高中數(shù)學(xué)橢圓雙曲線拋物線考點(diǎn)精講

1、專題 橢圓 雙曲線 拋物線 一、橢圓定義到兩個定點(diǎn)的距離之和等于定值的點(diǎn)的軌跡頂點(diǎn)（±a, 0）, （0, ±b）（0, ±a）, （±b, 0）焦點(diǎn)長軸2a2a短軸2b2b焦距2c 通經(jīng)長離心率e= 0<e<1.且越接近，對應(yīng)橢圓越扁；越接近于0，越接近于圓二、雙曲線 定義到兩個定點(diǎn)距離之差的絕對值等于定值的點(diǎn)的軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)（-a, 0）, （a, 0） （0, -a）, （0, a）焦點(diǎn)F1（-c, 0）, F2（c, 0）,F1（0, -c）, F2（0, c）.焦距2c 離心率e= e>1.對稱性:對稱軸為x=0, y=0;

2、對稱中心為O（0,0） 實(shí)軸長2a虛軸長2b漸近線y=x;y=x1從雙曲線一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于b.2共漸進(jìn)線雙曲線系：與共漸進(jìn)線的雙曲線方程是=（ 0）雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設(shè)為.3雙曲線方程中化1為0，因式分解可得漸進(jìn)線方程4等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，. 5直線與雙曲線僅有一個交點(diǎn)的位置關(guān)系：區(qū)域：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；區(qū)域：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；區(qū)域：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域：即過原點(diǎn)

3、，無切線，無與漸近線平行的直線.小結(jié)：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.三、拋物線定義到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比等于1的點(diǎn)的軌跡方程圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對稱軸軸軸頂點(diǎn) （0，0）離心率通經(jīng)2p焦半徑1拋物線中p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，恒正；焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程與相關(guān)，是一次項(xiàng)的四分之一2注意拋物線焦點(diǎn)弦的特點(diǎn)：如中 例題精講例1若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 例2. 已知圓C的圓心與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線對稱.直線與圓C相交于兩點(diǎn)，且,則圓C的方程為 .例3 . 已知F1、F2為橢圓的兩個焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)。若|F2A|+|F

4、2B|=12，則|AB|= 。例4 （08北京19）已知菱形的頂點(diǎn)在橢圓上，對角線所在直線的斜率為1（）當(dāng)直線過點(diǎn)時，求直線的方程；（）當(dāng)時，求菱形面積的最大值答案解：（）由題意得直線的方程為因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以于是可設(shè)直線的方程為由得因?yàn)樵跈E圓上，所以，解得設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，所以所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為由四邊形為菱形可知，點(diǎn)在直線上， 所以，解得所以直線的方程為，即（）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以所以菱形的面積由（）可得，所以所以當(dāng)時，菱形的面積取得最大值例5 （08全國2 21）設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)（）若，求的值；（）求四邊形面積的

5、最大值答案（）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為，2分如圖，設(shè)，其中，且滿足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化簡得，解得或6分（）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式知，點(diǎn)到的距離分別為，9分又，所以四邊形的面積為，當(dāng)，即當(dāng)時，上式取等號所以的最大值為12分解法二：由題設(shè)，設(shè)，由得，故四邊形的面積為9分，當(dāng)時，上式取等號所以的最大值為12分例 6 （本小題滿分14分） 橢圓：的離心率為，長軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離為 （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為直角三角形，求直線的斜率解：（I）由已知 3分又，解得所以橢圓C的方程為 5分 （II）根據(jù)題意

6、，過點(diǎn)D（0，4）滿足題意的直線斜率存在，設(shè)聯(lián)立，消去y得，6分，令，解得 7分設(shè)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， （i）當(dāng)EOF為直角時，則，8分因?yàn)镋OF為直角，所以，即，9分所以，所以，解得 11分 （ii）當(dāng)OEF或OFE為直角時，不妨設(shè)OEF為直角，此時，所以，即12分又將代入，消去x1得解得或（舍去），13分將代入，得 所以，14分經(jīng)檢驗(yàn)，所求k值均符合題意，綜上，k的值為和例 7 已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切求橢圓的方程；設(shè)，是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，證明直線與軸相交于定點(diǎn)；【解析】 由題意知，所以即又因?yàn)椋?，故橢

7、圓的方程為由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為由得 設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為令，得將，代入整理，得由得，代入整理，得所以直線與軸相交于定點(diǎn)例 8 （12年東城期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為， 點(diǎn)是橢圓的一個頂點(diǎn)，是等腰直角三角形（）求橢圓的方程；（）過點(diǎn)分別作直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，且，證明：直線過定點(diǎn)（）解：（）由已知可得 ，所求橢圓方程為5分（）若直線的斜率存在，設(shè)方程為，依題意設(shè)，由 得 7分則 由已知，所以，即 10分所以，整理得 故直線的方程為，即（）所以直線過定點(diǎn)（）12分若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，設(shè)，由已知，得此時方程為，顯然過點(diǎn)（）綜上，直線過定點(diǎn)（）1

8、3分例9 已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，離心率是，直線橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M，N，以線段為直徑作圓P,圓心為P。（）求橢圓C的方程；（）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標(biāo)；（）設(shè)Q（x，y）是圓P上的動點(diǎn)，當(dāng)變化時，求y的最大值。解：（）因?yàn)椋?，所以所以橢圓C的方程為（）由題意知由 得所以圓P的半徑為 ,解得 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，）（）由（）知，圓P的方程。因?yàn)辄c(diǎn)在圓P上。所以設(shè)，則當(dāng)，即，且，取最大值2.例10.已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切求橢圓的方程；設(shè)，是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，證明直線與軸相交于定點(diǎn)；在的條件下

