數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的研修方案

1、小學(xué)數(shù)學(xué)教研組學(xué)習(xí)資料小學(xué)數(shù)學(xué)的思想方法研修方案 數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想既有認(rèn)識(shí)論方面的內(nèi)容，如數(shù)學(xué)的理論和知識(shí)；又有方法論方面的內(nèi)容，如處理各種問題的意識(shí)和策略。數(shù)學(xué)方法主要是方法論方面的內(nèi)容，如表示、處理各種問題的手段和途徑。數(shù)學(xué)思想的理論和抽象程度要高一些，而數(shù)學(xué)方法的實(shí)踐性更強(qiáng)一些。人們實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想往往要靠一定的數(shù)學(xué)方法；而人們選擇數(shù)學(xué)方法，又要以一定的數(shù)學(xué)思想為依據(jù)。因此，二者是有密切聯(lián)系的。我們把二者合稱為數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂。那么，要想學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，就要深入到數(shù)學(xué)的“靈魂深處”一、研修數(shù)學(xué)思想方法的理論來源：新課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿的總體目標(biāo)

2、：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。二、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法有哪些？（1）對(duì)應(yīng)思想方法 （2）假設(shè)思想方法 （3）比較思想方法 （4）符號(hào)化思想方法 （5）類比思想方法 （6）轉(zhuǎn)化思想方法 （7）分類思想方法 （8）集合思想方法 （9）數(shù)形結(jié)合思想方法 （10）統(tǒng)計(jì)思想方法 （11）極限思想方法 （12）代換思想方法 （13）可逆思想方法 （14）化歸思想方法 （15）變中抓不變的思想方法 （16）數(shù)學(xué)模型思想方法 （17）整體思想方法 三、各種數(shù)學(xué)思想方法的定義和對(duì)具體應(yīng)用實(shí)例。對(duì)應(yīng)思想方法對(duì)應(yīng)是人們對(duì)兩個(gè)集

3、合因素之間的聯(lián)系的一種思想方法，小學(xué)數(shù)學(xué)一般是一一對(duì)應(yīng)的直觀圖表，并以此孕伏函數(shù)思想。如直線上的點(diǎn)（數(shù)軸）與表示具體的數(shù)是一一對(duì)應(yīng) . 例題在數(shù)軸上表示點(diǎn)5.5、4、0、0.5、3。假設(shè)思想方法假設(shè)是先對(duì)題目中的已知條件或問題作出某種假設(shè)，然后按照題中的已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量出現(xiàn)的矛盾，加以適當(dāng)調(diào)整，最后找到正確答案的一種思想方法。假設(shè)思想是一種有意義的想象思維，掌握之后可以使要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。例題：今有雉兔同籠，上有三十五頭， 下有九十四足，問雉兔各幾何？解：假設(shè)全部是雞，則35×2=70 9470=24 兔：24÷（ 42） 12 雞：35

4、1223解：假設(shè)全部是兔，則35×4=140 14094=46 兔：46÷（ 42） 23 雞：352312比較思想方法比較思想是數(shù)學(xué)中常見的思想方法之一，也是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的手段。在教學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，教師善于引導(dǎo)學(xué)生比較題中已知和未知數(shù)量變化前后的情況，可以幫助學(xué)生較快地找到解題途徑。例題一個(gè)玻璃瓶?jī)?nèi)原有鹽是水的 ，加進(jìn)15克鹽后，鹽占鹽水的 ，瓶中原有鹽水多少克？解：設(shè)玻璃瓶?jī)?nèi)原有鹽水x克，則（x15）：11x1:8 x40 12×40480（克）答：瓶中原有鹽水480克。符號(hào)思想方法用符號(hào)化的語言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號(hào)）來描述數(shù)學(xué)內(nèi)容，這就

5、是符號(hào)思想。如數(shù)學(xué)中各種數(shù)量關(guān)系，量的變化及量與量之間進(jìn)行推導(dǎo)和演算，都是用小小的字母表示數(shù)，以符號(hào)的濃縮形式表達(dá)大量的信息。如定律、公式、等。例題根據(jù)abc，請(qǐng)分析哪個(gè)量成正比例。解：當(dāng)a一定時(shí)，c和b成正比例；當(dāng)b一定時(shí)，c和a成正比例例1：填空 O+O+O+=100 O+O+O+=80 求=_ O =_用算式表示并比較：3×O +4×=100 3×O +2×=80 2×=20 =10 O =20類比思想方法類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去的思想。如加法交換律和乘法交換律、長(zhǎng)方形

