高中數(shù)學(xué) 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性及函數(shù)的圖像

1、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性及函數(shù)的圖像(一)復(fù)習(xí)指導(dǎo)單調(diào)性：設(shè)函數(shù)yf(x)定義域?yàn)锳，區(qū)間MA，任取區(qū)間M中的兩個(gè)值x1，x2，改變量xx2x10，則當(dāng)yf(x2)f(x1)0時(shí)，就稱f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)，當(dāng)y=f(x2)f(x1)0時(shí)，就稱f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)如果yf(x)在某個(gè)區(qū)間M上是增(減)函數(shù)，則說y=f(x)在這一區(qū)間上具有單調(diào)性，這一區(qū)間M叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，在給定區(qū)間上，判斷函數(shù)增減性，最基本的方法就是利用定義：在所給區(qū)間任取x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)判斷相應(yīng)的函數(shù)值f(x1)與f(x2)的大小利用圖象觀察函數(shù)的單調(diào)

2、性也是一種常見的方法，教材中所有基本初等函數(shù)的單調(diào)性都是由圖象觀察得到的對(duì)于y=f(x)型雙重復(fù)合形式的函數(shù)的增減性，可通過換元，令u=(x)，然后分別根據(jù)u=(x)，y=f(u)在相應(yīng)區(qū)間上的增減性進(jìn)行判斷，一般有“同則增，異則減”這一規(guī)律此外，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，更是一種非常重要的方法，這一方法將在后面的復(fù)習(xí)中有專門的討論，這里不再贅述奇偶性：(1)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)任意一個(gè)x，都有xD，且f(x)=f(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù)；設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)任意一個(gè)x，都有xD，且f(x)=f(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù)函數(shù)的奇偶性有如下重要性質(zhì)：f(

3、x)奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(x)為偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱此外，由奇函數(shù)定義可知：若奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，則一定有f(0)=0，此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象一定通過原點(diǎn)周期性：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)成立，則函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期關(guān)于函數(shù)的周期性，下面結(jié)論是成立的(1)若T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則kT也是f(x)的周期(k為非零整數(shù))(2)若T為y=f(x)的最小正周期，則為y=Af(x+)+b的最小正周期，其中0對(duì)稱性：若函數(shù)y=f(x)滿足f(ax)=f(b

4、+x)則y=f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若函數(shù)y=f(x)滿足f(ax)=f(b+x)則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱函數(shù)的圖象：函數(shù)的圖象是函數(shù)的一種重要表現(xiàn)形式，利用函數(shù)的圖象可以幫助我們更好的理解函數(shù)的性質(zhì)，我們首先要熟記一些基本初等函數(shù)的圖象，掌握基本的作圖方法，如描點(diǎn)作圖，三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖法等，掌握通過一些變換作函數(shù)圖象的方法同時(shí)要特別注意體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的靈活應(yīng)用(1)利用平移變換作圖：y=f(x)y=f(xa)y=f(x)y=f(x)b(2)利用和y=f(x)對(duì)稱關(guān)系作圖：y=f(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；y=f(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于x軸

5、對(duì)稱y=f(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；y=f-1(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(3)利用y=f(x)圖象自身的某種對(duì)稱性作圖y=|f(x)|的圖象可通過將y=f(x)的圖象在x軸下方的部分關(guān)于x軸旋轉(zhuǎn)180，其余部分不變的方法作出y=f(|x|)的圖象：可先做出y=f(x)，當(dāng)x0時(shí)的圖象，再利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì)，作出y=f(x)(x0)的圖象此外利用伸縮變換作圖問題，待三角的復(fù)習(xí)中再進(jìn)行研究還要記住一些結(jié)論：若函數(shù)y=f(x)滿足f(ax)=f(b+x)則y=f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若函數(shù)y=f(x)滿足f(ax)=f(b+x)則y=f(x)的圖象關(guān)

6、于點(diǎn)(，0)對(duì)稱(二)解題方法指導(dǎo)例1設(shè)a0，試確定函數(shù)在(1，1)上的單調(diào)性例2討論的增減性例3 f(x)在(，2)上是增函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(4x)=f(x)成立，判斷f(x)在(2，+)上的增減性例4*已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n，都有且當(dāng)時(shí)，f(x)0又()求證()判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并進(jìn)行證明例5在R上求一個(gè)函數(shù)，使其既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)例6判斷下列函數(shù)的奇偶性(2) (其中(x)為奇函數(shù)，a0且a1)例7設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，判斷它的增減性例8設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽且以2為一個(gè)周期的周期函數(shù)，也是偶函數(shù)，已知當(dāng)x2，3時(shí)f(x)=(x1)2+1，求當(dāng)x1，2

7、時(shí)f(x)的解析式例9作出的圖象，并指出函數(shù)的對(duì)稱中心，漸近線，及函數(shù)的單調(diào)性例10作出函數(shù)的圖象(1)(2)y=|lg|x|例11(1)作出方程x+y=1所表示的曲線(2)作出方程x1+y+1=1所表示的曲線例12已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)=x2+2x(1)求函數(shù)g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)f(x)x1例 題 解 析例1解：任取x1，x2(1，1)，且x=x2x10，則由于1x1x21，所以x=x2x10，1x1x20，10，10因此當(dāng)a0時(shí)，y=f(x2)f(x1)0，當(dāng)a0時(shí)，y=f(x2)f(x1)0所以當(dāng)a0時(shí)f(x)在(1，1)上是增函數(shù)，

