量子力學(xué)第五章習(xí)題

1、第五章微擾理論5.1如果類氫原子的核不是點(diǎn)電荷 ，而是半徑為r°,電荷均勻分布的小球，計(jì)算這種效應(yīng)對(duì)類氫 原子基態(tài)能量的一級(jí)修正。解：這種分布只對(duì)rcr。的區(qū)域有影響，對(duì)r Hr。的區(qū)域無(wú)影響.根據(jù)題意知R 二U r -Uo r,即其中Uo r是不考慮這種效應(yīng)的勢(shì)能分布2 zeUo二 4“rU r為考慮這種效應(yīng)后的勢(shì)能分布,在r_r°的區(qū)域?yàn)閡=涇4二；°r1在r : ro的區(qū)域,U r可由下式qQU r - -e Edr其中電場(chǎng)為#4 二；or2 4：3 ToZe 43r3 3Ze4 二;oo3'#r r。Ze4 二;or2則有:#U r = -e r

2、Edr4 二;or行_ Ze22285o3 ro "ror rdr-e ,EdrZe2二 12 dr4二;o 'ro r2)-ze 一4 二；。心-r2 r"因此有微擾哈密頓量為r 2 J 1Zes 3ro?I- 3HT=U (r )Uo(r )=« ro i 2Ze2rr r0其中 es =e .4二;o類氫原子基態(tài)的一級(jí)波函數(shù)為1寸4兀ao j 按定態(tài)微擾論公式，基態(tài)的一級(jí)能量修正值為E1（1）=H1；=fOR%odl1oo = R-1oYo = Z ao 2 2exp - Zr ao 4鳥3Z氓Zran2e o0JIZe2勺丄丄ro2 ro2 丿12

3、Zre ao r2dr#完成上面的積分r02Zr0rdr-4ZeSz、3,需要作作三個(gè)形如b 2Zr0r2drr0_2Zrr4dr03 r0蘭3a° 2喬 e r dr2r*0 0 byme*dy的積分，用分部積分法，得02Zr°a02Z嚴(yán)2Z2Zb3 0)3就八一穿 e02Z2 2Zre好a0Z2ZH-廠2Z2ZI05 %2Z Jra0aa2Zz -aQ2 -e +24電4=_込八2i2z電 r04 -2Z 0 Z我們可以計(jì)算E；,jZ”32。丿 j2r。'2?（2Z 丿（F a0E； ZeS便1lla0 丿 2竺32Z2Zr°2Zr°、ao+

4、24任卜+12（計(jì)"佳卜+盧+24閣2a° 3 3a° 2 3a)3a°-J 0 尹0京2Zr0JL a00z r0a0Z°2 、+ 30 |2Z2丿2Zr°e 噸丿西r。4 絕廻02Z Z3a°2Z4丿a0 32Ze % +24丿西 r0 -3002 zao2Zf 3 +3a0 + 3a000 Zr°2Z r° 丿2Z2Zro3o2 '3a2 Z er 2 3 2Z r°a° 丿但是既然是近似計(jì)算，我們?cè)龠m當(dāng)?shù)刈饕淮谓茪湓拥陌霃郊s為r 10 43 cm ,2r10310*

5、iEir° 2r 務(wù) ea a 0ro-5：103 _ 2 ro 丿a08而 a 10 cm Z2re蔦所以有'2324 h Zes 30 丄 Zes 1 5 丄 _ 2 12.一十-_r0 十 Zes_r0r0 2 32r0 522 22 ZesD5 a323這就是基態(tài)能量的一級(jí)修正.而準(zhǔn)確到一級(jí)近似的能量為Ze：丄 2Ze：r02Ze? f 4T5 = | I _22a i 5 a yEE10 - E1132a 5 a2 2Z es,-7 2 2、4Z°5 ao25D的空間轉(zhuǎn)子處在均勻電場(chǎng) E中，如果電場(chǎng)較小，用微擾法5.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，電偶極矩為 求轉(zhuǎn)子基態(tài)能

6、量的一級(jí)修正。解：自由空間轉(zhuǎn)子的能級(jí)和波函數(shù)為El01.4:我們選外加電場(chǎng)E的方向沿球極坐標(biāo)的極軸方向（即z軸的正向）,則微擾哈密頓算符為H? = -D E = - D E cos -據(jù)此我們求出有用的矩陣元（對(duì)基態(tài)）對(duì)于基態(tài)E： =0'0 二丫002#* * 1cos 如4 二H 'l0 = Ym -D ； COST 丫00曲-DE Ym二吐.；丫心一D； ”m0上面用到"冷 如及球諧函數(shù)的正交性 從上面的計(jì)算式可見(jiàn)，微擾矩陣元只有其余為零故即基態(tài)能級(jí)的一級(jí)修正為零基態(tài)能量的二級(jí)修正為2E0lHl0ll* 2（已0）Eo -El0 _E° -E；5.311

