高三數學不等式選講 知識點和練習

1、不等式選講一、絕對值不等式1絕對值三角不等式定理1：如果a,b是實數，則|a+b|a|+|b|,當且僅當ab0時，等號成立。注：（1）絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義：當，不共線時，|+|+|，它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊。（2）不等式|a|-|b|a±b|a|+|b|中“=”成立的條件分別是：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，在側“=”成立的條件是ab0，左側“=”成立的條件是ab0且|a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右側“=”成立的條件是ab0，左側“=”成立的條件是ab0且|a|b|。定理2：如果a,b,c是實數，那么|a-c|a-

2、b|+|b-c|,當且僅當(a-b)(b-c) 0時，等號成立。2絕對值不等式的解法（1）含絕對值的不等式|x|a與|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|ax|-axa|x|ax|xa 或x-a x|xR且x0R注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的幾何意義（|x|表示數軸上的點x到原點的距離；| x-a |±|x-b|）表示數軸上的點x到點a,b的距離之和（差）（2）|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;| ax+b|c ax+bc或ax+b-c.（3）|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c

3、0)型不等式的解法方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想；方法二：利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想；方法三：通過構造函數，利用函數的圖象求解，體現了函數與方程的思想。二、證明不等式的基本方法1比較法（1）作差比較法理論依據：aba-b0;ab a-b0.證明步驟：作差變形判斷符號得出結論。注：作差比較法的實質是把兩個數或式子的大小判斷問題轉化為一個數（或式子）與0的大小關系。（2）作商比較法理論依據： 證明步驟：作商變形判斷與1的大小關系得出結論。2綜合法（1）定義：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質等，經過一系列的推理、論證而得到命題成立，這種證明方

4、法叫做綜合法。綜合法又叫做推證法或由因導果法。（2）思路：綜合法的思索路線是“由因導果”，也就是從一個（組）已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件代替前面的不等式，直至推導出要求證明的不等式。3分析法（1）定義：從要證的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實（定義、公理或已證明的定理、性質等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法。（2）思路：分析法的思索路線是“執(zhí)果索因”，即從要證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直到打到已知不等式為止。注：綜合法和分析法的內在聯系是綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡單、條理清楚。當問題比較

5、復雜時，通常把分析法和綜合法結合起來使用，以分析法尋找證明的思路，用綜合法敘述、表達整個證明過程。4放縮法（1）定義：證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的，這種證明方法稱為放縮法。（2）思路：分析證明式的形式特點，適當放大或縮小是證題關鍵。5.除此之外還有反證法和數學歸納法【絕對值不等式習題】【例1】不等式的解集為（A）-5.7 （B）-4,6 （C） （D） 【答案】D【解析】由不等式的幾何意義知，式子表示數軸的點與點（5）的距離和與點（-3）的距離之和，其距離之和的最小值為8，結合數軸，選項D正確【例2】 已知集合，則集合=_.【答案】【解析

6、】，.【例3】對于實數x，y，若，則的最大值為 .【答案】5【例4】不等式的解集是_.【解析】。由題得 所以不等式的解集為?！纠?】若關于x的不等式存在實數解，則實數的取值范圍是 【答案】【解析】：因為所以存在實數解，有或【例6】已知函數f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）證明：-3f（x）3；（II）求不等式f（x）x2-8x+15的解集.解：（I） 當 所以 （II）由（I）可知， 當的解集為空集； 當； 當.綜上，不等式 【例7】已知函數 （1）解關于的不等式； （2）若函數的圖象恒在函數圖象的上方，求的取值范圍。解：（1）不等式，即。當時，不等式的解集是；當時，不等式的解集為；當時

7、，即，即或者，即或者，解集為。 （5分）（2）函數的圖象恒在函數圖象的上方，即對任意實數恒成立。即對任意實數恒成立。由于，故只要。所以的取值范圍是?！静坏仁阶C明習題】【例1】若a，b，c為不全相等的正數，求證：lg lg lg lg alg blg c.證明： 由a，b，c為正數，得lg lg ；lg lg ；lg lg .而a，b，c不全相等，所以lg lg lg lg lg lg lg lg(abc)lg alg blg c.即lg lg lg lg alg blg c.【例2】證明不等式1+證法一 (1)當n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立 (2)假設n=k(k1)

8、時，不等式成立，即1+2，當n=k+1時，不等式成立 綜合(1)、(2)得 當nN*時，都有1+2 證法二 對任意kN*，都有 證法三 設f(n)= 那么對任意kN* 都有 f(k+1)f(k)因此，對任意nN* 都有f(n)f(n1)f(1)=10，【例3】已知a0，b0，且a+b=1 求證 (a+)(b+) 證法一 (分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即證4(ab)233(ab)+80，即證ab或ab8 a0，b0，a+b=1，ab8不可能成立1=a+b2，ab，從而得證 證法二 (比較法）a+b=1，a0，b0，a+b2，ab證法三 (綜合法)a+b=1， a0，b0，a+b2，ab 【例4】已知求證：證明： 【例5】若，求證：，不能同時大于1。證明：由題意知假設有那么同理，得矛盾，假設不成立。故，不能同時大于1。【例6】設函數f(x)xa(x1)ln(x1)(x1，a0).(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)求證：當mn0時，(1m)n(1n)m.【解析】(1)f(x)1aln(x1)a，a0時，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增函數；當a0時，f(x)在(1，1上單調遞增，在1，