連續(xù)型隨機(jī)變量課件

1、一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布二、幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布二、幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布定義定義 如果對(duì)于隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)F(x)， 存在非負(fù)函數(shù) f (x)，使得對(duì)于任意 實(shí)數(shù) x，有則稱 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù) f (x) 稱為X 的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱概率密度.xdttfxF,)()(連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 X X 由其密度函數(shù)唯一確定由其密度函數(shù)唯一確定一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 由定義知道，概率密度 f(x) 具有以下性質(zhì)：. 0)(10 xf. 1)(20dxxff (x)0 x1)( .)

2、()()(3211221021xxdxxfxFxFxXxPxxf (x)x01x2x).()()(40 xfxFxxf處連續(xù)，則有在點(diǎn)若 連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)與離散型隨機(jī)變連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)與離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)非常相似，但是，量分布律的性質(zhì)非常相似，但是，密度函數(shù)不是密度函數(shù)不是概率！概率！我們不能認(rèn)為： ！afaXP，對(duì)任意的實(shí)數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量，則設(shè)aX0 aXP有證明： 所以有所以有aXP0 aXP0 aanndxxf1limaXnaPn1lim由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問(wèn)題沒(méi)有太大的意義；

3、們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問(wèn)題沒(méi)有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問(wèn)題我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問(wèn)題 ，的密度函數(shù)為若已知連續(xù)型隨機(jī)變量xfX取值的概率為，也可以是無(wú)窮區(qū)間）上間；可以是有限區(qū)間，閉區(qū)間，或半開(kāi)半閉區(qū)也可以是可以是開(kāi)區(qū)間（在任意區(qū)間則,GGX GdxxfGXP例例1設(shè)設(shè) X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 其它020242xxxcxf解： 由密度函數(shù)的性質(zhì)；求：常數(shù) c1XP 1dxxf dxxf1得20224dxxxc2032322xxcc3883c所以， 11dxxfXP 221dxxfdxxf 2200dxxfdxxfdxx

4、f2122483dxxx213232283xx21例例2：某電子元件的壽命（單位：小時(shí)）是以：某電子元件的壽命（單位：小時(shí)）是以 10010010002xxxxf為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量求 5 個(gè)同類型的元件在使用的前 150 小時(shí)內(nèi)恰有 2 個(gè)需要更換的概率.解： 設(shè)：A= 某元件在使用的前 150 小時(shí)內(nèi)需要更換 150XPAP則檢驗(yàn)檢驗(yàn) 5 個(gè)元件的使用壽命可以看作是在做一個(gè)個(gè)元件的使用壽命可以看作是在做一個(gè)5重重Bernoulli試驗(yàn)試驗(yàn) B= 5 個(gè)元件中恰有個(gè)元件中恰有 2 個(gè)的使用壽命不超過(guò)個(gè)的使用壽命不超過(guò)150小時(shí)小時(shí) 150dxxf1501002100dxx31 3225

5、3231 CBP則24380的分布函數(shù)為：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量例X3 xarctgxxF121的密度函數(shù)試求 X解： ，則的密度函數(shù)為設(shè)xfX xFxfxx2111的密度函數(shù)為：設(shè)隨機(jī)變量例X4 其它021210 xxxxxf的分布函數(shù)試求 X解： xdttfxFx時(shí)，當(dāng)00 xdttfxFx時(shí)，當(dāng)10 xdttfdttf00 xtdt022x xdttfxFx時(shí)，當(dāng)21 xdttfdttfdttf1100 xdtttdt110212212xx xdttfxFx時(shí)，當(dāng)2 xdttfdttfdttfdttf221100122110dtttdt的分布函數(shù)量綜上所述，可得隨機(jī)變X xxxxxxxxF21

6、211221020022若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 其它01bxaabxf上的均勻分布，服從區(qū)間則稱隨機(jī)變量baX記作 X U a , b 則有：是其密度函數(shù)，上的均勻分布，區(qū)間設(shè)xfbaX ；，有對(duì)任意的0 xfx bbaadxxfdxxfdxxfdxxfbadxab11 確是密度函數(shù)其它01bxaabxf由此可知，類似地，我們可以定義類似地，我們可以定義上的均勻分布；，區(qū)間ba上的均勻分布；，區(qū)間ba上的均勻分布，區(qū)間ba該子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)間的長(zhǎng)度成正比，而與取值的概率與該子區(qū)上的任意一個(gè)子區(qū)間上，在區(qū)間變量上的均勻分布，則隨機(jī)，服從區(qū)間如果隨機(jī)變量baXbaX

7、上取值是等可能的，在區(qū)間量這時(shí)，可以認(rèn)為隨機(jī)變baXXXabxll0lccdxxflcXcP)(.1abldxablcc xbbxaabaxaxxF10abxF (x)01的分布函數(shù)為則上的均勻分布，服從區(qū)間若隨機(jī)變量XbaX 例例5：設(shè)公共汽車(chē)站從上午：設(shè)公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起每隔時(shí)起每隔15分鐘來(lái)一分鐘來(lái)一班車(chē)班車(chē),如果某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是如果某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是 7:00 到到7:30之之間的均勻隨機(jī)變量試求該乘客候車(chē)時(shí)間不超過(guò)間的均勻隨機(jī)變量試求該乘客候車(chē)時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率分鐘的概率解：解： 設(shè)該乘客于設(shè)該乘客于7時(shí)時(shí)X分到達(dá)此站分到達(dá)此站其密度函數(shù)為 其它0300301xxf

