正余弦定理三角形形狀判斷

1、正余弦定理與三角形形狀的判斷一、掌握基本原理 常用的定理或公式主要有以下幾個(gè)： （1）在ABC中，A + B + C = ， ， sin（A+B/2）=cos（C/2）， （2）正余弦定理及其變式： 如a = 2R sinA ，b2 + c2a2 =2b c cosA ，這里， R為三角形外接圓的半徑 （限于篇幅，定理原文及其它相關(guān)變式請讀者自己回憶并寫出） （3）射影定理：a = b cosC + c cosB（用余弦定理很容易證得，請讀者作為練習(xí)自行證之） 二、弄清題目類型 1.目標(biāo)明確型例1 在ABC中，a2+b2=c2+ab，且sinAsinB=，求證：ABC為等邊三角形. 分析：由a

2、2+b2=c2+ab，知，用余弦定理可求出C角，證明：由余弦定理，得c2=a2+b22abcosC.a2+b2=c2+ab，ab2abcosC=0.cosC=，C=60°sinAsinB=，cos（A+B）=cos（180°C）=cos120°=，cos（A+B）=cosAcosBsinAsinB，cosAcosB=.cos（AB）=cosAcosB+sinAsinB=1.AB，AB=0.A=B=60°ABC是等邊三角形.評(píng)注：這類題目往往由于目標(biāo)明確，在利用正弦定理或余弦定理得出一些初步結(jié)論之后能夠很快確定后續(xù)思路尤其本題中首先得出了一個(gè)特殊角，加之s

3、inAsinB=，則更容易聯(lián)想到三角形內(nèi)角和定理了 2.模糊探索型例2 判定滿足下列條件的ABC的形狀：解： (1)由已知及正弦定理得 因此ABC是以C為頂角的等腰三角形或以C為直角的直角三角形因此ABC為正三角形評(píng)注：這類題目，只要求判斷三角形形狀，并沒有清晰的線索，往往需要我們根據(jù)已知條件去分析和探索，但一般說來，主要應(yīng)用本文開頭提到的相關(guān)知識(shí)就能夠解決值得一提的是，本題就解題思想而言與例1頗有異曲同工之處 三、搞清一般規(guī)律例3 在ABC中，若，試判斷ABC的形狀解法一：由正弦定理，得 即2A = 2B 或 2A = 180° - 2B 即 A= B 或 A + B = 90&#

4、176;ABC為等腰或直角三角形解法二：由題設(shè)，有 化簡：b2(a2 + c2 - b2) = a2(b2 + c2 - a2) (a2 -b2)(a2 + b2 - c2)=0a = b或 a2 + b2 = c2 ABC為等腰或直角三角形評(píng)注：與三角形形狀相關(guān)的綜合題往往所給條件中富含三角形的邊角關(guān)系，本題的兩種解法，實(shí)際上提供了兩種技巧：解法一是把“邊角關(guān)系”轉(zhuǎn)化成了三角形三內(nèi)角之間的關(guān)系，解法二則是把“邊角關(guān)系”轉(zhuǎn)化成了三角形三邊之間的關(guān)系，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想， 四、莫忘相關(guān)技巧 例4 在ABC中，若有，試判斷ABC的形狀？解：設(shè)a=k×sinA,b=ksinB,c=ksin

5、C而，從而，ABC是正三角形 評(píng)注：見比設(shè)k，是常用技巧其實(shí)，正弦定理中的2R非常類似于這里的k 例5 在ABC中，已知sinB·sinCcos2，試判斷此三角形的類型 解： sinB·sinCcos2, sinB·sinC 2sinB·sinC1cos180°（BC）將cos（BC）cosBcosCsinBsinC代入上式得cosBcosCsinBsinC1, cos（BC）1又0B，C，BC BC0 BC故此三角形是等腰三角形 評(píng)注：學(xué)習(xí)正、余弦定理，不要忘記前面學(xué)過的相關(guān)知識(shí)，如本題中，利用“降冪擴(kuò)角公式”把半角化成“單角”的過程起到了關(guān)鍵作用 五、不要輕易下結(jié)論例6 在 中，已知 試判斷ABC的形狀證明： ，即 直角三角形且又綜上，ABC為等腰直角三角形評(píng)注：許多結(jié)論中有時(shí)不見得只有一層答案，所以在得出初步結(jié)論來之后，一定要進(jìn)一步思考一番，看已知條件是否全部用到