3.2.1　幾類不同增長的函數(shù)模型

1、.3.2 函數(shù)模型及其應(yīng)用3.2.1 幾類不同增長的函數(shù)模型【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型的比較1,2,5圖象信息遷移問題3,8應(yīng)用函數(shù)模型解決問題4,6,71.當(dāng)x越來越大時(shí),以下函數(shù)中,增長速度最快的應(yīng)該是DAy=100xBy=log100xCy=x100 Dy=100x解析:幾種函數(shù)模型中,指數(shù)函數(shù)增長速度最快,應(yīng)選D.2.在某實(shí)驗(yàn)中,測得變量x和變量y之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù),如表.x0.500.992.013.98y-1.010.010.982.00那么x,y最適宜的函數(shù)是DAy=2x By=x2-1Cy=2x-2Dy=log2x解析:根據(jù)x=0.50,y=-1.0

2、1,代入計(jì)算,可以排除A;根據(jù)x=2.01,y =0.98,代入計(jì)算,可以排除B,C;將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2x,可知滿足題意.應(yīng)選D.3.某工廠6年來消費(fèi)某種產(chǎn)品的情況是:前三年年產(chǎn)量的增長速度越來越快,后三年年產(chǎn)量的增長速度保持不變,那么可以用來描繪該廠前t年這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量c與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的是解析:注意以下幾種情形:圖表示不再增長,圖表示增速恒定不變,圖表示增長速度越來越快,圖表示增長速度逐漸變慢.應(yīng)選A.4.某廠原來月產(chǎn)量為a,一月份增產(chǎn)10%,二月份比一月份減產(chǎn)10%,設(shè)二月份產(chǎn)量為b,那么AAa>bBa<bCa=bD無法判斷解析:因?yàn)閎=a1+10%1-10%=

3、a1-1100.所以b=a×99100,所以a>b.【老師備用】 在固定電壓差電壓為常數(shù)的前提下,當(dāng)電流通過圓柱形的電線時(shí),其電流強(qiáng)度I與電線半徑r的三次方成正比,假設(shè)電流通過半徑為4毫米的電線時(shí),電流強(qiáng)度為320安,那么電流通過半徑為3毫米的電線時(shí),電流強(qiáng)度為DA60安 B240安 C75安 D135安解析:由,設(shè)比例常數(shù)為k,那么I=k·r3.由題意,當(dāng)r=4時(shí),I=320,故有320=k×43,解得k=32064=5,所以I=5r3.故當(dāng)r=3時(shí),I=5×33=135安,應(yīng)選D.【老師備用】 在某種金屬材料的耐高溫實(shí)驗(yàn)中,溫度y隨著時(shí)間tmi

4、n變化的情況由計(jì)算機(jī)記錄后顯示的圖象如下圖:現(xiàn)給出以下說法:前5 min溫度增加越來越快;前5 min溫度增加越來越慢;5 min后溫度保持勻速增加;5 min后溫度保持不變.其中說法正確的選項(xiàng)是CABCD解析:前5 min溫度y隨x增加而增加,增長速度越來越慢;5 min后,溫度y隨x的變化曲線是直線,即溫度勻速增加.故正確.應(yīng)選C.5.以下是三個(gè)變量y1,y2,y3隨變量x變化的函數(shù)值表:x12345678y1248163264128256y21491625364964y3011.58522.3222.5852.8073其中,關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的函數(shù)是 . 解析:從表格可以看出

5、三個(gè)變量y1,y2,y3都隨x的增大而變大,但增長速度不同,其中y1的增長速度最快,畫出它的散點(diǎn)圖圖略知變量y1關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化.答案:y1【老師備用】 如圖表示一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80 km的甲,乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系,有人根據(jù)函數(shù)圖象,提出了關(guān)于這兩個(gè)旅行者的如下信息:1騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3 h,晚到1 h;2騎自行車者是變速運(yùn)動(dòng),騎摩托車者是勻速運(yùn)動(dòng);3騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后追上了騎自行車者;4騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后與騎自行車者速度一樣.其中正確信息的序號(hào)是 . 解析:看時(shí)間軸易知1正確;騎摩托車者行駛

6、的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是直線,所以是勻速運(yùn)動(dòng),而騎自行車者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是折線,所以是變速運(yùn)動(dòng),因此2正確;兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著4.5,故3正確,4錯(cuò)誤.答案:123【老師備用】 畫出函數(shù)fx=x與函數(shù)gx=14x2-2的圖象,并比較兩者在0,+上的大小關(guān)系.解:函數(shù)fx與gx的圖象如下.根據(jù)圖象易得:當(dāng)0x<4時(shí),fx>gx;當(dāng)x=4時(shí),fx=gx;當(dāng)x>4時(shí),fx<gx.6.某工廠消費(fèi)A,B兩種本錢不同的產(chǎn)品,由于市場發(fā)生變化,A產(chǎn)品連續(xù)兩次提價(jià)20%,B產(chǎn)品連續(xù)兩次降價(jià)20%,結(jié)果都以23.04元出售.假設(shè)此時(shí)廠家同時(shí)出售A,B產(chǎn)品各一件,那么

