數(shù)列08奧賽培訓(xùn)

1、數(shù)列南菁高級中學(xué)夏建新一、等差等比數(shù)列問題： 1、數(shù)列的概念：定義 通項(xiàng)公式 遞推公式 任何數(shù)列中an用Sn表示：an =2、等差數(shù)列與等比數(shù)列 等 差 數(shù) 列（A.P.） 等 比 數(shù) 列 (G.P.) 定 義anan1=dq (q0) 遞 推 公 式an=an1+d an+1=2 anan1an=an1×qan+1= 通 項(xiàng) 公 式an=a1+(n1)d an=an1×qn1 中 項(xiàng)A=(a+b)G=± 前 n 項(xiàng) 和 SnSn=n(a1+ an) = na1+n(n1)dSn= (q1)Sn=na1 (q=1) am與an的關(guān)系 am = an +(mn)d

2、am = an×qmn 若m+n=p+q (m，n，p，qN*) am + an = ap =+aq am × an = ap × aq1、（07年全國競賽）已知等差數(shù)列an的公差d不為0，等比數(shù)列bn的公比q是小于1的正有理數(shù)。若a1d，b1d2，且是正整數(shù)，求q的值。解：因?yàn)?，故由已知條件知道：1qq2為，其中m為正整數(shù)。令1qq2，則q。由于q是小于1的正有理數(shù)，所以13，即5m13且是某個(gè)有理數(shù)的平方，由此可知q。3、（06年湖南競賽）設(shè)an是正數(shù)數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn(an1)(an3)（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）令bn，試求bn的前n項(xiàng)和T

3、n解（1）由a1S1(a11)(a13)及an0得，a13由Sn(an1)(an3)得Sn1(an11)(an13)故an(an2an12)2(anan1)即2(anan1)(anan1)(anan1)anan10anan12an是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故an2n1（2）an2n1Snn(n2) bn()Tnb1b2bn(1)()()(1)4、（08年四川高考）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知ban2n(b1)Sn（）證明：當(dāng)b2時(shí)，ann·2n1 是等比數(shù)列； （）求an的通項(xiàng)公式【解】：由題意知a12，且ban2n(b1)Sn，ban12n1(b1)Sn1兩式相減得b

4、(an1an)2n(b1)an1即an1ban2n （）當(dāng)b2時(shí)，由知an12an2n于是an1(n1)·2n2an2 n(n1)·2n2(ann·2n1)又a11·2n110，所以ann·2n1 是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。（）當(dāng)b2時(shí)，由（）知ann·2n12n1，即an(n1)·2 n1 當(dāng)b2時(shí)，由得an1·2n1ban2n·2n1ban·2nb(an·2n)。因此an1·2n1bn(a1·2)bn得an2n(22b)bn15、（07年湖北預(yù)賽）若數(shù)列a

5、n滿足：a1，an1an，求a2007.解 由an1an兩邊平方得3(an1an)22(an1an)，又3(anan1)22(anan1)，兩式相減，得3(an1an1) (an12anan1)2(an1an1)由a1，求得a22，又由遞推關(guān)系式易知數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an1an10，故3(an12anan1)2，即(an1an)(anan1)，所以數(shù)列an1an是以a2a1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以an1an(n1)，于是ana1(23n)n(n1)，所以a20071343352.6、（07年第二屆南方杯）已知數(shù)列an中，a12，前n項(xiàng)之和為Sn。若(n21)an1(2n1)Sn

6、n42n33n22n2，試求Sn及an的表達(dá)式。解：因?yàn)閍n1Sn1Sn，所以有(n21)(Sn1Sn)(2n1)Snn42n33n22n2，即(n21)Sn1(n22n2)Snn42n33n22n2，(n21)Sn1(n1)21Sn(n21)(n1)21，所以1，即是一個(gè)公差為1的等差數(shù)列。由S1a12及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得：(n1)n，所以Snn (n21) (n1,2,3,) 當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n (n21)(n1)(n1)213n23n2當(dāng)n1時(shí)，a123×123×12?？傊?，所求的an3n23n2(n1,2,3,)。7、（08湖南高考）數(shù)列an滿足a11，a

7、22，an2(1cos2) ansin2，n1，2，3， ()求a3，a4，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； ()設(shè)bn，Snb1b2bn，證明：當(dāng)n6時(shí)，| Sn2| 解: ()因?yàn)閍11，a22所以a32，a44一般地，當(dāng)n2k1(kN*)時(shí)，a2k1(1cos2) a2k1sin2a2k11，即a2k1a2k11所以數(shù)列a2k1是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此a2k1k 當(dāng)n2k(kN*)時(shí)，a2k2(1cos2) a2ksin22a2k 所以數(shù)列a2k是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a2k2k 故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an()由()知，bn，Sn Sn -得，Sn1 所以Sn2 要證明當(dāng)