7、1 2 "2I設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)只有兩個(gè)能級(jí)右de2兀為 H11 =H22 =b,H12 =H解：哈密頓矩陣為：:E°1及E°2,現(xiàn)在受到微擾H?的作用，微擾矩陣21二a ； a,b都是實(shí)數(shù).用微擾公式求能量的二級(jí)修正值2#亡01 +ba,010z、+b aI a1E02（a b丿H 二微擾哈密頓矩陣元為：= H22 = b, H12 = H 21 = a代入能量的二級(jí)近似公式巳=Ef）+H；n+2：2#2#a2巳占b已0世0EE20ba2E20 -Ei02#Ei = E0i2 aE2 = E02 _b -2 a2#.設(shè)單色光的電場(chǎng)近似.求這單5.4設(shè)在t =

8、0時(shí)，氫原子處于基態(tài)，以后由于受到單色光的照射而電離地以平面波表示為 E sin；.-：t , E及;均為常量；電離后電子的波函數(shù)近似地以平面波表示 色光的最小頻率和在時(shí)刻 t躍遷電離態(tài)的幾率解：(1)當(dāng)電離后的電子動(dòng)能為零時(shí)，這時(shí)對(duì)應(yīng)的單色光的頻率最小，其值為min = h. min2#2#min仏4 =盯微擾其中(2) t = 0時(shí)，氫原子處于基態(tài)在t時(shí)刻，處于電離態(tài)叫=1 =RoYoo = 寸4兀乜0丿2eH?'（t ）=eE rsineet = ： r（eF二 F? d 七-2i在t時(shí)刻躍遷到電離態(tài)的幾率為mt21 t+ dam0 ）二花Hmkei®k dt"

9、;=尋（加怦坷_e仲刪$，mk 譏 1$ mkPf：t 1 'mkI:'.mk -/ mkt dtF mkT對(duì)于吸收躍遷情況，上式起主要作用的第二項(xiàng)，故不考慮第一項(xiàng)，-Fmke爐切-1am t-"國(guó)mk 一0J片|2（能科-1怡咿詞-1）_ am （t ） -2mk伽科 i 巴切 爐k£） igcmy） e 2-e 2 ee 2 e 227其中i忖守上 mk p：t m：守:左匕p?e- - ee- - e人-'mk 7 '?（|（吟2竊）丄®甸）丫 *麗克_笙竊）:4 Fmk2i2i2 e e| e eFm.2i4 Fmksin2

10、12i2I ' mk 'Yjmk - * t22i1 2"-mkj2iF mk2- 一2卞Pr專/0d.#Fmk J由八E r宀汽p)'rEy題5.4圖11 e2 二 一 2 ,二a0 2i '（pr cos -12 .lk -0 ,；.o"eEr sinsin v cos 丨：E r cos 二 costre a0r 2dr sin vdvd :取電子電離后的動(dòng)量方向?yàn)?Z方向,取E , p所在平面為xoz面，則有E r =E<x E Ezz=E sin 二rsin rcos'：；廠E cos：r cost=E rsin :

11、sin vcos 1 : E r cos: cost11 e丄 pr#2 :oO遼丄巴尹甘_r0 e曠（Ersi nasin Bpfdrs in 日d 日"cos半d®prcosA- - j2 0 0eEr cos： cosh e a0r2drs in rdr 0 d_11_2? T.22ira.W'e過(guò)噲 Er3cos: cos,sinreSrdv11 2二eE cos： : 3一3- r e2i丄丄巴0口oaodr oecosrsinndreE cos £:3or edr 0 e 1 cossin 日d日eE cos 二h 'i2=打 2a3：

12、3一 r e2PreE cos二 16 p 11 +Va2護(hù)16peEcosa（af 斤2 ）2兀強(qiáng)氐斤（afp2 +¥i2二 一.2a3 ' iao3'所以Wk m =4Fmk2 sin21a0 '2 3eE cos二 16pi 2兀馮2a3介 ia o （a； p2 + 斤）卜7216peEcos*a。|"mk 7 t2一,128p2e2a75El.'-'mk '"： I7 5E2cos2： sn二2 afp22 6|"mk；： :t:廠2I ' mk - '"： I5.5基態(tài)

13、氫原子處于平行板電場(chǎng)中,若電場(chǎng)是均勻的且隨時(shí)間按指數(shù)下降，即owhen t _ oE0ewhen t _O| ： 0求經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間后氫原子處在2p態(tài)的幾率.解：設(shè)電場(chǎng)E沿z方向，則微擾哈密頓為H?二eE r 二eEoze二e£r cose上按照微擾論,由狀態(tài)| k）躍遷到狀態(tài)|的幾率決定于an （t ftan （t ）=十Hnke<ktdt"i o 因此,要求得an t ,必須先算出Hnk.現(xiàn)在初態(tài)為氫原子基態(tài)（即1S態(tài)）1oo = RwYoo3 e ":二 a。而終態(tài)是簡(jiǎn)并的，有三個(gè)態(tài)因而有即 21o =1Yo =V3 i2ao1*211 艮1丫11 

