三角函數(shù)公式分類總結(jié)

1、三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任何角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的。其定義城為整個實數(shù)城。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮敖列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。公式分類同角三角函數(shù)的基本關(guān)系倒數(shù)關(guān)系： tan ·cot=1 sin ·csc=1 cos ·sec=1 商的關(guān)系： sin/cos=tan=sec/csc cos/sin=cot=csc/sec 平方關(guān)系： sin2()+cos2()=1 1+tan2()=sec2() 1+co

2、t2()=csc2() 平常針對不同條件的常用的兩個公式sin2()+cos2()=1 tan *cot =1 一個特殊公式sina+sin*sina-sin=sina+*sina- 證明：sina+sin*sina-sin=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos(+a)/2 sin(a-)/2 =sina+*sina- 坡度公式我們通常把坡面的鉛直高度h與水平高度l的比叫做坡度也叫坡比， 用字母i表示， 即 i=h / l,坡度的一般形式寫成 l : m形式，如i=1:5.如果把坡面與水平面的夾角記作 a(叫做坡角，那么 i=h/l=tan a. 銳角三角函數(shù)公式正弦： s

3、in =的對邊/ 的斜邊 余弦：cos =的鄰邊/的斜邊 正切：tan =的對邊/的鄰邊 余切：cot =的鄰邊/的對邊 二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦1.cos2a=cos2(a)-sin2(a) 2.cos2a=1-2sin2(a) 3.cos2a=2cos2(a)-1 即cos2a=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 正切tan2A=2tanA/1-tan2(A) 三倍角公式 三倍角公式sin3=4sin·sin(/3+)sin(/3-) cos3=4cos·cos(/3+)cos(/3-) ta

4、n3a = tan a · tan(/3+a)· tan(/3-a) 三倍角公式推導(dǎo) sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cosa-1)cosa-2(1-cosa)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sina) =4sina(3/2)-sina =4sina(sin60°-sina) =4sin

5、a(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60°-a)/2*2sin(60°-a)/2cos(60°-a)/2 =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosacosa-(3/2)2 =4cosa(cosa-cos30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos(a+30°)/2cos(a

6、-30°)/2*-2sin(a+30°)/2sin(a-30°)/2 =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin90°-(60°-a)sin-90°+(60°+a) =-4cosacos(60°-a)-cos(60°+a) =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述兩式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 現(xiàn)列出公式如下： sin2=2sincos tan2=2t

7、an/(1-tan cos2=cos-sin=2cos-1=1-2sin 可別輕視這些字符，它們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會起到重要作用，包括在一些圖像問題和函數(shù)問題中 三倍角公式sin3=3sin-4sin=4sin·sin(/3+)sin(/3-) cos3=4cos-3cos=4cos·cos(/3+)cos(/3-) tan3=tan()*(-3+tan()2)/(-1+3*tan()2)=tan a · tan(/3+a)· tan(/3-a) 半角公式sin(/2)=(1-cos)/2 cos(/2)=(1+cos)/2 tan(/2)=(1-cos)/(

8、1+cos) tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 萬能公式sin=2tan(/2)/1+tan(/2) cos=1-tan(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan&s(/2) 其他sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B

9、)=0 四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA2-1) cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4) tan4A=(4*tanA-4*tanA3)/(1-6*tanA2+tanA4) 五倍角公式sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA2+tanA4)/(1-10*tanA2+5*tanA4) 六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA2) cos6A=(-1+2*cosA)*(1

10、6*cosA4-16*cosA2+1) tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA-15*tanA4+tanA6) 七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6) cos7A=(cosA*(56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7) tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6) 八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA2-1)*(-8*sinA2+8*sinA4

11、+1) cos8A=1+(160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6)/(1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8) 九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2)*(64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3) tan9A=tanA*(9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8)/(1-

12、36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8) 十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA2+2*sinA-1)*(4*sinA2-2*sinA-1)*(-20*sinA2+5+16*sinA4) cos10A=(-1+2*cosA2)*(256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8)/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10) N倍角公式根據(jù)棣美

