橢圓培優(yōu)經(jīng)典講義(教師版)

1、 圓錐曲線與方程第一節(jié)橢圓考點(diǎn)一 橢圓的定義及應(yīng)用1.(2009年北京卷,理12)橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P在橢圓上.若|PF1|=4,則|PF2|=,F1PF2的大小為. 解析:由橢圓方程可知a2=9,b2=2,c2=7,c=,a=3.由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=6,由|PF1|=4,得|PF2|=2.在PF1F2中,由余弦定理的推論有cosF1PF2=-.F1PF2=120°.答案:2120°2.(2012年四川卷,理15)橢圓的左焦點(diǎn)為F,直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A、B,當(dāng)FAB的周長(zhǎng)最大時(shí),FAB的面積是. 解析:由橢圓定義可知,當(dāng)直線

2、x=m過(guò)橢圓右焦點(diǎn)(1,0)時(shí),FAB的周長(zhǎng)最大.由橢圓方程知a=2,c=1.當(dāng)x=1時(shí),由,得y=±.SFAB=×(2×)×(1+1)=3.答案:33.(2009年上海卷,理9)已知F1、F2是橢圓C: (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn),且,若PF1F2的面積為9,則b=. 解析:由題意可知, =9,=(2c)2,由橢圓定義可知,|PF1|+|PF2|=2a,聯(lián)立解得a2-c2=9,即b2=9,b=3.答案:3考點(diǎn)二 橢圓的方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)應(yīng)用 1.(2013年新課標(biāo)全國(guó)卷,理10)已知橢圓E: (a>b

3、>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A、B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為()(A)(B)(C)(D)解析:已知橢圓與直線相交弦的中點(diǎn)及斜率,可以用兩點(diǎn)式求解.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)D(1,-1),則kAB=,x1+x2=2,y1+y2=-2,兩式相減得:+ =0,即=-,即=,a2=2b2.又因c=3,所以b2=9,a2=18,橢圓方程為.故選D.答案:D2.(2011年新課標(biāo)全國(guó)卷,理14)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1、F2在x軸上,離心率為,過(guò)F1的直線l交C于A、B兩點(diǎn),且ABF2的周長(zhǎng)為16,那么

4、C的方程為. 解析:設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a>b>0),由題意知|BA|+|BF2|+|AF2|=|BF1|+|BF2|+|AF1|+|AF2|=4a=16,a=4,由e=得c=2,b2=a2-c2=8,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.答案: 3.(2011年江西卷,理14)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,過(guò)點(diǎn)作圓x2+y2=1的切線,切點(diǎn)分別為A、B,直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),則橢圓方程是. 解析:設(shè)點(diǎn)D,由平面幾何知識(shí)易知,ABOD,kAB=-2.設(shè)AB方程為y=-2x+m.又過(guò)點(diǎn)作圓x2+y2=1的切線中有一條是x=1,不妨設(shè)B(1,0).把x=1,y=0代入AB方程,可

5、得m=2.由題意可知,b=2,c=1,a2=5.橢圓方程為.答案:考點(diǎn)三 橢圓離心率的求法 1.(2012年新課標(biāo)全國(guó)卷,理4)設(shè)F1,F2是橢圓E: (a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為直線x=上一點(diǎn),F2PF1是底角為30°的等腰三角形,則E的離心率為()(A)(B)(C) (D)解析:如圖所示,設(shè)直線x=a與x軸的交點(diǎn)為Q,由題意可知,F2F1P=F1PF2=30°,|PF2|=|F1F2|=2c,PF2Q=60°,F2PQ=30°.|F2Q|=|PF2|.即a-c=·2c,e=.答案:C2.(2013年福建卷,理14)