8、n6時(shí)，| Sn2|成立，只需證明當(dāng)n6時(shí)，1成立. 證法一 (1)當(dāng)n6時(shí)，1成立. (2)假設(shè)當(dāng)nk(k6)時(shí)不等式成立，即1 則當(dāng)nk1時(shí)，×1 由(1)、(2)所述，當(dāng)n6時(shí)，1。即當(dāng)n6時(shí)，| Sn2| 證法二 令cn (n6)，則cn1cn0 所以當(dāng)n6時(shí)，cn1cn。因此當(dāng)n6時(shí)，cnc61 于是當(dāng)n6時(shí)，1綜上所述，當(dāng)n6時(shí)，| Sn2|8、（08年湖北高考）已知數(shù)列an和bn滿足：a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).（）對任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列an不是等比數(shù)列；（）試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（）設(shè)0ab，Sn為

9、數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)，使得對任意正整數(shù)n，都有aSnb?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.（湖北卷21）本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理認(rèn)證能力，（滿分14分）（）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有a22a1a3,即（3）2（4）得90，矛盾.所以an不是等比數(shù)列.()解：因?yàn)閎n1(1)n1an13(n1)21(1)n1(an2n14)(1)n·（an3n21）bn又b1(18),所以當(dāng)18，bn0(nN),此時(shí)bn不是等比數(shù)列：當(dāng)18時(shí)，b1(18) 0,由上可知bn0，(nN)

10、.故當(dāng)18時(shí)，數(shù)列bn是以(18)為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.()由（）知，當(dāng)18,bn0,Sn0,不滿足題目要求.18，故知bn (18)·()n1，于是可得Sn（18）1()n要使aSnb對任意正整數(shù)n成立，即a(18)·1()nb(nN) 得(18)。令f (n)1()n，則當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1f(n)，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，f(n)1f(n)的最大值為f(1)，f(n)的最小值為f(2) ,于是，得a(18)bÛb183a18當(dāng)ab3a時(shí)，由b183a18，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；當(dāng)b3a時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得對任意正整數(shù)n,都有aSnb,且的取值范圍是（b18,3a1

11、8）.二、遞推數(shù)列（一）遞推數(shù)列的通項(xiàng)求法 數(shù)列a n中，若項(xiàng)a nk與項(xiàng)a n，a n1，a nk1之間滿足函數(shù)關(guān)系式F(a nk，a nk1，a n)0或a nkf (a nk1，a nk2，a n)(n1)，則稱此關(guān)系式為k階遞推式(又叫遞歸式)，由此遞推式和初始值a 1，a 2，a k所確定的數(shù)列a n稱為(k階)遞推數(shù)列。 特別地，a nkp1a nk1p2a nk2p ka n(n)或 a np1a n1p2a n2pka nk(nk) (nk，pi為常數(shù)且pk0，為函數(shù)式)。當(dāng)0時(shí)，稱為(k階)齊次常系數(shù)線性遞推式。當(dāng)0時(shí)，稱為(k階)非齊次常系數(shù)線性遞推式。1、迭代法9、求數(shù)列

12、a 11，a n1a n2n的通項(xiàng)公式解：a n a n1 2n1 a n2 2n22n1 a 1 2222n12n1或a n a n1 2n1，a n1 a n2 2n2，a 2 a 1 2相加得10、數(shù)列a n中，a 1 1，且a n12a n3×5n，求a n解：·3，令b n，則b n1b n3法一：由b nb n13，相減得b n1b n(b nb n1)法二：由b n15(b n5)得b n5()n1(b 15) a n5 n2 n1(一般地，a n1 pa nq(n)p1時(shí)易得p1且q(n)常數(shù)時(shí)a n1a np(a na n1)p1且q(n)常數(shù)時(shí)令b n)

13、11、數(shù)列an中，a11，a22，(n3)。求an解：()()2。相乘可得a n212、（05年浙江預(yù)賽）已知數(shù)列xn，滿足(n1)xnxnn, 且x12， 則x2005?！窘狻坑?(n1)xnxnn，推出 xn11。因此有 xn11.即有 xn11。 從而可得 x2005。2、數(shù)學(xué)歸納法13、（06年吉林預(yù)賽）設(shè)an為一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)列，a1t，an+14an(1an)。求有多少個(gè)不同的實(shí)數(shù)t使得a20060。解：當(dāng)t1時(shí)，a20，由數(shù)學(xué)歸納法可知，對任意n2，都有an0，故a20060當(dāng)t0時(shí)，類似地，對任意nN*，都有an0。因此只需考慮0t1的情形。設(shè)tsin2(0)，則a2sin22。用數(shù)

