江蘇省南通海門(mén)中學(xué)屆高三4月檢測(cè)數(shù)學(xué)試題Word版含答案

1、江蘇省南通海門(mén)中學(xué)2022屆4月檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷2022.4.10填空題：本大題共 14小題，每題5分，共70分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.1.設(shè)全集U R，集合A x|x 2，B1,0,1,2,3 ，貝U euA I B2.復(fù)數(shù)z滿足1 i z i，那么Z的模為3.1log2 a1log3a2，那么a4.右面莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中的成績(jī)，其中甲甲9 88乙3 3 72 1 09? 9第4題圖一個(gè)數(shù)字被污損，那么乙的平均成績(jī)超過(guò)甲的概率為(第7題圖)正整數(shù)m的最大值為.a 2b =.a,b時(shí)的值域?yàn)閗a,kb (k 0)，那么稱25. 假設(shè)雙曲線X 211.半橢圓與x2a b

2、乞1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為 2 2，那么實(shí)數(shù)k的值是.k6. 如下圖的 雙塔形立體建筑， P ABD和Q CBD是兩個(gè)高相等的正三棱錐，四 點(diǎn)A,B,C,D在同一平面內(nèi).要使塔尖P,Q之間的距離為50 m，那么底邊AB的長(zhǎng)為:IJ 2:SJ 0:While I v m:SJ S+l I J|+3:End While:Print S:End第6題圖7. 下面求2 5 8 11 L2022的值的偽代碼中8. 向量 a (cos10°,sin 10o), b (cos70°,sin 70o)，9 .對(duì)于函數(shù)y f (x)，假設(shè)存在區(qū)間a,b，當(dāng)：y f (x)為k倍值函數(shù).假設(shè)f

3、(x) ln x x是k倍值函數(shù)，那么實(shí)數(shù) k的取值范圍是 10.函數(shù)y 14si"x(x R)的最大值與最小值之和為 x x 121 y 0,a b 0和半圓xy2 b2 y 0組成的曲線C如圖所示.曲線C交x軸于點(diǎn)A,B，交y軸于點(diǎn)G,H，點(diǎn)M是半圓上異于 A, B的任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)CDE的外接圓的半徑的最小值是2x13.實(shí)數(shù)X、y滿足x050，假設(shè)不等式a(x202 2y ) (x y)恒成立，那么實(shí)數(shù) a的最小值是(1)求cos的值;(2)證明：sin_51314.設(shè)等比數(shù)列 an滿足公比N*, anN*，且an中的任意兩項(xiàng)之積也是該數(shù)列中的一81項(xiàng)，假設(shè)a12 ,那么q的所有

4、可能取值的集合為 二解答題：本大題共 6小題，共90分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15. (此題總分值14分)0,且 sin(16. (此題總分值14分)(第16題圖)如圖，正方形 ABCD所在的平面與三角形 且AB 2AE.(1) 求證：AB/平面CDE ;(2) 求證：平面 ABCD 平面ADE ;17. (本小題總分值14分)某企業(yè)投入81萬(wàn)元經(jīng)銷(xiāo)某產(chǎn)品，經(jīng)銷(xiāo)時(shí)間共60個(gè)月，市場(chǎng)調(diào)研說(shuō)明，該企業(yè)在經(jīng)銷(xiāo)這個(gè)產(chǎn)1,1 x 20 x N* ,品期間第x個(gè)月的利潤(rùn)函數(shù)f x 1(單位：萬(wàn)元).為了獲得更多x,21 x 60 x N*10的利潤(rùn)，企業(yè)將每月獲得的利潤(rùn)再投入到次月的經(jīng)營(yíng)

5、中.記第x個(gè)月的利潤(rùn)率為第x個(gè)月的利潤(rùn)，例如g3丄一第x個(gè)月的資金總和81 f 1 f 2(1 )求 g 10 ;(2) 求第x個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率；(3) 求該企業(yè)經(jīng)銷(xiāo)此產(chǎn)品期間，哪一個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率最大，并求出該月的當(dāng)月利潤(rùn)率.18. (本小題總分值16分)2 2F1, F2，且圓 C:x y橢圓 F 1(a b 0)的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為a bx2 y2、3x 3y 60過(guò)代 F2兩點(diǎn).(1) 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)的方程;(2) 設(shè)直線PF2的傾斜角為 a直線PF1的傾斜角為3當(dāng)3- a= 2n時(shí), 證明：點(diǎn)P在一定圓上；(3) 設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為 Q,在滿足條件(2)的情形下證明：PQ PF1