6、的面積公式、平行四邊形面積公式和三角形面積公式。類比思想不僅使數(shù)學(xué)知識(shí)容易理解，而且使公式的記憶變得順?biāo)浦鄣淖匀缓秃?jiǎn)潔。例題加工一批零件，如果每天加工50個(gè)，要比原計(jì)劃晚8天完成；如果每天加工60個(gè)，就可以提前5天完成，這批零件有多少個(gè)？類比成盈虧問題， 類比成行程問題轉(zhuǎn)化思想方法 轉(zhuǎn)化思想是由一種形式變換成另一種形式的思想方法，而其本身的大小是不變的。如幾何的等積變換、解方程的同解變換、公式的變形等，在計(jì)算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。例題如圖，長(zhǎng)方形ABCD和平行四邊形EFGB，AB10厘米，BC15厘米。平行四邊形EFGB的面積是多少平方厘米 解：鏈接AE，則三角形

7、ABE的面積既是長(zhǎng)方形ABCD面積的一半，又是平行四邊形EFGB面積的一半，所以長(zhǎng)方形ABCD的面積等于平行四邊形EFGB的面積。 10×15150（平方厘米）分類思想方法分類思想方法不是數(shù)學(xué)獨(dú)有的方法，數(shù)學(xué)的分類思想方法體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的分類及其分類的標(biāo)準(zhǔn)。如自然數(shù)的分類，若按能否被2整除分奇數(shù)和偶數(shù)；按約數(shù)的個(gè)數(shù)分質(zhì)數(shù)和合數(shù)。又如三角形可以按邊分，也可以按角分。不同的分類標(biāo)準(zhǔn)就會(huì)有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的概念。對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的正確、合理分類取決于分類標(biāo)準(zhǔn)的正確、合理性，數(shù)學(xué)知識(shí)的分類有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的梳理和建構(gòu)。例：給一本書編頁碼，一共用去732個(gè)數(shù)字，這本書一共有多少頁？分析與解

8、：按照每個(gè)頁碼所用數(shù)字的個(gè)數(shù)分類：只用一個(gè)數(shù)字的有19頁，共用了9個(gè)數(shù)字；用二個(gè)數(shù)字的有1099頁，共用了2×（999）=180（個(gè)）數(shù)字；余下的（7321809）個(gè)數(shù)字用來編三位數(shù)的頁碼，可以編（7321809）÷3=181（個(gè)）頁碼。于是可以求出這本書一共有990181=280（頁）。六份同樣的禮物，全部分給四個(gè)孩子，使每個(gè)孩子至少獲得一份禮物的不同分法共有多少種？ 分析與解答：根據(jù)題意可知，每個(gè)孩子最少可分到一份禮物，最多不會(huì)超過三份禮物，所以此題可按以下兩類辦法來分： 第一類：一個(gè)孩子分得3份，其他孩子各分得1份，有右邊4種分法： 第二類：兩個(gè)孩子各分得2份，另外兩

9、 個(gè)孩子各分得1份，有右邊6種 分法：根據(jù)加法原理可得：46=10（種） 答：共有10種不同的分法。集合思想方法集合思想就是運(yùn)用集合的概念、邏輯語言、運(yùn)算、圖形等來解決數(shù)學(xué)問題或非純數(shù)學(xué)問題的思想方法。小學(xué)采用直觀手段，利用圖形和實(shí)物滲透集合思想。在講述公約數(shù)和公倍數(shù)時(shí)采用了交集的思想方法。例題某班學(xué)生每人至少訂一份報(bào)紙，訂少年報(bào)的有17人，訂科技報(bào)的有23人，兩種報(bào)紙都訂的有5人，全班共有多少人？解：1723535（人） 答：全班共有35人。數(shù)形結(jié)合思想方法 數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)主要對(duì)象，數(shù)離不開形，形離不開數(shù)，一方面抽象的數(shù)學(xué)概念，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，借助圖形使之直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化。另一

10、方面復(fù)雜的形體可以用簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系表示。在解應(yīng)用題中常常借助線段圖的直觀幫助分析數(shù)量關(guān)系。例題： 有一根繩子，第一次用去它的一半，第二次用去了剩下的一半多1米，最后還剩2米。這根繩子原來有多少米？根據(jù)題意，畫線段圖幫助理解。從圖上可以知道。剩下的一半的長(zhǎng)是21=3（米），第一次剩下的長(zhǎng)度是33=6（米）。這根繩子的全長(zhǎng)是6×2=12（米）統(tǒng)計(jì)結(jié)合思想方法小學(xué)數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)圖表是一些基本的統(tǒng)計(jì)方法，求平均數(shù)應(yīng)用題是體現(xiàn)出數(shù)據(jù)處理的思想方法。例題每年的8月23日是社會(huì)公益日，藍(lán)天小學(xué)全體同學(xué)參加公益勞動(dòng)，撿拾白色垃圾的情況如下表。求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)。解：平均數(shù)（9+12+15+1

