專(zhuān)題03-含絕對(duì)值的不等式及其應(yīng)用-一本通之備戰(zhàn)2019高考數(shù)學(xué)選做題

1、專(zhuān)題03 含絕對(duì)值的不等式及其應(yīng)用知識(shí)通關(guān)1絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|<a與|x|>a的解集：不等式a>0a=0a<0|x|<ax|a<x<a|x|>ax|x>a或x<ax|xR且x0R(2)|ax+b|c(c>0)和|ax+b|c(c>0)型不等式的解法：|ax+b|ccax+bc;|ax+b|cax+bc或ax+bc.(3)|xa|+|xb|c和|xa|+|xb|c型不等式的解法：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想;利用“零點(diǎn)分段法”求解,表達(dá)了分類(lèi)討論的思想;通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函

2、數(shù)的圖象求解,表達(dá)了函數(shù)與方程的思想.2絕對(duì)值三角不等式(1)定理1：如果a,b是實(shí)數(shù)，則|a+b|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立.(2)定理2：如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|+|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立.(3)推論1：|a|b|a+b|.(4)推論2：|a|b|ab|.基礎(chǔ)通關(guān)理解絕對(duì)值的幾何意義，并會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類(lèi)型的不等式：方法解讀適合題型1公式法利用公式和或直接求解不等式或2平方法利用不等式兩邊平方的技巧,去掉絕對(duì)值,需保證不等式兩邊同正或同負(fù)3零點(diǎn)分段法含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào),將其

3、轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解4幾何法利用絕對(duì)值的幾何意義,畫(huà)出數(shù)軸,將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解5圖象法在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用函數(shù)圖象求解或通過(guò)移項(xiàng)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)如可構(gòu)造或與題組一 絕對(duì)值不等式的解法用零點(diǎn)分段法畫(huà)出分段函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象的直觀(guān)性求出不等式的解集，表達(dá)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用【例1】已知函數(shù).1畫(huà)出的圖象；2求不等式的解集 【解析】1的圖象如下列圖.題組二 絕對(duì)值不等式性質(zhì)的應(yīng)用1利用絕對(duì)值不等式性質(zhì)定理時(shí)要注意等號(hào)成立的條件：當(dāng)ab0時(shí)，|ab|a|b|；當(dāng)ab0時(shí)，|ab|a|b|；當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，|ac|ab|

4、bc|.2對(duì)于求y|xa|xb|或y|xa|xb|型的最值問(wèn)題時(shí)利用絕對(duì)值三角不等式更方便3對(duì)于含絕對(duì)值的不等式，不管是分段去絕對(duì)值符號(hào)還是利用幾何意義，都要不重不漏【例2】已知函數(shù)，1當(dāng)時(shí)，解不等式；2假設(shè)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】1依題意，兩邊同時(shí)平方得，即，解得或，故不等式的解集為2由恒成立，即恒成立，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.能力通關(guān)1含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題的解題規(guī)律：1根據(jù)絕對(duì)值的定義,分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值,轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后利用數(shù)形結(jié)合解決.2巧用“|a|b|a±b|a|+|b|”求最值.求|a|b|的范圍:假設(shè)a±b為常數(shù)M,可利用|a|b|a

5、77;b|M|a|b|M|確定范圍.求|a|+|b|的最小值:假設(shè)a±b為常數(shù)M,可利用|a|+|b|a±b|=|M|,從而確定其最小值.3f(x)<a恒成立f(x)max<a,f(x)>a恒成立f(x)min>a.即不等式恒成立問(wèn)題、存在性問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題解決2含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及其解法：1別離參數(shù)法運(yùn)用“”可解決恒成立中的參數(shù)范圍問(wèn)題.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相關(guān)性質(zhì)解決；將函數(shù)解析式用分段函數(shù)形式表示，作出函數(shù)圖象，求得最值；利用性質(zhì)“”求最值.2更換主元法不少含參不等式恒成立問(wèn)題，假設(shè)直接從主元入手非常

