類比法在數(shù)學解題中的應用

1、在數(shù)學解題中類比法的應用長沙第七中學孫賢忠“類比是一個偉大的引路人波利亞。“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進康德所謂類比即類比推理就是依據(jù)兩個對象的相似性， 有可能把一個數(shù)學對象的特殊知識轉(zhuǎn)移到另一個數(shù)學對象上 去，從而獲得對后一個對象的新知識。在數(shù)學解題過程中，當我們的思維遇到障礙時，運用類比推 理，往往能實現(xiàn)知識的正遷移，將已學過的知識或已掌握的解題 方法遷移過來，“柳暗花明又一村。例如：x,y,z均為正實數(shù)求證：2 2 2 2 2 2x xy yx xz zy yz z分析:此題好似無從著手，但我們從整體上觀察結(jié)論知：“三角形兩邊之和大于第三邊與其相似，而被開

2、方式與余弦定理相個三角形，用幾何知識證明。證明：作ABC ,如圖，AOB二 BOC= COA=200令 OA=x, OB=y, OC=z由余弦定理可得：AB=2 2X xy yAC二X2 xz z2 BC= y2 yz z2AB+AC>BC故原式得證?？梢?，類比在數(shù)學解題中有著十分重要的作用類比推理可用如以下圖式描述：A類對象 模型 具有a,b,C,d屬性，類比根據(jù)6類對象 原型具有a',b',c'屬性，其中a ,b',c分別與a,b,c相同或相似，推論：B類對象也具有與d相同或相似的屬性d'。我們知道正三角形內(nèi)任一點 P到各邊距離之和為常數(shù)。分別

3、 從三條邊相等與三個角相等類比，“在各邊相同的凸多邊形內(nèi)任一 點P到各邊距離之和為常數(shù)和“在各角相等的凸多邊形內(nèi)任一 點P到各邊距離之和為常數(shù)。可以證明這兩個命題都是正確的 利用面積法證明。常用的類比有：1、平面與空間的類比把立體幾何知識與相關的平面幾何知識類比，是實現(xiàn)知識遷 移的有效方法，也利于化難為易，啟迪思維。女口，關于勾股定理，可有幾個類比：勾股定理：在直角邊長為a,b，斜邊長為c的直角三角形中， 有a2 b2 c2類比1:長、寬、高分別為p,q,r,對角線長為d的長方體中，z 2 2 2 .2有 p q r d類比2:長方體交于某一頂點的三個長方形面的對角線長分2 2 2 2別為p,

4、q,r,長方體對角線長為d,那么有 P q r 2d類比3：四面體交于一個頂點0的三條棱兩兩互相垂直，與0 相鄰的三個面的面積分別為 A，B, C,與0相對的面的面積為D, 那么有：A2 B2 C2 D22、數(shù)與形的類比在數(shù)學研究中，數(shù)與形的類比經(jīng)常在相反的方向上得到應用。 即通過與“形的比擬去推測“數(shù)的有關性質(zhì)，又通過與“數(shù) 的比擬去推測“形的有關性質(zhì)。丄旦亠k例：b c c a a b '求k的值。分析：類比兩直線l i：ax+by+c=O 與 l 2：b+cx+(c+a)y+(a+b)=O 重合 貝卩有a+b+c(x+y)+(a+b+c)=0a b c 0a b ck = -1a

5、 b c 0x y 10a b c k -2yx k又例：k為何值時，方程組y1 x2有一組解？兩組解？無解?利用數(shù)與形類比，解法直觀，簡單明 了。方程組有一組解，即直線與半圓只有 一個交點；有二組解，即直線與半圓有兩個交點；無解，即直線與半圓無交點所以，當1 k 2時有兩解；當1 k 1或k 2時有一組解;當k 1或k 2時無解。再例：過正方形ABCD勺頂點C作任一直線與AB AD的延長線分別與E、F,求證AE+AF 4AB分析：原結(jié)論稍加變形為 AE+AF24ABAE+AF類比二次方程判別式b2 4ac 0，構(gòu)造一元二次方程。證：如圖，設 AB=a，AE=x, AF=yBCE DFCDF

6、BCBC BE ,y a a即 a x axy-a(x+y)=O, 又設 x+y=m,貝卩y=m-x.代入 xy-a(x+y)=0,得:x 2-mx+ma=0t x為正實數(shù)，二 =ni-4ma 0,即卩m 4a AE+AF 4AB3、解題方法上的類比例：假設(z x)24(x y)(y z) 0,且x y z求證：2y=x+z(即x,y,z成等差數(shù)列)分析：通過類比，類比為一元二次方程的根與系數(shù)的關系來解，構(gòu)造一元二次方程2(x y)t (z x)t (y z) 02(z x) 4(x y)(y z) 0因為1是方程的解，所以方程有兩相等實根，都為1y z由韋達定理，兩根之積為x y即 2y = x + z4、有限與無限的類比例：因為圓可看成是正多邊形當邊數(shù)趨于無窮時的極限情形因此，依據(jù)“三角形的面積等于底與高的乘積的一半的結(jié)論，可證：正多邊形的面積等于周長與邊心距乘積的一半。從而類比出：圓的面積等于其周長與半徑乘積的一半，即S 1(C R) 1(2 R) RR