6、+ PF2 .19. (本小題總分值16分)數(shù)列an的前n項(xiàng)和0滿足：Sn t S. an 1 ( t為常數(shù)，且t 0,t 1 ).(1 )求an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)bn a2 Sn an，假設(shè)數(shù)列bn為等比數(shù)列，求t的值；(3) 在滿足條件(2)的情形下，設(shè)Cn 4an 1，數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，假設(shè)不等式 辿 2n 7對(duì)任意的n N*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.4 n人20. (本小題總分值16分)己知函數(shù)f(x) (mx n)e x ( m, n R , e是自然對(duì)數(shù)的底).(1) 假設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f (1)處的切線方程為x ey 3 0 ,試確定函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間；1

7、(2) 當(dāng)n 1 , m R時(shí)，假設(shè)對(duì)于任意x 一,2，都有f (x)>x恒成立，求實(shí)數(shù) m的最2小值；x當(dāng)m n 1時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x) xf (x) tf (x) e (t R),是否存在實(shí)數(shù)a,b,c 0,1, 使得g(a) g(b) g(c)?假設(shè)存在，求出t的取值范圍；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.數(shù)學(xué)試卷附加題21. 【選做題】在 A , B, C, D四小題中只能選做 2題，每題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤} 卡指定區(qū)域內(nèi)做答，解答時(shí)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟B (選修4 2:矩陣與變換)設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到2倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到 3倍的伸壓變換.1)求矩陣M的特征值及

8、相應(yīng)的特征向量；2(2)求逆矩陣M 計(jì)算 f(1), f(2), f(3)的值； 比擬f(n)與1的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論以及橢圓41在M 1的作用下的新曲線的方程.C.(選修4 4:參數(shù)方程)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) 0為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸.點(diǎn) P的直角坐標(biāo)為(1 , 5)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4,)，假設(shè)直線I過(guò)點(diǎn)P,且傾斜角為一，圓C以3M為圓心、4為半徑.(1) 求直線I關(guān)于t的參數(shù)方程和圓 C的極坐標(biāo)方程；(2) 試判定直線I和圓C的位置關(guān)系.22.數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an 1 , f(n)nS2n，n 1S2nSn 123.如下圖，某城市有南北街道和東西街道

9、各n 1條，一郵遞員從該城市西北角的郵局A出發(fā)，送信到東南角 B地，要求所走路程最短1 求該郵遞員途徑 C地的概率fn；2n 1*(2)求證：22f(n) 3，( n N )數(shù)學(xué)參考答案1.1,0,1【解析】由euAx|x 2，得euA I B1,0,1 .2 °2，知a26，因?yàn)閍 0 ,所以log2 a log 3 aa . 6 .4. 丄【解析】由圖示可知，甲的平均成績(jī)?yōu)?0 ,假設(shè)要符合題意，被污損的數(shù)字只能是9,10故所求概率為丄.105. 8【解析】顯然，k 0,雙曲線的漸近線方程為 y kx，焦點(diǎn)坐標(biāo)是.廠,0 ,由距離公式，得k 8 .6. 50 .3【解析】由正三棱

10、錐的概念知，頂點(diǎn)P,Q在底面的射影分別是正三角形ABD和正三角形BCD的中心，因?yàn)楦呦嗟龋运釶,Q之間的距離即為兩個(gè)正三角形中心間的距2.-2【解析】因?yàn)閦 |Z，所以兩邊同時(shí)取模可得1【解析】由1log a 2 loga3loga6離，由平面幾何易知，底邊AB的長(zhǎng)為50.3 .7. 2022【解析】由偽代碼知，這是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的算法，由于m是正整數(shù)，所以最大值為 2022.&、31 In a a ka,9 . I f(x) 1 0,. f(x)在(0,)上是增函數(shù)，xln b b kb,即a,b是方程ln x x kx的兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，問(wèn)題等價(jià)于方程k 1 有兩個(gè)x 不等的

11、正根.ln x11設(shè) g(x) ，易得 0 k 1- , (1,1 -).xee10 . 2【解析】g(x) 4引擰 是奇函數(shù)，奇函數(shù)的最大值與最小值之和為0,x x 111.亍 x 1 y 0【解析】由點(diǎn)(-扌，)在半圓上，所以 b 1，而當(dāng)點(diǎn) M位于點(diǎn) (6.3、(, )33時(shí)， AGM的面積最大可知，OM AG，即koM kAG1 , a 2，所以半橢圓的方程為2-x2 1 y 0 .212.設(shè)AC m,CB n,那么m n 3，在 CDE中，由余弦定理,知DE22 2CD CE 2CDCE cos DCE又mnm2 n2 mn (m2n) 3mn 93mn,m n、29 “，3 ,亍當(dāng)

