TM08點的合成運動

1、8.0 本章導(dǎo)讀本章導(dǎo)讀8.1 合成運動的基本概念（合成運動的基本概念（P118）8.2 速度合成速度合成定理（定理（P119）8.3 牽連運動是牽連運動是平動平動時點的時點的加速度合成加速度合成定理定理（P124）8.4 牽連運動是牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動時點的時點的加速度合成加速度合成定理定理（P127） 第第8章章 作業(yè)作業(yè)第第8章章 點的合成運動點的合成運動 點或剛體相對于一個定坐標系的運動，可稱為簡單運動簡單運動。同一物體相對于不同參考系表現(xiàn)不同的運動。研究物體相對于不同參考系的運動，分析物體相對于不同參考系運動之間的關(guān)系，可稱為合成合成運動運動。本章研究某一瞬時點的速度合成定理和

2、加速度合成定理。 重點：重點：點的運動的合成與分解，點的速度合成定理及加速度合成定理及其應(yīng)用。 難點：難點： 牽連速度、牽連加速度及科氏加速度的概念，以及動點、動坐標系的選擇。8.0 本章導(dǎo)讀本章導(dǎo)讀8. .1 合成運動的基本概念合成運動的基本概念 物體的運動是相對的，對于不同的參考系，其運動規(guī)律是不同的，即物體的運動相對于不同的參考系是不同的。 如圖所示沿x軸作純滾動的圓輪。取Oxy、 為參考系（其中C為輪心，C點作直線運動，運動過程中 Ox， Oy。即 相對Oxy 作平動）。對于Oxy 參考系而言，動點M的運動軌跡曲線為旋輪線；對于 參考系而言，動點M的運動軌跡曲線為圓周線。Cx y Cx

3、CyCx y Cx y 如圖所示，直管OA以角速度w 在水平面內(nèi)繞 O 軸轉(zhuǎn)動，管內(nèi)有一小球 M 沿直管向外運動。對于固連于地面的參考系 ，小球 M 作平面曲線運動，對于固連于直管的參考系 ，小球 M作直線運動。 OxyOx y 顯然，在兩種參考系中，動點 M 的速度和加速度也都不同。 圖中M點沿旋輪線運動，但對于 參考系，點 M 作圓周運動， 參考系相對 作平動。點 M 的運動可看成由圓周運動和平動復(fù)合而成。Cx y Cx y Oxy 點 M 的運動可看成由直線運動與定軸轉(zhuǎn)動復(fù)合而成。 這種相對于某一參考系的運動可由相對于其他參考系的幾個運動復(fù)合而成的運動稱為合成運合成運動動。 把固定于其他

4、物體上相對于定系運動的參考系稱為動參考系動參考系（Moving reference system），簡稱動動系系，以 表示。 習(xí)慣上把固定于地球表面的坐標系稱為定參考定參考系系（Fixed reference system），簡稱定系定系，以 表示。OxyzO x y z 兩種坐標系：兩種坐標系： 三種運動：三種運動：絕對運動絕對運動（Absolute motion）：動點相對定系的運動。相對運動相對運動（Relative motion）： 動點相對動系的運動。牽連運動牽連運動（Carrier motion）： 動系相對定系的運動。取小球 M 為動點，取 為定系，取 為動系，點 M（小球）的相

5、對運動是沿直管的直線運動，絕對運動則是曲線運動，而牽連運動則是繞 O軸的轉(zhuǎn)動。 絕對運動和相對運動都是指動點的運動，可能是直線運動或曲線運動。 牽連運動為固連動系的剛體的運動，它可能是平動、定軸轉(zhuǎn)動或其他較復(fù)雜的剛體運動。 OxyOx y 軌跡、速度、加速度：軌跡、速度、加速度： 動點在絕對運動中的軌跡、速度、加速度分別稱為絕對軌跡絕對軌跡、絕對速度絕對速度（Absolute velocity）、絕絕對加速度對加速度（Absolute acceleration）。 avaa絕對速度和絕對加速度分別以 和 表示。 rvra 動點在相對運動中的軌跡、速度、加速度分別稱為相對軌跡相對軌跡、相對速度相