6、橢圓: (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=(x+c)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿足MF1F2=2MF2F1,則該橢圓的離心率等于. 解析:直線y=(x+c)過(guò)點(diǎn)F1(-c,0)且傾斜角為60°,所以MF1F2=60°,MF2F1=30°,所以F1MF2=90°,所以F1MF2M,在RtF1MF2中,|MF1|=c,|MF2|=c,所以e=-1.答案:-13.(2013年遼寧卷,理15)已知橢圓C: (a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,橢圓C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF.若|AB|=10,|

7、AF|=6,cosABF=,則橢圓C的離心率e=. 解析:如圖所示,由|AB|=10,|AF|=6,cosABF=,得BF=8,則AFBF,半焦距c=FO=AB=5.設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F2,由對(duì)稱(chēng)性知AF2=BF=8,a=7,所以e=.答案:考點(diǎn)四 直線與橢圓的位置關(guān)系 1.(2014高考新課標(biāo)全國(guó)卷,理20)設(shè)F1,F2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解:(1)根據(jù)c=及題設(shè)

8、知Mc,2b2=3ac.將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2.(舍去).故C的離心率為.(2)由題意,原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),MF2y軸,所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn),故=4,即b2=4a.由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則即代入C的方程,得+=1.將及c=代入得+=1,解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.2.(2014高考新課標(biāo)全國(guó)卷,理20)已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)

9、求E的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.解:(1)設(shè)F(c,0),由條件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程為+y2=1.(2)當(dāng)lx軸時(shí)不合題意,故設(shè)l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).將y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.當(dāng)=16(4k2-3)>0,即k2>時(shí),x1,2=,從而|PQ|=|x1-x2|=.又點(diǎn)O到直線PQ的距離d=,所以O(shè)PQ的面積SOPQ=d·|PQ|=.設(shè)=t,則t>0,SOPQ=.因?yàn)閠+4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即

10、k=±時(shí)等號(hào)成立,且滿足>0.所以,當(dāng)OPQ的面積最大時(shí),l的方程為y=x-2或y=-x-2.3.(2013年新課標(biāo)全國(guó)卷,理20)平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)橢圓M: (a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x+y-=0交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為.(1)求M的方程;(2)C,D為M上的兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線CDAB,求四邊形ACBD面積的最大值.解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則,=-1,由此可得=-=1.因?yàn)閤1+x2=2x0,y1+y2=2y0,= ,所以a2=2b2.又由題意知,M的右焦點(diǎn)為(,0),故a2-b

11、2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程為.(2)由解得或因此|AB|=.由題意可設(shè)直線CD的方程為y=x+n,設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=.因?yàn)橹本€CD的斜率為1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知,四邊形ACBD的面積S=|CD|·|AB|=.當(dāng)n=0時(shí),S取得最大值,最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.4.(2014高考浙江卷,理21)如圖,設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0),動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且點(diǎn)P在第一象限.(1)已知直線l的斜率為k,用a,b,k表示點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)若過(guò)原

12、點(diǎn)O的直線l1與l垂直,證明:點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a-b.解:(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k<0),由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.由于l與C只有一個(gè)公共點(diǎn),故=0,即b2-m2+a2k2=0,解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為-,.又點(diǎn)P在第一象限,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為,.(2)由于直線l1過(guò)原點(diǎn)O且與l垂直,故直線l1的方程為x+ky=0,所以點(diǎn)P到直線l1的距離d=整理得d=,因?yàn)閍2k2+2ab,所以=a-b,當(dāng)且僅當(dāng)k2=時(shí)等號(hào)成立.所以,點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a-b.5.(2012年福建卷,理19)如圖,橢圓E: (a>b>

13、;0)的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,離心率e=.過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),且ABF2的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.解:(1)由橢圓定義知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,F2AB的周長(zhǎng)=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a.4a=8,a=2,又e=,c=1,b2=3.橢圓E的方程是.(2)由消去y,整理得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0.動(dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0,y0),=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,m0,整理得m2=4k2+3.此時(shí)x0=,y0=k·+m=,P.由得Q(4,4