13、弗定理，(cos+ i sin)n = cos(n)+ i sin(n) 為方便描述，令sin=s，cos=c 考慮n為正整數(shù)的情形： cos(n)+ i sin(n) = (c+ i s)n = C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 + . +C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . =>比較兩邊的實部與虛部 實部：cos(n)=C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c

14、(n-4)*(i s)4 + . i*(虛部)：i*sin(n)=C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . 對所有的自然數(shù)n， 1. cos(n)： 公式中出現(xiàn)的s都是偶次方，而s2=1-c2(平方關(guān)系)，因此全部都可以改成以c(也就是cos)表示。 2. sin(n)： (1)當(dāng)n是奇數(shù)時： 公式中出現(xiàn)的c都是偶次方，而c2=1-s2(平方關(guān)系)，因此全部都可以改成以s(也就是sin)表示。 (2)當(dāng)n是偶數(shù)時： 公式中出現(xiàn)的c都是奇次方，而c2=1-s2(平方關(guān)系)，因此即使再怎么換成s，都

15、至少會剩c(也就是 cos)的一次方無法消掉。 (例. c3=c*c2=c*(1-s2)，c5=c*(c2)2=c*(1-s2)2) 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 半角公式兩角和公式 兩角和公式cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin(+)=sinc

16、os+cossin sin(-)=sincos -cossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 三角和公式sin(+)=sin·cos·cos+cos·sin·cos+cos·cos·sin-sin·sin·sin cos(+)=cos·cos·cos-cos·si

17、n·sin-sin·cos·sin-sin·sin·cos tan(+)=(tan+tan+tan-tan·tan·tan)/(1-tan·tan-tan·tan-tan·tan) 和差化積sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2 和差化積公式sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2 cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2 cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=

18、tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 積化和差sinsin =-cos(+)-cos(-) /2 coscos = cos(+)+cos(-)/2 sincos = sin(+)+sin(-)/2 cossin = sin(+)-sin(-)/2 雙曲函數(shù)sh a = ea-e(-a)/2 ch a = ea+e(-a)/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin2k+= sin cos2k+= cos tan2k+

19、= tan cot2k+= cot 公式二： 設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin+= -sin cos+= -cos tan+= tan cot+= cot 公式三： 任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin-= -sin cos-= cos tan-= -tan cot-= -cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin-= sin cos-= -cos tan-= -tan cot-= -cot 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin2-= -sin cos2-= cos tan2-= -

20、tan cot2-= -cot 公式六： /2±及3/2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin/2+= cos cos/2+= -sin tan/2+= -cot cot/2+= -tan sin/2-= cos cos/2-= sin tan/2-= cot cot/2-= tan sin3/2+= -cos cos3/2+= sin tan3/2+= -cot cot3/2+= -tan sin3/2-= -cos cos3/2-= -sin tan3/2-= cot cot3/2-= tan (以上kZ) A·sin(t+)+ B·sin(t+) =

21、 (A+2ABcos(-) · sint + arcsin (A·sin+B·sin) / A2 +B2 +2ABcos(-) 表示根號,包括中的內(nèi)容 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式六公式公式一： sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (-)=-tan 公式二： sin(/2-) = cos cos(/2-) = sin 公式三： sin(/2+) = cos cos(/2+) = -sin 公式四： sin(-) = sin cos(-) = -cos 公式五： sin(+) = -sin cos(+) = -cos 公式六： tanA= sinA/

22、cosA tan/2+=cot tan/2=cot tan=tan tan+=tan 誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限 萬能公式 萬能公式sin=2tan(/2)/1+(tan(/2) cos=1-(tan(/2)/1+(tan(/2) tan=2tan(/2)/1-(tan(/2) 其它公式 三角函數(shù)其它公式(1) (sin)2+(cos)2=1平方和公式 (2)1+(tan)2=(sec)2 (3)1+(cot)2=(csc)2 證明下面兩式，只需將一式,左右同除(sin)2，第二個除(cos)2即可 (4)對于任意非直角三角形，總有 tanA+tanB+tanC=tanAtanB

23、tanC 證： A+B=-C tan(A+B)=tan(-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得證 同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=n(nZ)時，該關(guān)系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2co