6、對速度（Relative velocity）、相相對加速度對加速度（Relative acceleration）。相對速度和相對加速度分別以 和 表示。ev 某瞬時動系上與動點重合的點稱為牽連點牽連點。 牽連點相對于定系的速度和加速度分別稱為牽連速度牽連速度（Carrier velocity，Transport velocity）和牽連加速度牽連加速度（Carrier acceleration，Transport acceleration）。在不同的瞬時有不同的牽連點。 某些比較復(fù)雜的運動，通過恰當?shù)剡x擇動系，可以看成是比較簡單的牽連運動和相對運動的合成，或者說可以把復(fù)雜的運動分解兩個比較簡單

7、的運動。 ea牽連速度和牽連加速度分別以 和 表示。RETURN 設(shè)動點M在動系 中沿曲線 AB運動（即曲線AB是點 M 的相對軌跡），而動系本身又相對于定系 作某種運動，在瞬時t，動系連同相對軌跡AB在定系中的I位置，動點則在曲線 AB上的 M 點。經(jīng)過時間間隔 ，動系運動到定系中的II位置，動點運動到點 。如果在動系上觀察點M 的運動，則它沿曲線 AB 運動到點 M2。O x y z OxyztM A ve y O x y z B M y z x B A M O O z M1 I II va vr M2 8. .2 速度合成定理速度合成定理MM M M 2MM2MM1M M1M M動點 M

8、 的絕對軌跡為 ，絕對位移為 。動點M 的相對軌跡為 ，相對位移為 。 為牽連點的位移， 為牽連點的軌跡。11MMMMM M11000limlimlimtttMMM MMMttt 是點M在瞬時t的絕對速度，其方向沿 在M點的切線方向。 MM 0limatMMt v A ve y O x y z B M y z x B A M O O z M1 I II va vr M2 1M M10limetM Mt v 是在瞬時t的牽連速度，其方向沿 在M點的切線方向。 是點 M 在瞬時t的相對速度，其方向沿 在M點的切線方向。2MM1200limlimrttM MMMtt vreavvv（8-1） 即動點

9、的絕對速度等于牽連速度與相對速度的矢量和，這就是速度合成定理速度合成定理。若以某瞬時的牽連速度和相對速度的矢量為鄰邊作平行四邊形，則其對角線就是該瞬時的絕對速度矢量。 應(yīng)用式（8-1）求解時，應(yīng)注意三點： 一是一是動點和動系不能選在同一剛體上，否則，動點對動系無相對運動； 二是二是動點對動系的相對運動軌跡要簡單明了，如為直線運動或圓周運動； 三是三是在推導(dǎo)速度合成定理時，并未限制動系作什么樣的運動，因此，該定理適用于牽連運動是任何運動的情況。 步驟： （1）恰當?shù)剡x擇動點和動系，如無特殊說明，定系一般固連于地面上； （2）分析三種運動，進而確定三種速度的大小和方向，哪些是已知的，哪些是未知的；

10、 （3）按速度合成定理作出速度平行四邊形，利用三角關(guān)系或矢量投影定理求解。NEXT例8-1 例例 8-1 汽車以速度 v1 沿直線的道路行駛，雨滴以速度 v2 鉛直下落，試求雨滴相對于汽車的速度。 v1 解： 因為雨滴相對運動的汽車有運動，所以本題為點的合成運動問題，可應(yīng)用點的速度合成定理求解。 （1）動點、動系：雨滴為動點，動系固定在汽車上。 （2）分析三種運動：絕對運動為雨滴的鉛直直線運動，牽連運動為水平直線平動。 M va ve vr v1 （3）分析三種速度：由速度合成定理 reavvvavevrv速 度大 小方 向 作速度平行四邊形，求得相對速度為222221raevvvvv12ta