7、相對(duì)于沒有調(diào)價(jià)時(shí)的盈虧情況是DA不虧不賺 B賺5.92元C賺28.96元 D虧5.92元解析:設(shè)A,B兩產(chǎn)品的原價(jià)分別為a元,b元,那么a=23.04(1+20%)2=16,b=23.04(1-20%)2= 36,16+36-23.04×2=5.92,所以比原價(jià)虧5.92元,應(yīng)選D.【老師備用】 某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,需經(jīng)過y年,那么函數(shù)y=fx的圖象大致是D解析:設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a,由題意可得ax=a1+0.104y,故y=log1.104xx1.函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù),所以函數(shù)y=fx的圖象大致為D中圖象.應(yīng)選D.【老師備用】 某

8、地發(fā)生地震后,地震專家對(duì)該地區(qū)發(fā)生的余震進(jìn)展了監(jiān)測,記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:強(qiáng)度J1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級(jí)里氏5.05.25.35.4注:地震強(qiáng)度是指地震時(shí)釋放的能量.地震強(qiáng)度x和震級(jí)y的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y=alg x+b其中a,b為常數(shù).利用散點(diǎn)圖可知a的值等于 . 取lg 2=0.3進(jìn)展計(jì)算解析:由模擬函數(shù)及散點(diǎn)圖得alg1.6+b=5,alg3.2+b=5.2,兩式相減得alg 3.2-lg 1.6=0.2,alg 2=0.2,a=23.答案:237.某汽車制造商在2019年初公告:公司方案2

9、019年消費(fèi)目的定為43萬輛.該公司近三年的汽車消費(fèi)量如表所示:年份201920192019產(chǎn)量8萬18萬30萬假如我們分別將2019,2019,2019,2019定義為第一、二、三、四年.如今你有兩個(gè)函數(shù)模型:二次函數(shù)模型fx=ax2+bx+ca0,指數(shù)函數(shù)模型gx=a·bx+ca0,b>0,b1,哪個(gè)模型能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系?解:建立年產(chǎn)量y與年份x的函數(shù),可知函數(shù)圖象必過點(diǎn)1,8,2,18,3,30.構(gòu)造二次函數(shù)模型fx=ax2+bx+ca0,將點(diǎn)坐標(biāo)代入,可得a+b+c=8,4a+2b+c=18,9a+3b+c=30,解得a=1,b=7,c=0,那么

10、fx=x2+7x,故f4=44,與方案誤差為1.構(gòu)造指數(shù)函數(shù)模型gx=a·bx+ca0,b>0,b1,將點(diǎn)坐標(biāo)代入,可得ab+c=8,ab2+c=18,ab3+c=30,解得a=1253,b=65,c=-42,那么gx=1253·65x-42,故g4=1253·654-42=44.4,與方案誤差為1.4.由可得,二次函數(shù)模型fx=x2+7x能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系.8.據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測:發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向挪動(dòng),其挪動(dòng)速度vkm/h與時(shí)間th的函數(shù)圖象如下圖,過線段OC上一點(diǎn)Tt,0作橫軸的垂線l交梯形OABC于另一點(diǎn)D,梯形

11、OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為th內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程skm.1當(dāng)t=4時(shí),求s的值;2將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;3假設(shè)N城位于M地正南方向,且距M地650 km,試判斷這場沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城,假如會(huì),在沙塵爆發(fā)生后多長時(shí)間它將侵襲到N城?假如不會(huì),請(qǐng)說明理由.解:1由圖象知,點(diǎn)A的坐標(biāo)為10,30,故直線OA的解析式為v=3t,當(dāng)t=4時(shí),D點(diǎn)坐標(biāo)為4,12,所以O(shè)T=4,TD=12,所以s=12×4×12=24km.2當(dāng)0t10時(shí),此時(shí)OT=t,TD=3t,所以s=12t×3t=32t2,當(dāng)10<t20時(shí),此時(shí)OT=t,AD=t-1

12、0,TD=30,所以s=12×10×30+30t-10=30t-150;當(dāng)20<t35時(shí),因?yàn)锽,C的坐標(biāo)分別為20,30,35,0,所以直線BC的解析式為v=-2t+70,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為t,-2t+70,所以TC=35-t,TD=-2t+70,所以s=1210+35×30-1235-t-2t+70=-35-t2+675,所以s=32t2,0t10,30t-150,10<t20,-(35-t)2+675,20<t35.3法一由2知,當(dāng)10<t20時(shí),30t-15030×20-150=450.當(dāng)20<t35時(shí),令-35-t2+675=650得t=40舍去或t=3