區(qū)這樣圖邊地代替小曲

5、邊梯形的曲 nnixnifSSSnininiinn11145 . 1,22111 為中陰影部分的面積圖由n1n1n102n1n1n2 22231n21n1 61n2n1nn13.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值從而可得 .61n2n1n1n21222 可以證明可以證明（3 3）求和）求和.312111131lim11limlim,2111131,0,55 . 1,20, , 8 , 41 , 01 nnnifnSSSnnSxnnninnnn從而有趨向于時(shí)于趨向即趨向于無(wú)窮大當(dāng)可以看到圖等份等分成分別將區(qū)間 55.1圖圖oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2x

6、y 1xo（4 4）取極限）取極限.勢(shì)數(shù)值上看出這一變化趨我們通過(guò)下表還可以從n1 , 0的等分?jǐn)?shù)的等分?jǐn)?shù)區(qū)間區(qū)間nSS的的近近似似值值 512256128643216842 33235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0 ?,fni,n1i?31,?S,nifnin, 2 , 1ini,n1ixxf,ii2情情況況又又怎怎樣樣作作為為近近似似值值的的函函數(shù)數(shù)值值處處取取任任意意嗎嗎這這個(gè)個(gè)值值也也是是若若能能求求出出的的值值嗎嗎用用這這種種方方法法能能求求出出

7、處處的的函函數(shù)數(shù)值值點(diǎn)點(diǎn)上上的的值值近近似似地地等等于于右右端端區(qū)區(qū)間間在在如如果果認(rèn)認(rèn)為為函函數(shù)數(shù)中中近近似似代代替替在在探探究究 n1n2nknnxy2xy nnn2ii 1i 1i 12222311SSf()( )n nnn1 12(n1)niin(過(guò)剩近似值) n1n2nknnxy2xy 2222331S12(n1)n1(1)(21)1111 (1)(2)n663nn nnnn(過(guò)剩近似值) .31fn1limxflimS,fni,n1ixxf,inn1iinii2 都有作近似值處的值點(diǎn)上任意一在區(qū)間取可以證明abxy xfy o af bf15.1 圖圖.,15 . 1,出其面積求和

8、、取極值的方法求近似代替、我們也可以采用分割、曲邊梯形所示的對(duì)如圖所以得出結(jié)論：一般地 y = f(x)bax yO A1用兩個(gè)矩形的面積近似代替近似代替曲邊梯形的面積 y = f(x)bax yO用四個(gè)矩形的面積近似代替近似代替曲邊梯形的面積 y = f(x)bax yO y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，陣形的面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊于是曲邊梯形的面積梯形的面積A A近似為近似為A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,無(wú)限逼近無(wú)限逼近 1. 當(dāng)當(dāng)n很大時(shí)，函數(shù)很大時(shí)，函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif 0f練 習(xí)2、在、在“近似代替近似代替”中，函數(shù)中，函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 上的近似值等于（上的近