第十三章軸對(duì)稱(chēng)課題學(xué)習(xí)最短路徑韓

1、第十三章 軸對(duì)稱(chēng)13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題 如圖所示，從如圖所示，從A A地到地到B B地有三條路地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？你的理由是什么？ 兩點(diǎn)之間兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短線(xiàn)段最短FEDCBA已知：如圖，已知：如圖，A，B在直線(xiàn)在直線(xiàn)L的兩側(cè)，在的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使得，使得PA+PB最小。最小。 P連接連接AB,線(xiàn)段線(xiàn)段AB與直線(xiàn)與直線(xiàn)L的交點(diǎn)的交點(diǎn)P ，就是所求。，就是所求。思考？思考？為什么這樣做就能得到最短距離呢？為什么這樣做就能得到最短距離呢？根據(jù)：根據(jù)：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短.如圖，要在燃?xì)夤艿廊鐖D

2、，要在燃?xì)夤艿繪 L上修建一個(gè)泵站，分別上修建一個(gè)泵站，分別向向A A、B B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線(xiàn)最短？方，可使所用的輸氣管線(xiàn)最短？P所以泵站建在點(diǎn)所以泵站建在點(diǎn)P P可使輸氣管線(xiàn)最短可使輸氣管線(xiàn)最短應(yīng)用ABl B/P 點(diǎn)點(diǎn)P P的位置即為所求的位置即為所求. .M 作法：作法： 作點(diǎn)作點(diǎn)B B關(guān)于直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)l l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B B/ /. . 連接連接ABAB/ /, ,交直線(xiàn)交直線(xiàn)l l于點(diǎn)于點(diǎn)P.P.已知：如圖已知：如圖,A,A、B B在直線(xiàn)在直線(xiàn)L L的同一側(cè)，在的同一側(cè)，在L L上上求一點(diǎn)，使得求一點(diǎn)，使得PA+PB

3、PA+PB最小最小. . 為什么這樣做就能得為什么這樣做就能得到最短距離呢？到最短距離呢？MA + MBPA+PB 即即MA + MBPA+PB 三角形任意兩邊之和大于第三邊三角形任意兩邊之和大于第三邊 問(wèn)題：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，問(wèn)題：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)向居民區(qū)A A、B B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從才能使從A A、B B到它的距離之和最短到它的距離之和最短 練習(xí)練習(xí)請(qǐng)你自己動(dòng)手 試一試！ 只有A、C、B在一直線(xiàn)上時(shí)，才能使AC+BC最小作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)“街道”的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，然后連接AB，交“街道”于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是所

4、求的點(diǎn) D已知：如圖已知：如圖A是銳角是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩的兩邊邊OM，ON上各取一點(diǎn)上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小長(zhǎng)最小.BCDE分析：當(dāng)分析：當(dāng)ABAB、BCBC和和ACAC三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小一條直線(xiàn)上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小 已知：如圖已知：如圖A是銳角是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，內(nèi)部任意一點(diǎn)，在在MON的兩邊的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.分別作點(diǎn)分別作點(diǎn)A關(guān)于關(guān)于OM，ON的對(duì)稱(chēng)的對(duì)

5、稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)A，A；連接；連接A，A，分別交，分別交OM，ON于點(diǎn)于點(diǎn)B、點(diǎn)、點(diǎn)C，則點(diǎn)，則點(diǎn)B、點(diǎn)點(diǎn)C即為所求即為所求1. 如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線(xiàn)，橋要與河垂直）ABMNE作法：作法：1.1.將點(diǎn)將點(diǎn)B B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E E， 2.2.連接連接AEAE交河對(duì)岸與點(diǎn)交河對(duì)岸與點(diǎn)M,M, 則點(diǎn)則點(diǎn)M M為建橋的位置，為建橋的位置，MNMN為所建的橋?yàn)樗ǖ臉?。證明：由平移的性質(zhì)，得證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM BNEM 且且BN=EM, MN=

6、CD, BDBN=EM, MN=CD, BDCE, CE, BD=CE,BD=CE,所以所以A.BA.B兩地的距兩地的距: :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在若橋的位置建在CDCD處，連接處，連接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,則則ABAB兩地的距離為：兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE, AC+CE+MNAC+CE+MNAE+MN,AE+MN,即即AC+CD+

7、DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以橋的位置建在所以橋的位置建在CDCD處，處，ABAB兩地的路程最短。兩地的路程最短。ABMNECD 2. 如圖，如圖，A A、B B是兩個(gè)蓄水池，都在河流是兩個(gè)蓄水池，都在河流a a的同側(cè)，的同側(cè)，為了方便灌溉作物，為了方便灌溉作物， 要在河邊建一個(gè)抽水站，將要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到河水送到A A、B B兩地，問(wèn)該站建在河邊什么地方，兩地，問(wèn)該站建在河邊什么地方， 可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)。可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)。作法：作法：作點(diǎn)作點(diǎn)B B關(guān)于直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn) a 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)C,C,連接連接AC

8、AC交直交直線(xiàn)線(xiàn)a于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為建抽水站的位置。抽水站的位置。證明：在直線(xiàn)證明：在直線(xiàn) a 上另外任取一點(diǎn)上另外任取一點(diǎn)E E，連接，連接AE.CE.BE.BD,AE.CE.BE.BD,點(diǎn)B.C關(guān)于直線(xiàn) a 對(duì)稱(chēng),點(diǎn)D.E在直線(xiàn) a上，DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在ACE中，AE+ECAC,即 AE+ECAD+DB 所以抽水站應(yīng)建在河邊的點(diǎn)抽水站應(yīng)建在河邊的點(diǎn)D D處，處， CDABEa3.3.某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條( (如圖中的如圖中的AOAO，BO)BO)，AOAO桌面上擺滿(mǎn)了桔子，桌面上擺滿(mǎn)了桔子，OB

9、OB桌面上擺滿(mǎn)了桌面上擺滿(mǎn)了糖果，坐在糖果，坐在C C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路然后回到座位，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線(xiàn)，使其所走的總路程最短？線(xiàn)，使其所走的總路程最短？作法：作法：1.作點(diǎn)作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn) OA 的的 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)D, 2. 作點(diǎn)作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn) OB 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接連接DE分別交直線(xiàn)分別交直線(xiàn)OA.OB于點(diǎn)M.N，則CM+MN+CN最短AOB. .EDMNGH 證明：證明：在直線(xiàn)在直線(xiàn)OA 上另外任取一點(diǎn)上另外任取一點(diǎn)G，連接，連接點(diǎn)點(diǎn)D,點(diǎn)點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)OA對(duì)

10、稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)， 點(diǎn)點(diǎn)G.H在在OA上，上，DG=CG, DM=CM, 同理同理NC=NE，HC=HE,CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,DG+GH+HEDE（兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短），（兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短），即即CG+GH+HCCM+CN+MN即即CM+CN+MN最短最短AOB. .EDMNGH 4. 如圖：如圖：C為馬廄，為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線(xiàn)。天的最短路線(xiàn)。作法：作法：1.作點(diǎn)作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn) OA 的的 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)F, 2. 作點(diǎn)作點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn) OB 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接連接EF分別交直線(xiàn)分別交直線(xiàn)OA.OB于點(diǎn)G.H，則CG+GH+DH最短FAOBD CEGH證明：在直線(xiàn)證明：在直線(xiàn)OA 上另外任取一點(diǎn)上另外任取一點(diǎn)G，連接，連接點(diǎn)點(diǎn)F,點(diǎn)點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)OA對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)G.M在在O