類(lèi)比法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、在數(shù)學(xué)解題中類(lèi)比法的應(yīng)用長(zhǎng)沙第七中學(xué)孫賢忠“類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人波利亞。“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類(lèi)比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)康德所謂類(lèi)比即類(lèi)比推理就是依據(jù)兩個(gè)對(duì)象的相似性， 有可能把一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的特殊知識(shí)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象上 去，從而獲得對(duì)后一個(gè)對(duì)象的新知識(shí)。在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，當(dāng)我們的思維遇到障礙時(shí)，運(yùn)用類(lèi)比推 理，往往能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移，將已學(xué)過(guò)的知識(shí)或已掌握的解題 方法遷移過(guò)來(lái)，“柳暗花明又一村。例如：x,y,z均為正實(shí)數(shù)求證：2 2 2 2 2 2x xy yx xz zy yz z分析:此題好似無(wú)從著手，但我們從整體上觀察結(jié)論知：“三角形兩邊之和大于第三邊與其相似，而被開(kāi)

2、方式與余弦定理相個(gè)三角形，用幾何知識(shí)證明。證明：作ABC ,如圖，AOB二 BOC= COA=200令 OA=x, OB=y, OC=z由余弦定理可得：AB=2 2X xy yAC二X2 xz z2 BC= y2 yz z2AB+AC>BC故原式得證?？梢?jiàn)，類(lèi)比在數(shù)學(xué)解題中有著十分重要的作用類(lèi)比推理可用如以下圖式描述：A類(lèi)對(duì)象 模型 具有a,b,C,d屬性，類(lèi)比根據(jù)6類(lèi)對(duì)象 原型具有a',b',c'屬性，其中a ,b',c分別與a,b,c相同或相似，推論：B類(lèi)對(duì)象也具有與d相同或相似的屬性d'。我們知道正三角形內(nèi)任一點(diǎn) P到各邊距離之和為常數(shù)。分別

3、 從三條邊相等與三個(gè)角相等類(lèi)比，“在各邊相同的凸多邊形內(nèi)任一 點(diǎn)P到各邊距離之和為常數(shù)和“在各角相等的凸多邊形內(nèi)任一 點(diǎn)P到各邊距離之和為常數(shù)?？梢宰C明這兩個(gè)命題都是正確的 利用面積法證明。常用的類(lèi)比有：1、平面與空間的類(lèi)比把立體幾何知識(shí)與相關(guān)的平面幾何知識(shí)類(lèi)比，是實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷 移的有效方法，也利于化難為易，啟迪思維。女口，關(guān)于勾股定理，可有幾個(gè)類(lèi)比：勾股定理：在直角邊長(zhǎng)為a,b，斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形中， 有a2 b2 c2類(lèi)比1:長(zhǎng)、寬、高分別為p,q,r,對(duì)角線長(zhǎng)為d的長(zhǎng)方體中，z 2 2 2 .2有 p q r d類(lèi)比2:長(zhǎng)方體交于某一頂點(diǎn)的三個(gè)長(zhǎng)方形面的對(duì)角線長(zhǎng)分2 2 2 2別為p,

4、q,r,長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)為d,那么有 P q r 2d類(lèi)比3：四面體交于一個(gè)頂點(diǎn)0的三條棱兩兩互相垂直，與0 相鄰的三個(gè)面的面積分別為 A，B, C,與0相對(duì)的面的面積為D, 那么有：A2 B2 C2 D22、數(shù)與形的類(lèi)比在數(shù)學(xué)研究中，數(shù)與形的類(lèi)比經(jīng)常在相反的方向上得到應(yīng)用。 即通過(guò)與“形的比擬去推測(cè)“數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，又通過(guò)與“數(shù) 的比擬去推測(cè)“形的有關(guān)性質(zhì)。丄旦亠k例：b c c a a b '求k的值。分析：類(lèi)比兩直線l i：ax+by+c=O 與 l 2：b+cx+(c+a)y+(a+b)=O 重合 貝卩有a+b+c(x+y)+(a+b+c)=0a b c 0a b ck = -1a

5、 b c 0x y 10a b c k -2yx k又例：k為何值時(shí)，方程組y1 x2有一組解？?jī)山M解？無(wú)解?利用數(shù)與形類(lèi)比，解法直觀，簡(jiǎn)單明 了。方程組有一組解，即直線與半圓只有 一個(gè)交點(diǎn)；有二組解，即直線與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)；無(wú)解，即直線與半圓無(wú)交點(diǎn)所以，當(dāng)1 k 2時(shí)有兩解；當(dāng)1 k 1或k 2時(shí)有一組解;當(dāng)k 1或k 2時(shí)無(wú)解。再例：過(guò)正方形ABCD勺頂點(diǎn)C作任一直線與AB AD的延長(zhǎng)線分別與E、F,求證AE+AF 4AB分析：原結(jié)論稍加變形為 AE+AF24ABAE+AF類(lèi)比二次方程判別式b2 4ac 0，構(gòu)造一元二次方程。證：如圖，設(shè) AB=a，AE=x, AF=yBCE DFCDF

6、BCBC BE ,y a a即 a x axy-a(x+y)=O, 又設(shè) x+y=m,貝卩y=m-x.代入 xy-a(x+y)=0,得:x 2-mx+ma=0t x為正實(shí)數(shù)，二 =ni-4ma 0,即卩m 4a AE+AF 4AB3、解題方法上的類(lèi)比例：假設(shè)(z x)24(x y)(y z) 0,且x y z求證：2y=x+z(即x,y,z成等差數(shù)列)分析：通過(guò)類(lèi)比，類(lèi)比為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解，構(gòu)造一元二次方程2(x y)t (z x)t (y z) 02(z x) 4(x y)(y z) 0因?yàn)?是方程的解，所以方程有兩相等實(shí)根，都為1y z由韋達(dá)定理，兩根之積為x y即 2y = x + z4、有限與無(wú)限的類(lèi)比例：因?yàn)閳A可看成是正多邊形當(dāng)邊數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)的極限情形因此，依據(jù)“三角形的面積等于底與高的乘積的一半的結(jié)論，可證：正多邊形的面積等于周長(zhǎng)與邊心距乘積的一半。從而類(lèi)比出：圓的面積等于其周長(zhǎng)與半徑乘積的一半，即S 1(C R) 1(2 R) RR