12、且僅當(dāng)m n 2時(shí),取“=,'所以DE又CDE的外接圓的半徑DER 2sin DCEDE 3313.281,227,29,23,2 【解析】由題意，an 281qn1，設(shè)該數(shù)列中的任意兩項(xiàng)為am,al ,它們的積為ap ,那么 am al81 m 1ap，即 2 q281l 181 p 1q 2 q , Qq,m,l,p N* ,81q 2百"，故p m l 1必是81的正約數(shù)，即pm1的可能取值為1,3,9,27,81，即81 .的可能取值為1,3,9,27,81 ,所以q的所有可能取值的集合為281,227,29,23,2914.-5【解析】那么2 2x y 2xy2y表

13、斜率aminmax15.解:解:(1)將tani代入tan2ta nJ 得 tan1 tan2 三所以sin cos.2 sin43，2 cos又0, n解得cos(6分)2易得號(hào)，又sin_513,所以cos由1可得sin所以sin sin1213，45，8 分10 分5 313 5K 1 63 15 14 分16. 證明：1正方形 ABCD 中，AB/CD ,又AB 平面CDE, CD 平面CDE, 所以AB/平面CDE . 6分2因?yàn)锳E 平面CDE ,且CD 平面CDE，所以AE CD， 8分又 正方形ABCD中，CD AD， 且 AEI AD A，AE、AD 平面 ADE， 所以CD

14、 平面ADE， 12分 又CD 平面ABCD，所以平面ABCD 平面ADE . 14分17.解:1依題意得f 1f 2 f 3 L f 91 ,f101八g10.4 分81 f 1 f2 Lf 9902當(dāng)x 1 時(shí)，g 1181當(dāng)1x20 時(shí)，f 1f 2Lf x 1 f x 1，貝Uf x1g x 81 f 1 f 2 L f x 180 x而x 1也符合上式，故當(dāng)1 x 20 時(shí)，g x180 x當(dāng) 21 x 60 時(shí)，g xf x81 f 1 f 2 L f 20 f 21 L f x 11x10 2x1x 10 81 20 f 21 L f x 1x 21 x 20x2 x 16001

15、01 所以,x個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率為g x1,1 x 2080 x2xr,21 x 60x x 160010(3)x 20 時(shí)，g是減函數(shù)，此時(shí)g x的最大值為80 x1181當(dāng)2160 時(shí)，g2x2x x 16002 21600x 179，x當(dāng)且僅當(dāng)1600x 40N*時(shí),x有最大值為279Q-,798140 時(shí)，g2x有最大值為,7913 分即該企業(yè)經(jīng)銷(xiāo)此產(chǎn)品期間，第40個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率最大，其當(dāng)月利潤(rùn)率為- 14分7918解：1圓 x2 y2-、3x 3y 60與 x 軸交點(diǎn)坐標(biāo)為 A 2 3,0 , F2C,3,0,2 2故a 2.、3,c . 3 ,所以b 3 ,橢圓方程是：'工

16、1.129(2)設(shè)點(diǎn) P (x, y),因?yàn)?F1 (血，0) , F2 (3, 0),設(shè)點(diǎn) P (x, y),那么 kpF1 = tan= j百,kpF2 = tana=牛,因?yàn)?_ a=亍，所以tan= 咕3.3tan B tan a因?yàn)閠an(Ba=17士硏=所以2.3yx2 + y2 3=一:3.化簡(jiǎn)得2、. 3yx2+ y2 3，x2 + y2 2y= 3.所以點(diǎn)P在定圓x2+ y2-2y= 3 上.(3) / PQ2= x2+ (y 3)2= x2+ y2 6y+ 9,因?yàn)?x2+ y2= 3+ 2y,所以 PQ2= 12 4y. 又 PF12= (x+ 3)2+ y2= 2y+