6、困難或不可能解決時(shí)，可轉(zhuǎn)換思維角度，將主元與參數(shù)互換，?？傻玫胶?jiǎn)捷的解法.3數(shù)形結(jié)合法在研究曲線(xiàn)交點(diǎn)的恒成立問(wèn)題時(shí)，假設(shè)能數(shù)形結(jié)合，揭示問(wèn)題所蘊(yùn)含的幾何背景，發(fā)揮形象思維和抽象思維各自的優(yōu)勢(shì)，可直接解決問(wèn)題.不等式恒成立問(wèn)題【例1】設(shè)函數(shù).1解不等式；2假設(shè)對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】1因?yàn)? 當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，解得.所以不等式的解集為.2依題意只需，而，所以，所以或,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【例2】已知函數(shù).1求不等式的解集；2假設(shè)對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】1假設(shè)，則原不等式可化為，則，無(wú)解；假設(shè)，則原不等式可化為，則，無(wú)解；假設(shè)，則原不等式可化為，則.綜上

7、所述，不等式的解集為.2令，依題意可知.而，由，所以.所以，即，故的取值范圍是.不等式存在性問(wèn)題【例3】已知函數(shù)1當(dāng)時(shí),解不等式;2假設(shè)存在滿(mǎn)足,求實(shí)數(shù)的取值范圍2原命題等價(jià)于 . 不等式中的最值問(wèn)題【例4】設(shè)函數(shù)，.1求函數(shù)的最小值；2假設(shè)對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】1，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí).2對(duì)任意的，不等式恒成立，或，或，或，或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【例5】已知函數(shù).1解不等式；2假設(shè)正數(shù)滿(mǎn)足，求的最小值.【解析】1當(dāng)時(shí)，由，即，解得，顯然所以；當(dāng)時(shí)，由，即，解得.又，所以此時(shí)不等式無(wú)解；當(dāng)時(shí)，.由，即，解得.顯然，所以.綜上，不等式的解集為.2由題意得.所

8、以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.不等式綜合性問(wèn)題【例6】已知函數(shù)1假設(shè)，解不等式；2假設(shè)方程有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍2因?yàn)椋苑匠逃腥齻€(gè)不同的解等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線(xiàn)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作圖可知，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.高考通關(guān)1已知函數(shù)f(x)|xa|x2|. 1當(dāng)a3時(shí)，求不等式f(x)3的解集；2假設(shè)f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍【解析】1當(dāng)a3時(shí)，不等式f(x)3化為|x3|x2|3.(*)當(dāng)x2時(shí)，由(*)式，得52x3，x1.當(dāng)2x3時(shí)，由(*)式知，解集為.當(dāng)x3時(shí)，由(*)式，得2x53，x4.綜上可知，f(x

9、)3的解集是x|x4或x1.2原不等式等價(jià)于|x4|x2|xa|，(*)當(dāng)1x2時(shí)，(*)式化為4x(2x)|xa|，解得2ax2a.由條件，1,2是f(x)|x4|的解集的子集，2a1且22a，則3a0，故滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是3,0.2已知函數(shù).1解關(guān)于的不等式.2假設(shè)對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2由1知，.作出函數(shù)的圖象，如圖，顯然.故由不等式恒成立可得，解得.所以的取值范圍為.3已知函數(shù).1假設(shè)，求不等式的解集；2假設(shè)關(guān)于x的不等式在R上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】1依題意，假設(shè)，則原式化為，解得，故；假設(shè)，則原式化為，解得，故；假設(shè)，則原式化為，解得，故.綜上所述，不等式的解集為.2依題意，關(guān)于x的不等式在R上恒成立而|2x+ m|+|42x|m4|，所以，即或，解得，所以m的取值范圍是4已知函數(shù)，其中.1假設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求不等式的解集；2假設(shè)函數(shù)的最小值為1，求的最小值及其相應(yīng)的和的值.【解析】1函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，不等式可化為，即，化簡(jiǎn)得，解得，不等式的解集為.2，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得，函數(shù)的最小值為，由得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為4，此時(shí).5已知函數(shù)1假設(shè)使不等式成立，求