11、nvvv2鉛直向下v1水平向左?？NEXT例8-2 例例8-2 圖示機構(gòu)中，曲柄OA可繞固定軸O轉(zhuǎn)動，滑塊用銷釘 A與曲柄相連，并可在滑道DE中滑動。曲柄轉(zhuǎn)動時通過滑塊帶動滑道連桿 BCDE 沿導(dǎo)槽運動。已知曲柄長 OA = r，角速度為 w。試求當OA桿與水平線成角 j時BC桿的速度。 解：因為滑塊A沿運動著的滑道 DE 運動，所以本題為點的合成運動問題，可應(yīng)用點的速度合成定理求解。 （1）選擇動點及動系：動點取為滑塊 A，動系固連在滑道連桿BCDE上。 （2）分析三種運動：絕對運動是以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓周運動，相對運動是沿滑道DE的直線運動，牽連運動為水平平動。 （3）分析三種速度

12、：由速度合成定理 reavvvavevrv速 度大 小方 向rw垂直O(jiān)A？水平方向?鉛直方向 O jwy x D B C E A v a v e v r x y O 作速度平行四邊形，求得牽連速度的大小為sinsineavvrjwj 牽連速度就是滑道DE及BC桿的速度， sinBCevvrwjNEXT例8-3 例 8-3 曲柄滑道機構(gòu)，T字形桿BC部分處于水平位置，DE部分處于鉛直位置并放在套筒A中。已知曲柄OA以勻角速度 rad / s繞O軸轉(zhuǎn)動，OA = r = 10 cm，試求當曲柄 OA 與水平線的夾角 、 、 、 時，T形桿的速度。 解：（1）選擇動點及動系：選套筒A為動點，動系固連

13、于T字形桿上。 20 0j306090 （2）分析三種運動：絕對運動為圓周運動，相對運動為沿DE的直線運動，牽連運動為T字形桿的平動。 B C D A O E jva vr ve w （3）分析三種速度：reavvvavevrv速 度大 小方 向rw垂直O(jiān)A？水平方向?鉛直方向 作速度平行四邊形，求得牽連速度的大小為sinsineavvrjwj故T字形桿的速度為Tsinevvrwj0jTsin200 sin00vrwj30jTsin200 sin30100 cm/svrwj60jTsin200 sin60173.2 cm/svrwj90jTsin200 sin90200 cm/svrwjNEX

14、T例8-4 例 8-4 曲柄OA以勻角速度 w繞O軸轉(zhuǎn)動，其上套有小環(huán) M，而小環(huán) M又在固定的大圓環(huán)上運動，大圓環(huán)的半徑為 R。 試求當曲柄與水平線成的角 時，小環(huán) M 的絕對速度和相對曲柄 OA 的相對速度。 tj O M R wjC A 解：（1）選擇動點及動系：小環(huán)M為動點，動系固連在OA上。 （2）分析三種運動：絕對運動為圓周運動，相對運動為沿OA的直線運動，牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動。 O M R wjC A O M R wjjve vr va C A avevrv速 度大 小方 向？垂直CMOMw水平方向?沿OA 作速度平行四邊形，求得絕對速度和相對速度的大小分別為 （3）分析三種速度：

15、由速度合成定理 reavvv2cos2coscoseavRvRwjjjtan2costan2sin2sinrevvRRRtjjjjNEXT例8-5 例例 8-5 半徑為R，偏心距為e的凸輪，以勻角速度w繞O軸轉(zhuǎn)動，并使滑槽內(nèi)的直桿AB上下移動，設(shè)OAB在一條直線上。圖示位置時，輪心C與O 軸在水平位置，試求該瞬時時桿AB的速度。 A C O wB e 解：（1）選擇動點及動系：選桿AB上的A點為動點，動系固連在凸輪上。 （2）分析三種運動：絕對運動為直線運動，相對運動為圓周運動，牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動。 A C O wB e avevrv速 度大 小方 向？鉛垂OAw垂直O(jiān)A?垂直CA 作速度平行

16、四邊形， （3）分析三種速度：由速度合成定理 reavvvcotaeevv OAeOA求得絕對速度的大小為 A C O wB e ve vr va 解：（1）選擇動點及動系：選輪心C為動點，動系固連在桿AB上。 （2）分析三種運動：絕對運動為圓周運動，相對運動為圓周運動，牽連運動為平動。 討論討論：作速度矢量圖，桿AB的速度為eavv OCe wO e C A B ve va vr NEXT例8-6 例例8-6 圖示機構(gòu)中，半徑為r的半圓柱凸輪向左運動，推動桿OA繞 O 軸作定軸轉(zhuǎn)動。在圖示位置時，凸輪的速度為u ， 。試求該瞬時OA桿轉(zhuǎn)動的角速度。 30j 分析：本例中凸輪水平向左平動，通過