14、9; 21 A = R21Y1 1COST3書rao3丄 2 丄 J2；-3 sinr,I ao8兀3r丄e五aov3 2ao ）x3 ,2ao 丿sin ve 丄Z10,100 =胖 21or COS 旳 1oodloO=R21R1°r3dr Mo cos vYood 二，=o1旳3 RRor3dr3 oV3 k_2ao 丿 ao> =3：a14（23o 片 72?32 上2 e 2a r4dr<ao丿28aoz J11100及（Z 2100均為零，這是因?yàn)閷?duì)申的積分為零.由此可見(jiàn)，這樣的電場(chǎng)作用下，躍遷只發(fā)生在從基態(tài)（1S）到'-210態(tài)n =2,l=1,m=

15、0 ,躍遷幾率2a210而:a210 t =：0號(hào)篤加恤=營(yíng)：。. dt；21 = -21 '=曇罕，仗人=會(huì)異詁dt' = 2育;eSL235 T 0235 i 一 0. 235L i 2 -1 1-)2109#所以，長(zhǎng)時(shí)間后a210#所以a2io15222 J匚2e E0 a0 廠22321#5.6解:計(jì)算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率的每秒自發(fā)躍遷幾率，由公式2 _ 4&"3?n Ek2 2Xnk' ynk' Znk#關(guān)鍵在于求矩陣元 Xnk，ynk，Znk.我們的初態(tài)是第一激發(fā)態(tài)，有一個(gè)單態(tài)勢(shì)2S態(tài)200和三重態(tài)2P1cos&#

16、39;Yr -態(tài)'-；210?；211/-；21A .由選擇定則M 1，知2S > 1S是禁戒的，故只需要計(jì)算2P > 1S的幾率 計(jì)算矩陣元Znk8J（Z ）10,100 = fR21 R10r dr JY10 cos日丫0°d。注:丫0其中113t31¥1 M :J =只21尺0dr =1 I0 21 00丿丿 =J3業(yè)丄色3 2 a4 , 33Je 卸drZ 211,100廠 128*2128/24=3a。- 一24383-J .Y11 cosh丫00d=-丫11丫10乩. =0a。27 2"2 25虧3斫4 33®Z 21 4

17、,100J(Y*Y0d0=0#所以2 1 2 2Z21J32a03計(jì)算矩陣元xnksin 甘Y00 =考慮到 x = rsin 8cos® =丄 sin 0(e+e2Yisin Te® 丫口#Y10 lY1l ' Y1 1 d ' 1和球諧函數(shù)的正交性(xi0,i00=iJ (Yi0Sin0(e叩+ee；Y00dfJ1 *=2 JIYI0 iYii Yi J Y00d二=0J J2(X >ii,i02 J jYi*i sin 日(e申+/9丫紋#Y*1 Y1iYd'?#丫行y m小=.322X2ii,i00+X2i 丄202 i 2J32所以X

18、2i所以所以(3)計(jì)算矩陣元ynk 考慮到y(tǒng)=rsinrsin -込y 2i0,i00y2/J232 2X2ir2,i2iy 211,100e -e 與上面相仿，計(jì)算得2i2 2y2i|計(jì) z2iJi52 .2 2 29 a。39求 An :k = A2 i = Ac p is 將E2 巳及I2,i代入一開(kāi)始寫出的那個(gè)公式_L+be4_L邊 2 2222 2，得8童,其中8 a。,2i5a4es3 2=贏3 仞 2iW2 aoi28恣i 2們0；a0 324esf33帖(8 a°辦丿152 29 ao328xi,i00 = ；J Msin日(e®+e耳丫00dC_1_2#5

19、.7計(jì)算由氫原子處在2p態(tài)躍遷到is態(tài)時(shí)所發(fā)出的光譜線強(qiáng)度 解：從2p躍遷到is時(shí)的發(fā)出的光譜線強(qiáng)度，由公式2p is = N2p A? p is '2i一2N2p是為處于2p態(tài)的氫原子數(shù)由上題知A2 p is28 呃03 es37 2 八 8；?,則有:#128 lie? 22< 亠.3 a°J2p is =N2pA2p is ' '2i =N2p i28c3ies a0 I2i28呃0舟3 e；25止：sss L2p37 6c38 a/2p36 '6c3a02p“二 N2pi28eS必a2(2 平c33'e；“ 25 2e：36 笊c3 搭;UeS135.8求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則解：電偶極矩為D二exex的線性諧振子，在電場(chǎng)E二呂cos .tex作用下，即在微擾勢(shì) R - _D E -