8、上的均勻分布，服從區(qū)間則300X令：令：B= 候車(chē)時(shí)間不超過(guò)候車(chē)時(shí)間不超過(guò)5分鐘分鐘 30251510XPXPBP則30251510301301dxdx31上的均勻分布，服從區(qū)間：設(shè)隨機(jī)變量例636試求方程02442xx有實(shí)根的概率解：的密度函數(shù)為隨機(jī)變量 其它06391xxf有實(shí)根方程設(shè)：02442xxA 024442PAP則021P21或P62139191dxdx949232如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 000 xxexfx的指數(shù)分布參數(shù)為服從為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量其中0 是其密度函數(shù)，則有：的指數(shù)分布，參數(shù)為設(shè)xfX ；，有對(duì)任意的0 xfx 00dxxfdxxf

9、dxxf0dxex1由此可知，0 xe 確是一密度函數(shù)000 xxexfx的分布函數(shù)為則指數(shù)分布，服從參數(shù)若隨機(jī)變量XX 0100 xexxFx分鐘之間的概率鐘到分話間，求你需等待好在你前面走進(jìn)公用電如果某人剛為參數(shù)的指數(shù)隨機(jī)變量以（單位：分鐘）是間設(shè)打一次電話所用的時(shí)2010101X解：的密度函數(shù)為X 00010110 xxexfx 2010XPBP則令：B= 等待時(shí)間為1020分鐘 201010101dxex201010101xe21ee2325. 0的密度函數(shù)為如果連續(xù)型隨機(jī)變量X xexfx22221正態(tài)分布記作的，服從，參數(shù)為則稱隨機(jī)變量2Xxf (x)0為參數(shù)，其中02，NX為標(biāo)準(zhǔn)

10、正態(tài)分布，我們稱，若1010N數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函 xexx2221 是其密度函數(shù)，則有：，設(shè)xfNX2 xexfx021222下面驗(yàn)證： 121222dxedxxfx下面驗(yàn)證： 121222dxedxxfx首先驗(yàn)證： 12122dxedxxx222dxex或驗(yàn)證：2222dxexdyedxedxeyxx2222222dydxeeyx 2222dydxeyx 222為此為此,我們只需證明我們只需證明:02202222rdreddxerx0222re2222dxex因此，則有，作極坐標(biāo)變換：sincosryrx下面驗(yàn)證：121222dxexdxedxexx2222122121則有1dueu2

11、221dxduxu則，作變換：綜上所述， xexfx22221 是一個(gè)密度函數(shù)確本條件，因此滿足密度函數(shù)的兩項(xiàng)基xf 我們有：由高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)，數(shù)對(duì)于正態(tài)分布的密度函xexfx22221hXPXhPhx，有這表明：對(duì)于任意的對(duì)稱，曲線關(guān)于直線0 xf (x)0hh 越小落在該區(qū)間中的概率就變量越遠(yuǎn)時(shí)，隨機(jī)間離同樣長(zhǎng)度的區(qū)間，當(dāng)區(qū)對(duì)于的值就越小這表明，越遠(yuǎn)，離取到最大值時(shí)，當(dāng)Xxfxfxfx21 軸為漸近線以曲線處有拐點(diǎn)；在曲線Oxxfyxxfy 確定所圖形的位置完全由參數(shù)因此其形狀軸平行移動(dòng)，但不改變圖形沿的的值，則固定，而改變?nèi)魓fyxxf 的取值越分散形越平坦，這表明的圖越大時(shí)，當(dāng)附近的

12、概率越大；反之落在圖形越陡，因而越小時(shí)，可知，當(dāng)?shù)淖畲笾禐榈闹?，由于固定，而改變?nèi)鬤xfyXxfyfxf21xf (x)01正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下情形加以說(shuō)明：正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見(jiàn)的分布之一，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的可以證明，如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布，則其密度函數(shù)為，如果隨機(jī)變量10 NX ,2122xex xdtedttxxtx2221其分布函數(shù)為 xXPxx 我

13、們可直接查表求出對(duì)于0，我們可由公式如果0 x xtxdtedttx2221x0)(xx-x，得，作變換dudtutxuduex2221xudue2221xudue22211 x1)1, 0(2NXYNX，則，設(shè) yXPyYPyFYytdte22221，代入上式，得，則作變換dtdutu yuYdueyF2221 yyXP)(xXPxFX)(xxXP 函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布其中，x).()-b(bX Pa ,aba有故對(duì)任意的)(xXPxFX)(xxXP；，試求：，設(shè)隨機(jī)變量212110XPXPNX解： 1221 XP84134. 097725. 013591. 0 1221XP 11284

14、134. 0197725. 081859. 0；，試求：，設(shè)隨機(jī)變量0625192XPXPXPNX解：) 1 ()5(51FFXP)321()325( 311 1311162930. 084134. 047064. 0例9：62162XPXP6261XP841XP)324()328(1 221 2120455. 097725. 012010XPXP)320(13217486. 032的概率不超過(guò)個(gè)月的月降水量都起連續(xù)的正態(tài)分布求從某月）（單位：，某地區(qū)的月降水量服從cmcm5010440解：2440，則：該地區(qū)的月降水量設(shè)：NXX月降水量不超過(guò)再設(shè)：cmA50 50XPAP則：)44050(5 . 299379. 0cmP5010個(gè)月降水量都不超過(guò)連續(xù)所以，1099379. 09396. 0分位點(diǎn)。為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上則稱點(diǎn)滿足條件若設(shè)zzzNX , 10, PX ),1,0(0 x)(x.57. 2,645. 1z ,z ,57. 2,645. 1z 995. 00.95- 1005. 00.05zzz查表可知z1z的密度函數(shù)為如果連續(xù)型隨機(jī)變量 X 0001xxexrxfxrr為參數(shù)，其中00r，記作：分布的，服從參數(shù)為則稱隨機(jī)變量rXrX4. -分布.函數(shù)的定義： 01dxexrxr，函數(shù)