14、學(xué)歸納法得ansin22n1由a20060得sin2220050，（kZ且0k22004），共有220041個(gè)t3、特征根法 設(shè)二階齊次常系數(shù)線性遞推式a n2pa n1qa n(p、q為常數(shù)，q0)，稱x2pxq為其特征方程，根為特征根。定理1：若二階齊次常系數(shù)線性遞推式有兩個(gè)不等的特征根、，則anAnBn(A、B為初始值所確定的常數(shù))證明：p,q, a n2a n1pa n1qa na n1a n1a n(a n1a n) a n1a n為等比數(shù)列，得a n1a n (a 2a 1)n1a na n1(a 2a 1) n2，()n2 (1()n2)a nAnBn (A，B)求裴波那契數(shù)列F

15、n：F1F21，F(xiàn)n2Fn1Fn的通項(xiàng)公式。解：特征方程x2x1，特征根為，F(xiàn)nA()nB()n用n1,2代入解方程得A，B，F(xiàn)n()n()n（08廣東高考21）設(shè)p，q為實(shí)數(shù)，是方程x2pxq0的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列xn滿足x1p，x2p2q，xnpxn1qxn2（n3,4,）（1）證明：p，q；（2）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；（3）若p1，q，求xn的前n項(xiàng)和Sn14、已知數(shù)列an中，a1a21，a32，an1(n3)。求an解：an1an23anan1，anan33an1an2，相減得an1an2anan3anan1an1an2，令bn，則bnb n2。又b1b23， bn3。故an13anan1

16、，特征方程x23x1 an A()nB()n ，解得A，Ba n ()n()n定理2、若齊次常系數(shù)線性遞推數(shù)列ankp1ank1p2ank2pkan的特征方程xkp1xk1p2xk2pk有k個(gè)不同的特征根1、2、k，則a nA11nA22n Akkn (A1、A2、Ak為初始值所確定的常數(shù)) 15、數(shù)列an中，a11，a22，a33，且an36an211an16an，求an解：特征方程x36x211x6，三個(gè)根為1，2，3設(shè)anA1A2·2nA3·3n。列方程得A1，A21，A3a n2n·3n16、數(shù)列a n中，a 1 1，a 2 2，a n25a n16a n

17、2，求a n解：(非齊次)設(shè)a nbnt，則b n25b n16b n2t2，設(shè)2t20得t1a nb n 1，且b n25b n16b n，特征方程x25x60，x1，23，2易得b n3 n12 n1 a n3 n12 n114、不動(dòng)點(diǎn)法 對于線性分式a n1(tr)24s0)，求其通項(xiàng)公式可用不動(dòng)點(diǎn)法。 x(*)得不動(dòng)點(diǎn)x1，2，由x1滿足(*)，a n1x1，同理a n1x2相除得 17、數(shù)列an中，a12，an1，求an解：xx±1 an11，an11 ()n1 a n（二）遞推的應(yīng)用1、證明不等式18、已知數(shù)列an中，a13，a n1（a n1）21，求證：解：a n1（

18、a n1）21，a n11（a n1）2即a n1（a n11）2（a n21）22a n1a 1 a 2a n（21）（221）（1）（21）（21）（221）（1）119、設(shè)a01，an，證明：an證明：(1990年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題)令a0tan，則可得a1tan，a2tan，antan.因 tanx在區(qū)間（0，）上有tanxx成立，則 antan. 2、計(jì)數(shù)問題：21、某學(xué)生準(zhǔn)備用20元錢來支付若干天的早點(diǎn)費(fèi)用，計(jì)劃每天早晨買一份早點(diǎn)，而食堂的早點(diǎn)每天均有A、B、C三種。已知A每份1元，B、C都是每份2元，問學(xué)生花完他的這20元錢可以有多少種可能的方式？解：設(shè)學(xué)生花完n元錢可以有a n種可能的方式，則a11，a23（2元錢可以第一天買一份B第一天買一份C第一天第二天分別買一份A）學(xué)生在第一天買早點(diǎn)時(shí)，可能用掉1元錢或者2元錢。若第一天用掉1元錢（買一份A），則余下的n1元錢可以有an1種方式花完；若第一天用掉2元錢（買一份B或者買一份C），則余下的n2元錢還可有an2種方式花完。anan12an2，即anan12（an1an2）故anan1是等比數(shù)列，a2a14，an1an2n1an（anan1）（an1an2）（an2an3）（1）n2（a2a1）（1）n1a12n2n12n2（1）n222（1）n1（2n1（1）n）從而a 206990513、數(shù)論問題