24、sAcosBcosC (8)sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC 其他非重點三角函數(shù) csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) (seca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2 冪級數(shù)展開式 sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1)(k-1)*(x(2k-1)/(2k-1)!+。 (-<x<) cos x = 1-x2/2!+x4/4!-+(-1)k*(x(2k)/(2k)!+ (-<x<) arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 +

25、 (|x|<1) arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ) (|x|<1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 -(x1) 無限公式 sinx=x(1-x2/2)(1-x2/42)(1-x2/92) cosx=(1-4x2/2)(1-4x2/92)(1-4x2/252) tanx=8x1/(2-4x2)+1/(92-4x2)+1/(252-4x2)+ secx=41/(2-4x2)-1/(92-4x2)+1/(252-4x2)-+ (sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8 (1/4)tan/4+(

26、1/8)tan/8+(1/16)tan/16+=1/ arctan x = x - x3/3 + x5/5 -(x1) 和自變量數(shù)列求和有關(guān)的公式 sinx+sin2x+sin3x+sinnx=sin(nx/2)sin(n+1)x/2)/sin(x/2) cosx+cos2x+cos3x+cosnx=cos(n+1)x/2)sin(nx/2)/sin(x/2) tan(n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+cosnx) sinx+sin3x+sin5x+sin(2n-1)x=(sinnx)2/sinx cosx+cos3x+co

27、s5x+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx) 內(nèi)容規(guī)律三角函數(shù)看似很多，很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就會發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個公式之間有強(qiáng)大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵所在。 三角函數(shù)本質(zhì)： 根據(jù)三角函數(shù)定義推導(dǎo)公式1根據(jù)右圖，有 sin=y/ r; cos=x/r; tan=y/x; cot=x/y 深刻理解了這一點，下面所有的三角公式都可以從這里出發(fā)推導(dǎo)出來，比方以推導(dǎo) sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 為例： 推導(dǎo)： 首先畫單位圓交X軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點。角AOD為，BOD為，旋轉(zhuǎn)AOB使

28、OB與OD重合，形成新A'OD。 A(cos,sin),B(cos，sin),A'(cos(-),sin(-) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) cos(-)-12+sin(-)2=(cos-cos)2+(sin-sin)2 和差化積及積化和差用復(fù)原法結(jié)合上面公式可推出換(a+b)/2與(a-b)/2 單位圓定義 單位圓 六個三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為一中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數(shù)角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義確實允許三角函數(shù)對所有正數(shù)和負(fù)數(shù)輻角都有定義，而不只是對于在 0 和 /2 弧度之間的角。它也提供了

29、一個圖象，把所有重要的三角函數(shù)都包含了。根據(jù)勾股定理，單位圓的等式是： 圖象中給出了用弧度度量的一些常見的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負(fù)角。設(shè)一個過原點的線，同 x軸正半部分得到一個角 ，并與單位圓相交。這個交點的 x和 y坐標(biāo)分別等于 cos 和 sin 。圖象中的三角形確保了這個公式；半徑等于斜邊且長度為1，所以有 sin = y/1 和 cos = x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等于 1的一種查看無限個三角形的方式。三角函數(shù)萬能公式 萬能公式 (1) (sin)2+(cos)2=1 (2)1+(tan)2=(sec)2 (3)1+(cot)

30、2=(csc)2 證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sin)2,第二個除(cos)2即可 (4)對于任意非直角三角形,總有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 證: A+B=-C tan(A+B)=tan(-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得證 同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=n(nZ)時,該關(guān)系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (

31、6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA2+(cosB2+(cosC2=1-2cosAcosBcosC (8)sinA2+sinB2+sinC2=2+2cosAcosBcosC 三角函數(shù)萬能公式為什么萬能萬能公式為： 設(shè)tan(A/2)=t sinA=2t/(1+t2) A2k+，kZ tanA=2t/(1-t2) A2k+，kZ cosA=(1-t2)/(1+t2) A2k+，且Ak+(/2) kZ 就是說sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)來表示,當(dāng)要求一串函數(shù)式最值的時候,就可以用萬能公式