9、，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍【解析】 由題意知，所以即又因?yàn)?，所以，故橢圓的方程為由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為由得 設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為令，得將，代入整理，得由得，代入整理，得所以直線與軸相交于定點(diǎn)當(dāng)過點(diǎn)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，且，在橢圓上由得易知所以，則因?yàn)?，所以所以?dāng)過點(diǎn)直線的斜率不存在時，其方程為解得，此時所以的取值范圍是例11 已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,離心率是。橢圓C的左，右頂點(diǎn)分別記為A,B。點(diǎn)S是橢圓C上位于軸上方的動點(diǎn)，直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點(diǎn)。（1） 求橢圓C的方程；（2） 求線段MN長度的最小值；（3） 當(dāng)線段MN的長度

10、最小時，在橢圓C上的T滿足：的面積為。試確定點(diǎn)T的個數(shù)。解（1）因?yàn)?，且，所?所以橢圓C的方程為 3分 (2 ) 易知橢圓C的左，右頂點(diǎn)坐標(biāo)為,直線AS的斜率顯然存在，且 故可設(shè)直線AS的方程為，從而 由得 設(shè)，則，得 從而，即 又,故直線BS的方程為 由得，所以，故 又，所以 當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立 所以時，線段MN的長度取最小值 .9分（3）由（2）知，當(dāng)線段MN的長度取最小值時，此時AS的方程為，, 所以,要使的面積為， 只需點(diǎn)T到直線AS的距離等于， 所以點(diǎn)T在平行于AS且與AS距離等于的直線上 設(shè)，則由，解得 當(dāng)時，由得 由于，故直線與橢圓C有兩個不同交點(diǎn) 時，由得由于，故直線與

11、橢圓C沒有交點(diǎn)綜上所求點(diǎn)T的個數(shù)是2. 針對訓(xùn)練1、若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（ ） 或 或2、橢圓的左右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在軸上，那么是的（ ）倍 倍 倍 倍3、橢圓上有一點(diǎn)其兩焦點(diǎn)為若則的面積是（ ） 4、若雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程是則這個雙曲線的方程是（ ） 5、雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長、焦距成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率是（ ） 6、橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） 7、過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線，交雙曲線于兩點(diǎn)，若則這樣的直線存在（ ）條 條 條 條8、焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）或 或或 或9、已知拋物線上一點(diǎn)到

12、準(zhǔn)線的距離為，則到頂點(diǎn)的距離等于（ ） 10、已知拋物線的焦點(diǎn)定點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，則的最小值是（ ） 11、拋物線上一點(diǎn)到直線的距離最短，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） 12、以拋物線的焦半徑為直徑的圓與軸的位置關(guān)系為（ ）A. 相交 B. 相離 C.相切 D.不確定13若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小1，則點(diǎn)的軌跡為（ ） A圓B橢圓C雙曲線D拋物線14、已知點(diǎn)P在拋物線y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）A. （，1） B. （，1）C. （1，2） D. （1，2）15. 設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26.若

13、曲線C2上的點(diǎn), 到橢圓C1的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）（A） (B) (C) (D)16. 設(shè)是橢圓上的點(diǎn)若是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則等于（ ）A4B5C8D10 17. 若雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線y2=2px 的準(zhǔn)線上，則p的值為 ( )(A)2 (B)3(C)4 (D)4 二、填空題。18、橢圓上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，到兩焦點(diǎn)距離分別為6.5和3.5，則 ， 。19、若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。20、分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，是面積為的正三角形，則的值是 。21、與雙曲線有共同的漸近線且過點(diǎn)的雙曲線方程為 。22、雙曲線上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離為6，則

14、這樣的點(diǎn)有 個。23、過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。24、邊長為1的等邊三角形為原點(diǎn)，垂直于軸，則以為頂點(diǎn)且過的拋物線方程是 。25. 已知雙曲線的離心率是。則 26已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為 答案：例題精講: 例1. -1. 例2. 例3. 8 1. D 2. D 3.C 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 9.C 10.C 11.B 12.C 13.D 14.A 15.A 16.D 17. C 18、 ； 19、且 ；20、 ；21、； 22、3； 23、或； 24、； 25. 4 26. 高考鏈接1（10北京文）已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)與

15、橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ；漸近線方程為 。2（05北京文）拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程是 ；焦點(diǎn)坐標(biāo)是 3（07北京文）橢圓的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）4（08北京文）“雙黃線的方程為”是“雙曲線的準(zhǔn)線方程為x=”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）即不充分也不必要條件5（11北京文）已知雙曲線（0）的一條漸近線的方程為，則= .7（11北京文）（本小題共14分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為（,0），斜率為I的直線與橢圓G交與A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3,2）.（I）求橢圓G的方程

16、；（II）求的面積.8（本小題滿分13分）已知橢圓的對稱中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且點(diǎn)0在該橢圓上（I）求橢圓的方程；（II）過橢圓的左焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若的面積為，求圓心在原點(diǎn)且與直線相切的圓的方程答案 1 () 2 x=1；(1, 0) 3 4 A 5 2 6 解（共14分）解：（）因?yàn)?，且，所以所以橢圓C的方程為（）由題意知由 得所以圓P的半徑為解得 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，）（）由（）知，圓P的方程。因?yàn)辄c(diǎn)在圓P上。所以設(shè)，則當(dāng)，即，且，取最大值2.7 解：（）由已知得解得又所以橢圓G的方程為（）設(shè)直線l的方程為由得設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為AB中點(diǎn)為E，則 因?yàn)锳B是等腰PAB的底邊，所以PEAB.所以PE的斜率解得m=2。