17、凸輪與桿在B點的接觸傳遞運動。且接觸點（無論是凸輪上還是桿上）在不同的時刻對應(yīng)著不同的點，即接觸點隨時間而變。不能 B點作為動點，否則相對運動軌跡難以確定。但運動過程中，桿 OA 始終與凸輪相切，輪心C至桿OA的距離始終不變，因此可選點C為動點。 C O u y B r x A jx y 解：（1）選擇動點及動系：選點C為動點，動系固連于桿OA上。 （2）分析三種運動：絕對運動為水平向左的直線運動 ，相對運動為平行于桿OA的直線運動 ，牽連運動為繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動。 （3）分析三種速度：牽連速度為牽連點的速度，而本題中牽連點為動系平面上與C點重合的點，由于動系繞O軸轉(zhuǎn)動，所以牽連速度垂直該點與轉(zhuǎn)

18、軸的連線，即垂直于OC。 avevrv速 度大 小方 向u水平向左 ？垂直O(jiān)C?平行OA作速度平行四邊形，由速度合成定理 reavvv求得牽連速度的大小為 C O u y B r x A jx y va vr ve wOA 3tan303eavvuOA桿轉(zhuǎn)動的角速度為 326eeOAvvuOCrrwRETURN 在圖8-9中，設(shè) 為定系， 為動系且作平動，M為動點。動點M在動系中的坐標為 、 、 ，動系單位矢量為 、 、 。動系平動， 、 、 的方向不變。OxyzO x y z xyz i j k i j k r z y i x j k O M z y x O r Or 8. .3 牽連運動是

19、平動時點的加速度合成定理牽連運動是平動時點的加速度合成定理動點M的相對速度為ddddddddrxyzttttrvijk（8-2） 22222ddddddddddrr222xyztttttvra =ijk動點M的相對加速度為（8-3） 動點M相對于O點的矢徑為()OOxyz rrr = rijk求二階導(dǎo)數(shù)，得 222222ddddddOatttrrra22222dddd()ddddO222xyzttttr=ijk 牽連運動是平動，動系上各點加速度相等，即牽連點的加速度與原點 的加速度相等 O22ddOOetraaaeraaa（8-4） 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度

20、合成定理： 當牽連運動為平動時，動點的絕對加速度等于它的牽連加速度和相對加速度的矢量和。 普遍的形式： nnnaaeerraaaaaa2naaava，2nrrrva2neeeva，（8-5） 應(yīng)用加速度合成定理解題的步驟，與應(yīng)用速度合成定理解題時基本相同： （1）恰當?shù)剡x擇動點和動系； （2）分析三種運動； （3）分析三種速度； （4）分析三種加速度，并作出加速度矢量圖； （5）應(yīng)用矢量投影定理求解。 一般情況下，在進行加速度分析時先要分析進行速度分析。 步驟：NEXT例8-7 例例8-7 如圖所示半圓柱凸輪。凸輪在水平面內(nèi)向右作減速運動。若已知凸輪在半徑為 R。圖示瞬時時，凸輪的速度為 u，

21、加速度為 a。試求該瞬時導(dǎo)桿AB的加速度。 B A 30 o x u a R y O 解：（1）選擇動點及動系：動點取為導(dǎo)桿AB上的A點，動系固連在凸輪上。 （2）分析三種運動：絕對運動為沿AB的直線運動，相對運動為圓周運動，牽連運動為凸輪的平動。 （3）分析速度：由速度合成定理avevrv速 度大 小方 向u鉛直方向 ？水平向右?垂直O(jiān)A 作速度平行四邊形，求得相對速度的大小為 reavvv 30 o A v r v e v a 2sin30ervvu （4）分析加速度：由牽連運動是平動時的加速度合成定理naerraaaaaaeanrara2/rvR加速度大 小方 向鉛直方向 水平向左 指向