32、,推導(dǎo)成只含有一個變量的函數(shù),最值就很好求了.三角函數(shù)和角公式 誘導(dǎo)公式又稱三角函數(shù)的加法定理，是幾個角的和差的三角函數(shù)通過其中各個角的三角函數(shù)來表示的關(guān)系目錄1 誘導(dǎo)公式公式一1 公式二1 公式三1 公式四1 公式五1 公式六1 一般的最常用公式·平方關(guān)系1 ·積的關(guān)系1 ·倒數(shù)關(guān)系1 ·商數(shù)關(guān)系1 ·兩角和與差的三角函數(shù)1 ·輔助角公式1 ·倍角公式1 ·三倍角公式1 ·半角公式1 ·降冪公式1 · 萬能公式1 ·積化和差公式1 ·和差化積公式1 ·其

33、他1 部分高等內(nèi)容·高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示1 ·三角函數(shù)作為微分方程的解特殊三角函數(shù)值三角函數(shù)的計算傅立葉級數(shù)1 誘導(dǎo)公式公式一1 公式二1 公式三1 公式四1 公式五1 公式六1 一般的最常用公式·平方關(guān)系1 ·積的關(guān)系1 ·倒數(shù)關(guān)系1 ·商數(shù)關(guān)系1 ·兩角和與差的三角函數(shù)1 ·輔助角公式1 ·倍角公式1 ·三倍角公式1 ·半角公式1 ·降冪公式1 · 萬能公式1 ·積化和差公式1 ·和差化積公式1 ·其他1 部分高等內(nèi)容

34、83;高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示1 ·三角函數(shù)作為微分方程的解特殊三角函數(shù)值三角函數(shù)的計算傅立葉級數(shù)誘導(dǎo)公式常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組： 1.sin2 +cos2=1 2.sin/cos=tan 3.tan=1/cot 公式一公式一: 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin2ksin cos2kcos tan2ktan cot2kcot 公式二公式二： 設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sinsin coscos tantan cotcot 公式三公式三： 任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sinsin coscos tantan cotco

35、t 公式四公式四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sinsin coscos tantan cotcot 公式五公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin2sin cos2cos tan2tan cot2cot 公式六公式六： /2±及3/2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin/2cos cos/2sin tan/2cot cot/2tan sin/2cos cos/2sin tan/2cot cot/2tan sin3/2cos cos3/2sin tan3/2cot cot3/2tan sin3/2cos cos

36、3/2sin tan3/2cot cot3/2tan (以上kZ) 一般的最常用公式口訣;奇變偶不變，符號看象限 一般的最常用公式有: Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 同角三角函數(shù)的關(guān)系即同角八式 ·平方關(guān)系·平方關(guān)系： sin2()+co

37、s2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=csc2() ·積的關(guān)系·積的關(guān)系： sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot ·倒數(shù)關(guān)系·倒數(shù)關(guān)系： tan·cot=1 sin·csc=1 cos·sec=1 ·商數(shù)關(guān)系·商數(shù)關(guān)系： sina/cosa=tana cosa/sina=cota 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊, sina=y/r 余弦等于角A的鄰邊

38、比斜邊 cosa=x/r 正切等于對邊比鄰邊, tana=y/x 三角函數(shù)恒等變形公式 ·兩角和與差的三角函數(shù)·兩角和與差的三角函數(shù)： cos(+)=cos·cos-sin·sin cos(-)=cos·cos+sin·sin sin(±)=sin·cos±cos·sin tan(+)=(tan+tan)/(1-tan·tan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tan·tan) ·輔助角公式·輔助角公式： Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2

39、)sin(+t)，其中 sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) ·倍角公式·倍角公式： sin(2)=2sin·cos=2/(tan+cot) cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() tan(2)=2tan/1-tan2() ·三倍角公式·三倍角公式： sin(3)=3sin-4sin3() cos(3)=4cos3()-3cos ·半角公式·半角公式： sin(/2)=±(1-cos)/2) cos(/2)=±(1+cos

40、)/2) tan(/2)=±(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin ·降冪公式·降冪公式： sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2=vercos(2)/2 tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2) · 萬能公式· 萬能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) ·積化和差公式·積化和差公式： sin

41、83;cos=(1/2)sin(+)+sin(-) cos·sin=(1/2)sin(+)-sin(-) cos·cos=(1/2)cos(+)+cos(-) sin·sin=-(1/2)cos(+)-cos(-) ·和差化積公式·和差化積公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 ·其他·其他： sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+si