17、6+ 2 3x, PF?2= (x.、3)2+ y2= 2y + 6 2 _ 3x, 2P F1XP F2= 2 ；4(y+ 3)2 12x2= 4 . (y + 3)2 3x2, 因?yàn)?3x2= 9 3y2 + 6y,所以 2 P F1XP F2= 4石,2 n 2 n,/ B=穴才才，又點(diǎn)P在定圓x2 + y2 2y= 3上， yv 0 ,3 3所以 2 P F1XP F2 = 8y,從而(P F什P F2)2 = PF12+ 2 P F1XP F2 + PF22= 4y+ 12 8y= 12 4y= PQ2. 所以 PQ = PF1+ PF2.19.解：(1 )當(dāng) n 1 時(shí)，S1 t

18、S a11，得印 1 .1分當(dāng)n 2時(shí)，由得，1 t Sn 1，得1anS tSnan 1tan 1 t ，t antan tan是等比數(shù)列，且公比是2 由1知，bn tt Sntan即antananan 1antn tntn,即bnt2n2t2n 1t假設(shè)數(shù)列d為等比數(shù)列，那么有b2故t3再將t由bn(3)Tnbib3,2t2bt3 2t 1 b t4 2t222422t 1 2t t 2t t1代入bn，得bnCT ,212，知bn為等比數(shù)列,，解得10知an1 n(A，1 n4(2)1班1廠2由不等式12k4 n £2n7恒成立,得3k2n2n7恒成立，12設(shè)dn而d42n 7

19、，由2ndn 1dn2n 52n72n"2n 9124時(shí),dn 1dn，4時(shí),dn 1dn14332d4ds，16分3k ,32k丄32X /x xme (mx n)e f (x)x L(e ) f(x)在點(diǎn)(1,f (1)處的切線方程為.一2 一20. (1)由題意2 1- f(1) -, f (1) 一，即 e- f(x)當(dāng) x 0, fex 1,f (x) e(x) 0 , x(2)由n對(duì)于任意記(x)設(shè) h(x)mx (m n)x,e3 0,1解得m 1, n 1 .ex eym nexx ,e0, f (x)0 , f (x)在(0,mx 1x 11,m R , >

20、x，即 m?eex)上單調(diào)遞減，在,0)單調(diào)遞增.,都有f (x)> x恒成立，等價(jià)于1,2丄x-h (x)xm> ex 1對(duì)于任意x12,2恒成立.(x)ex丄 ,xx 2 1 x e 30 對(duì) x ,2恒成立，-h( x) e22在-,2單x調(diào)遞增.而 h(2)21 x (,X0),(x) 0 , x2上單調(diào)遞增，4 0,h(2)e210，(xo,2)，.m>1(),Bnm> e2,2即-1 m> em>(2),m> e2,假設(shè)存在a、b、c0,1,使2(g(X)min(g(x)mnax .21 (x)的最大值是 (-)和(2)中的較大的一個(gè),21

21、 m2Qg(x)-X (1 t)xxe1-, g'(x)(x)(x) 0得 g(a)ex A在-,2上有唯一零點(diǎn)x 21(x)在(,X°)單調(diào)遞減,22的最小值為eg(b) g(c)，(x t)(x 1)xe 當(dāng)t> 1時(shí)，g (x) < 0 , g(x)在0,1上單調(diào)遞減,3 te- 2g(1) g(0)，即 2 1,得 t 3 - 1.e2 當(dāng)t< 0時(shí)，g (x) > 0 , g(x)在0,1上單調(diào)遞增,xo，在(xo,2)等價(jià)于3 t 2g(0)g(1),即 2 以，得 t 3 2e 0 .e當(dāng)0 t 1時(shí)，在x 0,t)上,g '(x

22、)0, g(x)在0, t)上單調(diào)遞減，在x (t,1上,g'(x)0 , g(x)在(t,1上單調(diào)遞增， 2g(t)maxg(0), g(1),即c t 1- 3 t、2 廠 max 1, . (*)eet 1t 143 t 3由(1知f (t) t在t 0,1上單調(diào)遞減，故2?，而，不等式ee e e e(*)無(wú)解.)，使得命題成立.綜上所述，存在t (,3 2e)U(3 -,22 0B. (1)由條件得矩陣M,03它的特征值為2和3，對(duì)應(yīng)的特征向量為x2橢圓一421在M 1的作用下的新曲線的方程為9xC解：(1)直線I的參數(shù)方程為11-t2圓C的極坐標(biāo)方程為8sinn(2)因?yàn)镸(4, 2 )對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為( 直線l的普通方程為.、3x0, 4),圓心到直線I的距離dy 530 ,|0 4 5. 3|32