22、點O垂直O(jiān)A?a? 作加速度矢量圖. a a nra a e 30 o A x y 30 o ra （5）應(yīng)用矢量投影定理，向y軸投影，得 cos60cos30naeraaa Ruaaa/8 32 另外，還可向x軸投影求得，請讀者自己求解。NEXT例8-8 例8-8 圖示機構(gòu)中，曲柄OA可繞固定軸O轉(zhuǎn)動，滑塊用銷釘A與曲柄相連，并可在滑道DE中滑動。曲柄轉(zhuǎn)動時通過滑塊帶動滑道連桿BCDE 沿導(dǎo)槽運動。已知曲柄長OA = 10 cm。當 時，曲柄的角速度為 ，角加速度 。試求圖示位置時BC桿的加速度。 解：（1）選擇動點及動系：動點取為滑塊A，動系固連在滑道連桿BCDE上。 （2）分析三種運動：

23、30j1w rad/s12rad/s O jwB C E A D 絕對運動是以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓周運動 相對運動是沿滑道DE的直線運動，牽連運動為水平平動。 （3）分析加速度：由牽連運動是平動時的加速度合成定理naaeraaaanaaaaeara?加速度大 小方 向指向O點垂直O(jiān)A水平鉛直方向OAw2OA?作加速度矢量圖 O jwnaaB C E A ae ar D aa （5）應(yīng)用矢量投影定理，向水平軸投影，得 cossinnaaeaaajj 213.66ea cm/s 牽連加速度就是BC桿的加速度，即213.66BCeaacm/sRETURN 設(shè) 的端點 A 的矢徑為 ，則點 A

24、的速度為 設(shè)動系 以角速度 繞定軸 z 轉(zhuǎn)動。 牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動時，動系 坐標的單位矢量 、 、 的方向隨時間在不斷變化，是時間 t的函數(shù)。因此，先分析單位矢量對時間的導(dǎo)數(shù)。 O x y z i j k rA z y i x j k O A z y x O Or w we O x y z ew kArddAaeAtrvrw w（8-6） 8. .4 牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理AOrrkdd()ddOeOttrkrkw wddOOeOtrvrw wddetkkw wddAaeAtrvrw w同理可得 ddetiiw wddetjjw w（8-7

25、） 無論動系作何種運動，點的速度合成定理及其對時間的一階導(dǎo)數(shù)都是成立 ddddddaertttvvv（8-8） ddaatvaddet?vddrt?v考慮 ddetvO x y z ew如圖 所示。當繞定軸 z 以角速度轉(zhuǎn)動時，牽連速度為 r z y i x j k O M z y x O Or w we r e eevrw wddddddeeetttvrrw ww w（8-9） 求導(dǎo) ddddddeeetttvrrw ww wddeetw w ddaertrvvvd()deeeertvrvv w weeeerva w wddeeertvavw w（8-10） 考慮 ddrtv（8-11） 求

26、導(dǎo) ddddddddrxyzttttrvijk222ddddddddr222xyzttttvijkddddddddddddxyzttttttijk+222ddddddr222xyztttijkaddetkkw wddetiiw wddetjjw wddddddddddddxyzttttttijkddd()()()dddeeexyztttijkw ww ww wdddd()()()ddddrreeexyzttttva +ijkw ww ww wdddd() =ddddrrererxyzttttva +ijka +vw ww w提出ew w（8-12） （8-13） （8-14） =2aerera

27、a +a +vw w= 2ceravw w 科氏加速度科氏加速度（Coriolis acceleration）。它等于動系角速度矢與點的相對速度矢積的兩倍。 =aercaa +a +a 牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理：當牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度等于它的牽連加速度、相對加速度與科氏加速度的矢量和。 +=+nnnaaeerrcaaaaaaa（8-15） （8-16） （8-17） 矢量 垂直于 和 ，指向按右手法則確定。= 2ceravw wca大小：= 2sinceravw方向：ervcaerv 為 與 兩矢量間的最小夾角。 w we vr ac ca科氏加速度：科氏加速度：NEXT例8-9 例例8-9 如圖所示機構(gòu)中，O1A 桿以勻角速度 w作定軸轉(zhuǎn)動運動。圖示位置時 ， ，O1A 桿長為 L。試求該位置時 O2B 桿的角速度和角加速度。3012OAO9021OAO