8、當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(1，1)上是減函數(shù)例2分析：可先在(0，)上研究f(x)的增減性，然后根據(jù)f(x)的奇偶性判斷其在(，0)上的增減性，而當(dāng)x0時(shí)，有當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立，即當(dāng)時(shí)，f(x)取得最小值由此可知x=是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一個(gè)分界點(diǎn)解：任取x1，x2(0，且x=x2x10則因?yàn)閤=x2x10，且，因此y=f(x2)f(x1)0，故f(x)在上是減函數(shù)同理可證f(x)在是增函數(shù)又由可知f(x)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以可知f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)綜上所述，在和上是增函數(shù)，在，上是減函數(shù)例3解：任取x1，x2(2，)，且x1x2，則由2x1x2得24x14x2因?yàn)閒(x

9、)在(，2)上是增函數(shù)，所以有f(4x1)f(4x2)而由已知又有f(4x1)=f(x1)，f(4x2)=f(x2)，所以f(x1)f(x2)，故f(x)在(2，)上是減函數(shù)小結(jié)：注意體會(huì)解題中的劃歸思想此題若是一個(gè)小題，由f(4x)=f(x)可知f(x)的圖像關(guān)于x=2對(duì)稱，立即就可以判斷出f(x)在(2，)上是減函數(shù)例4分析：判斷這類抽象函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是根據(jù)已知去創(chuàng)造條件，利用單調(diào)性的定義進(jìn)行和判斷，可以采用分析法尋求解題思路解：()由f(mn)=f(m)f(n)得f(0)=f(00)=2f(0)有f(0)=又由及得()任取x1，x2R且xx2x10則根據(jù)已知可得則有 函數(shù)f(x)在R

10、上為增函數(shù)例5解：設(shè)所求的R上的函數(shù)為f(x)，則由函數(shù)奇偶性定義得f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，聯(lián)立，消去f(x)，得f(x)=0顯然函數(shù)f(x)=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，所以f(x)=0就是所求的函數(shù)例6解：(1)因?yàn)閷?duì)任意xR，都有，所以函數(shù)定義域?yàn)镽任取xR，則xR且有所以是奇函數(shù)(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽任取xR，則xR，且有所以是偶函數(shù)例7解：顯然x1，1，x1，1，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以對(duì)區(qū)間1，1內(nèi)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)=f(x)成立，即，也就是這是關(guān)于x的恒等式，比較兩端分子分母對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，可得a=b=0所以任取x1，x21，1，且x=x2x10則因?yàn)?x1x21

11、，所以x=x2x10，1x1x20，因此y=f(x2)f(x1)0，所以當(dāng)x1，1時(shí)為增函數(shù)注：此題也可以通過f(0)=0，f(1)=f(1)求得a=b=0例8分析：此題的解答要抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一個(gè)是f(x)為偶函數(shù)，再一個(gè)是f(x)為周期函數(shù)，通過畫出草圖，就會(huì)發(fā)現(xiàn)可以先求出當(dāng)x3，2時(shí)函數(shù)的解析式，在利用周期性求出當(dāng)x1，2時(shí)f(x)的解析式，要注意體會(huì)劃歸的思想方法解：當(dāng)x3，2時(shí)x2，3所以f(x)=(x1)21=(x1)21，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，因此當(dāng)x3，2時(shí)，f(x)=(x1)21當(dāng)x1，2時(shí)，x43，2，有f(x4)=(x41)21=(x3)21，因?yàn)?為f(x)的周期，可知

12、4也為f(x)一個(gè)周期，有f(x4)=f(x)故x1，2時(shí)f(x)=(x3)21例9解：因?yàn)樗詫⒌膱D象向左平移一個(gè)單位，再向上平移兩個(gè)單位，即可得到的圖象，如圖由圖象可以得到：對(duì)稱中心為(1，2)漸近線分別為x=1，y=2函數(shù)在(，1)和(1，)上都是增函數(shù)例10解：(1)將函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，即可的得到，如圖(2)y=lgx為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)先作出y=lgx的圖象，在根據(jù)奇偶性作出y=lgx的圖象，最后將y=lgx在橫軸下面的圖象關(guān)于x軸旋轉(zhuǎn)180，其余部分不變即可得到y(tǒng)=lgx的圖象，如圖例11分析，曲線xy=1是關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)的對(duì)稱圖形，利用對(duì)稱性可以很快的作出曲線，至于曲線x1y1=1，只需通過將曲線xy1適當(dāng)平移即可得到解：(1)先作出線段xy=1(x1，y1)，再作出該線段分別關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)分別對(duì)稱的線段，就得到方程xy=1所表示的曲線，如圖(2)將(1)中方程xy=1所表示的曲線右移一個(gè)單位，下移一