11、7+21+30）÷617.33（千克）中位數(shù)（1517）÷216（千克）極限思想方法事物是從量變到質(zhì)變的，極限方法的實(shí)質(zhì)正是通過量變的無限過程達(dá)到質(zhì)變。在講“圓的面積和周長(zhǎng)”時(shí)，“化圓為方”“化曲為直”的極限分割思路，在觀察有限分割的基礎(chǔ)上想象它們的極限狀態(tài)，這樣不僅使學(xué)生掌握公式還能從曲與直的矛盾轉(zhuǎn)化中萌發(fā)了無限逼近的極限思想。例題：如圖，長(zhǎng)方形點(diǎn)ABCD中，AB=30，BC=40，AC=50，P為BC上任意一點(diǎn)，PE垂直BD于E，PF垂直AC于F。求PE+PF的值。代換思想方法它是方程解法的重要原理，解題時(shí)可將某個(gè)條件用別的條件進(jìn)行代換。例題學(xué)校買了4張桌子和9把椅子，

12、共用去504元，一張桌子和3把椅子的價(jià)錢正好相等，桌子和椅子的單價(jià)各是多少？ 解： 4×312 椅子價(jià)錢：504÷（129）24（元） 桌子價(jià)錢：24×372（元） 答：桌子的價(jià)錢是72元，椅子的價(jià)錢是24元。可逆思想方法它是邏輯思維中的基本思想，當(dāng)順向思維難于解答時(shí)，可以從條件或問題思維尋求解題思路的方法，有時(shí)可以借線段圖逆推。如一輛汽車從甲地開往乙地，第一小時(shí)行了全程的1/7，第二小時(shí)比第一小時(shí)多行了16千米，還有94千米，求甲乙之距。例：一個(gè)農(nóng)婦提著一籃雞蛋去賣，第一次賣掉了全部雞蛋的一半多半個(gè)；第二次又賣掉剩下的一半又多半個(gè)；第三次還是賣掉剩下的一半又多半

13、個(gè)，最后農(nóng)婦籃子里還剩下1個(gè)雞蛋，問農(nóng)婦籃子里原有多個(gè)雞蛋？分析：已知條件相關(guān)性強(qiáng)，邏輯關(guān)系明顯，若用線段圖幫助解題可使數(shù)量關(guān)系直觀、清晰，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),是解此類問題的好方法。例題2 有一根繩子，第一次用去它的一半，第 二次用去了剩下的一半多1米，最后還剩2米。這 根繩子原來有多少米？分析：根據(jù)題意，畫線段圖幫助理解?；瘹w思想方法把有可能解決的或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類以便解決可較易解決的問題，以求得解決，這就是“化歸”。而數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系緊密，新知識(shí)往往是舊知識(shí)的引申和擴(kuò)展。讓學(xué)生面對(duì)新知會(huì)用化歸思想方法去思考問題，對(duì)獨(dú)立獲得新知能力的提高無疑是有很大幫助?；瘹w的方向應(yīng)該是化

14、隱為顯、化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化未知為已知。例題：若3a+2b=24，則 a5+ b的值是 _.解： a5+ b （3a2b）5 因?yàn)?a+2b=24，代入上式得： （3a2b）5 ×2451變中抓不變的思想方法在紛繁復(fù)雜的變化中如何把握數(shù)量關(guān)系，抓不變的量為突破口，往往問了就迎刃而解。 例題：科技書和文藝書共630本，其中科技書20%，后來又買來一些科技書，這時(shí)科技書占30%，又買來科技書多少本？解：630×（120%）504（本） 504÷（130%）720（本） 72063090（本）答：又買來科技書90本。數(shù)學(xué)模型思想方法所謂數(shù)學(xué)模型思想是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，從它特定的生活原型出發(fā)，充分運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程，得到簡(jiǎn)化和假設(shè)，它是把生活中實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題模型的一種思想方法。培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)和處理周圍事物或數(shù)學(xué)問題乃數(shù)學(xué)的最高境界，也是學(xué)生高數(shù)學(xué)素養(yǎng)所追求的目標(biāo)。例題：春節(jié)到了，黃岡數(shù)學(xué)思維小組的四個(gè)小伙伴約定通過打電話互相致以春節(jié)的問候。已知他們每?jī)蓚€(gè)人