42、n(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 部分高等內(nèi)容部分高等內(nèi)容 ·高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示·高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級數(shù)易得)： sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展開有無

43、窮級數(shù)，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！ 此時三角函數(shù)定義域已推廣至整個復(fù)數(shù)集。 ·三角函數(shù)作為微分方程的解·三角函數(shù)作為微分方程的解： 對于微分方程組 y=-y''y=y''''，有通解Q,可證明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。 補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。 特殊三角函數(shù)值特殊三角函數(shù)值 a 0 30 45 60 90 sina 0 1/2 2/2 3/2 1 cosa 1 3/2

44、2/2 1/2 0 tana 0 3/3 1 3 None cota None 3 1 3/3 0 15度角的三角函數(shù)值： 正弦為(6-2)/4； 余弦為(6+2)/4； 正切為2-3， 余切為2+3。 三角函數(shù)的計算三角函數(shù)的計算 冪級數(shù) c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn (n=0.) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x-a)n (n=0.) 它們的各項都是正整數(shù)冪的冪函數(shù), 其中c0,c1,c2,. .及a都是常數(shù), 這種級數(shù)稱為冪級數(shù). 泰勒展開式(冪級數(shù)展開法): f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f&#

45、39;'(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+. 實用冪級數(shù)： ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+. ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+. (|x|<1) sin x = x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+. (-<x<) cos x = 1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+. (-<x<) arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + . (|x|<1) a

46、rccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + . ) (|x|<1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 - . (x1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+. (-<x<) cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+. (-<x<) arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - . (|x|<1) arctanh x = x + x3/3 + x5/5 +

47、. (|x|<1) - 傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)(三角級數(shù)) f(x)=a0/2+(n=0.) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/(.-) (f(x)dx an=1/(.-) (f(x)cosnx)dx bn=1/(.-) (f(x)sinnx)dx sin2a=2sinacosa cos2a=cosa2-sina2 =1-2sina2 =2cosa2-1 tan2a=2tana/1-tana2三角函數(shù)誘導(dǎo)公式目錄誘導(dǎo)公式的本質(zhì)常用的誘導(dǎo)公式1 其他三角函數(shù)知識同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法1 兩角和差公式1 二倍角的正弦、余弦和正切公式1 半角的正弦、

48、余弦和正切公式1 萬能公式1 三倍角的正弦、余弦和正切公式1 三角函數(shù)的和差化積公式1 三角函數(shù)的積化和差公式公式推導(dǎo)過程誘導(dǎo)公式的本質(zhì)常用的誘導(dǎo)公式1 其他三角函數(shù)知識同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法1 兩角和差公式1 二倍角的正弦、余弦和正切公式1 半角的正弦、余弦和正切公式1 萬能公式1 三倍角的正弦、余弦和正切公式1 三角函數(shù)的和差化積公式1 三角函數(shù)的積化和差公式公式推導(dǎo)過程 誘導(dǎo)公式的本質(zhì)所謂三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，就是將角n·(/2)±的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)。 常用的誘導(dǎo)公式公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： s

49、in2k+=sin kz cos2k+=cos kz tan2k+=tan kz cot2k+=cot kz sec2k+=sec kz csc2k+=csc kz 公式二： 設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin+=sin cos+=cos tan+=tan cot+=cot sec(+)=-sec csc(+)=-csc 公式三： 任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin=sin cos=cos tan=tan cot=cot sec(-)=sec csc(-)=-csc 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin=sin cos=c

50、os tan=tan cot=cot sec(-)=-sec csc(-)=csc 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin2=sin cos2=cos tan2=tan cot2=cot sec(2-)=sec csc(2-)=-csc 公式六： /2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin/2+=cos cos/2+=sin tan/2+=cot cot/2+=tan sec(/2+)=-csc csc(/2+)=sec sin/2=cos cos/2=sin tan/2=cot cot/2=tan sec(/2-)=csc csc(/2-)=sec 推算公式：3/2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin3/2+=cos cos3/2+=sin tan3/2+=cot cot3/2+=tan sec(3/2